10.（2013?
安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示
基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断
复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2,图3,…
㊉
图⑴图
（2）图⑶
（1）观察以上图形并完成下表：
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图1
1
7
图2
2
12
图3
3
17
图4
4
・・・
・・・
••・
猜想：
在图（n）中，特征点的个数为（用n表示）；
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O的坐标为（X1,2）,贝yX1=;图（2013）的对称中
心的横坐标为.
【考点训练】规律型：
点的坐标-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1.（2013?
历城区二模）如图，在一单位为1的方格纸上，△AAA,A
AAA,AAAA.」AAA,…，都是一边在x轴上、边长分别为1,2,
3,4,…的等边三角形.若厶AAA的顶点坐标分别为A（0,0）,AC.匚）
A2（1,0）,则依如图所示规律，A2013的坐标为（）
A.（504,0）B.（寺宰严）C.（寺巴評）D.（0,-504）
考规律型：
点的坐标.1528832
占：
八、、•
分根据已知图象得出A2013的坐标与A点的横坐标位置相同，在平行于y
析：
轴的直线上，进而得出A点的横纵坐标特点，进而得出答案.
解解：
由题意可得出A点的坐标变化是4种变化，分别在x轴正半轴和x答：
轴负半轴以及y轴负半轴以及横坐标为［平行于y轴的直线上，
•••2013-4=503-1,
•••A2013的坐标与Ai点的横坐标位置相同，在平行于y轴的直线上，
•••AiQ,亜），△AAA是一边在x轴上，边长为3的等边三角形，
同理可得出：
",=）••••A2013的横坐标为:
5=1X4+1,9=2X4+1,13=3X4+1,…
•2013=503X4+1,
其纵坐标分母为2,分子是连续奇数与的积，
•A2013是与A点的横坐标相同，且在平行于y轴的直线上的第504个数据，
A2013的纵坐标为：
OC04-1）忑=四亚,
22
•A2013的坐坐标为：
（丄，型也）.
22
故选B.
点此题主要考查了点的规律以及勾股定理和等边三角形的性质等知识，
评：
根据已知得出点的变化规律是解题关键.
2.
（2012?
自贡）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M处，第二次从M跳到OM的中点M处，第三次从点M跳到OM的中点M处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）
考规律型：
点的坐标.1528832占：
八、、•
分根据题意，得第一次跳动到0M的中点M处，即在离原点的丄处，第二
2
析：
次从M点跳动到M2处，即在离原点的（丄）2处，贝y跳动n次后，即跳
2到了离原点的处.
2n
解解：
由于0M=1
答：
所有第一次跳动到0M的中点M处时，0M=20M=,
口.22
同理第二次从M点跳动到M2处，即在离原点的（丄）2处，
2
同理跳动n次后，即跳到了离原点的亠处，
2n
故选D.
点本题主要考查点的坐标，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中评：
经常出现.解答本题的关键是找出各个点跳动的规律，此题比较简单.
3.（2013?
德州）如图，动点P从（0,3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次
碰到矩形的边时，点P的坐标为（）
4
■9
■
1
1
■
1
3
W■
iJ
1«
__1L_
1
三鼻丿
1
__1
K；；
1■
1
1
1
■
2
1
1
1
1
I
x：
1
1
1
■
1
一丄
1
_1_
_
1
-1-
r:
*
i«
il
1
1
1
:
；
7:
1
1
■
1
0
12
34
6
78*
A.（1,4）B.（5,0）C.（6,4）D.（8,3）
考规律型：
点的坐标.1528832
占：
八、、•
专压轴题；规律型.
题：
分根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组
析：
依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐
标即可.
解解：
如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0,3）,
答：
T2013-6=335…3,
•••当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹,点P的坐标为（8,3）.
点本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每6次反
评：
弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点.
4.（2013?
苏州一模）在直角坐标系中点A的坐标为（1,0）,过点A
作x轴的垂线交直线y=2x于A,过点A作直线y=2x的垂线交x轴于A,过点A作x轴的垂线交直线y=2x于A4…，依此规律，则A10的坐标为
考规律型：
点的坐标.1528832占:
八、、•专规律型.
