成人高考专升本《高等数学二》公式大全.docx
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成人高考专升本《高等数学二》公式大全
第一章节公式
1、数列极限的四则运算法则
如果limxnA,limynB,那么nn
推广：
上面法则可以推广到有．限．多个数列的情况。
例如，若an，bn，cn有极限，
则：
lim（anbncn）limanlimbnlimcn
nnnn
特别地，如果C是常数，那么∣im（C.an）IimC.∣imanCA
nnn
2、函数极限的四算运则
如果Iimf（x）A,limg（x）B,那么
推论设Iimf1（χ）,limf2（χ）,Iimf3（χ