题:
分根据直线解析式求出AA的长，再判断出△OAA和厶AAA相似，根据
析：
相似三角形对应边成比例列式求出AA,然后求出OA,同理求出AA,
再求出AA，然后求出0A，依此类推求出0A，再求出AAo，即可得到
点Aio的坐标.
解解：
TAi的坐标为（1,0）,过点A作x轴的垂线交直线y=2x于A,
答：
•y=2X仁2,
••AiA=2,
由AA垂直于直线y=2x，易求△OAAsAAAA,
i=
仁=莎，
AtAn即=:
21?
解得AiA3=4,
•OA=1+4=5,
同理：
Aba4=2X5=10,
A3A5=2AAi=20,
•••OA=5+20=25;
AsA6=2X25=50,
AA=2AA6=2X50=100,
•••OA=25+100=125;
AA=2X125=250,
AzA9=2AA8=500,
•••OA=125+500=625,
AAo=2X625=1250,
•••点Ai0的坐标为（625,1250）.
故选C.
点本题考查了点的坐标的规律变化，主要利用了直线上点的坐标特征，
评：
相似三角形的判定与性质，根据直角三角形两直角边的关系依次求出三角形的各直角边的长度是解题的关键.
5.（2013?
徐州模拟）如图，在直角坐标系中，已知点P。
的坐标为（1,
0）,将线段OP按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP的2倍,得到线段OR;又将线段OP按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OR的2倍，得到线段OP;如此下去，得到线段OP,OP,…，OP（n为正整
A.
（-2,0）
B.
（-近？
22011,近?
22011）
C.
（0,-22011）
D.
（-运?
22010,近?
22010）
考规律型：
点的坐标.1528832
占：
八、、•
点本题考查了点的坐标的规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律
评：
求出OP011的长度，从旋转的变化规律求出点P2011所在的象限两个方面
考虑求解.
二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）
6.（2013?
兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3,0）、B（0,4）,对AOAB连续作旋转变换，依次得到△?
、△3、厶4…，则厶2013的直
考规律型：
点的坐标.1528832占:
八、、•专压轴题；规律型.
题:
分根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形
析：
的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个
循环组旋转前进的长度，再用2013除以3,根据商为671可知第2013
个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可.
解解：
•••点A（-3,0）、B（0,4）,
答:
•••AB=、一=5,
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的
长度为：
4+5+3=12,
•••2013-3=671,
•••△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
•/671X12=8052,
•••△2013的直角顶点的坐标为（8052,0）.
故答案为：
（8052,0）.
点本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得
评：
到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难占
八、、・
7.（2013?
湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上.从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,…，顶点依次用A、
A、A、A…表示，其中A1A2与x轴、底边AA与AA、AA与AA、…均相距一个单位，则顶点A的坐标是（0,「-1）,Ae2的坐标是（31,
考规律型：
点的坐标.1528832
占：
八、、•专压轴题；规律型.
题：
分根据等边三角形的性质求出第一个三角形的高，然后求出A0即可得
析：
解；
先根据每一个三角形有三个顶点确定出A92所在的三角形，再求出相应
的三角形的边长以及A92的纵坐标的长度，即可得解.
解解：
氏A2A的边长为2,
答：
AAA的高线为2X二二,
2
•••AA与x轴相距1个单位，
-1,
.A的坐标是（0,亦-1）;
•••92-3=30…2,
•••A2是第31个等边三角形的第2个顶点，
第31个等边三角形边长为2X3仁62,
•••点A92的横坐标为弓X62=31,
•••边AA与AAA4A5与AA、…均相距一个单位，
•••点A92的纵坐标为-31,
•点A92的坐标为（31,-31）.
故答案为：
（0,诉-1）;（31,-31）.
点本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，难度不
评：
大，第二问确定出点A92所在三角形是解题的关键.
8（2013?
聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，
按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A
（0,1）,A（1,1）,A（1,0）,A（2,0）,…那么点A4n+i（n为自然
数）的坐标为（2n,1）（用n表示）
1
-4）
4
A
6
-410
丿
J
1
J
i
1
1
1
1
O
A
*
A
A
如
12
X
考规律型：
点的坐标.1528832占：
八、、•
专压轴题；规律型.
题：
分根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规析：
律写出即可.
解解：
由图可知，n=1时，4X1+仁5,点A（2,1）,
答：
n=2时，4X2+仁9,点A（4,1）,
n=3时，4X3+1=13,点A13（6,1）,
所以，点A4n+1（2n,1）.
故答案为：
（2n,1）.
点本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3
评：
时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的关键.
二、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）
9.（2007?
漳州质检）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请观察图中每一个正方形边上的整点的个数，解决下列问题：
（1）请你按此规律画出由里向外的第四个正方形（用实线）；
（2）计算出由里向外第n个正方形四边上的整点个数的总和是4n
（用含有n的代数式表示）
考规律型：
点的坐标.1528832
占：
八、、•
分
（1）依次找到从内到外的第4个正方形上的整数点，画出由里向外的析:
第四个正方形即可；
（2）依次找到从内到外的几个正方形上的整数点，得到规律，由规律求得第n个正方形的整点个数.
解解：
（1）如图所示：
答:
（2）由内到外规律，第1个正方形边上整点个数为4X仁4（个），第2个正方形边上整点个数为4X2=8（个），第3个正方形边上整点个数为4X3=12（个）,
第4个正方形边上整点个数为4X4=16（个）；
故第n个正方形边上的整点个数为4n个.
故答案为：
4n.
点本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是仔细观察，找到规评：
律，按规律运算.
10.（2013?
安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示
基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断
复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2,图3,…
图
（1）
（1）观察以上
图
（2）
:
图形并完成下表：
图
⑶
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图1
1
7
图2
2
12
图3
3
17
图4
4
22
・・・
・・・
・・・
猜想：
在图（n）中，特征点的个数为5n+2（用n表示）;
（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O的坐标为（xi，2），则xi=Vs；图（2013）的对称中心的横坐
11■''
标为2013「.
考规律型：
图形的变化类；规律型：
点的坐标.1528832
占：
八、、•
专压轴题.
题：
分
（1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特
析：
征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个，进一步猜想出：
在图（n）中，特征点的个数为：
7+5（n-1）=5n+2;
（2）过点O作0皿y轴于点M根据正六边形、等腰三角形的性质得出/BOM=30，再由余弦函数的定义求出OM=3即X1二応；然后结合
图形分别得出图
（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2013）的对称中心的横坐标.
解解：
（1）由题意，可知图1中特征点有7个；
答：
图2中特征点有12个，12=7+5X1；
图3中特征点有17个，17=7+5X2；
所以图4中特征点有7+5X3=22个；
由以上猜想：
在图（n）中，特征点的个数为：
7+5（n-1）=5n+2；
（2）如图，过点O作OMLy轴于点M
又•••正六边形的中心角北0”=60°,OC=OB=QA=2,
6
•••/BQM=30,
•••QM=QB?
cos/BQM=2X亜=屈,
2
「•xi=V5;
由题意，可得图
（2）的对称中心的横坐标为丄（2竝X2）=2占,
2
图（3）的对称中心的横坐标为丄（2讥X3）=3逅,
2
图（4）的对称中心的横坐标为丄（2竝X4）=4占,
2
•・・
•••图（2013）的对称中心的横坐标为丄（2竝X2013）=2013后.
2
故答案为22,5n+2;换，2013诉.
点本题借助正六边形考查了规律型：
图形的变化类问题，难度适中.关
评：
键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律；
（2）要注意求的是整
个图形的对称中心的横坐标，而不是第2013个正六边形的对称中心的
横坐标，这也是本题容易出错的地方.
升级会员 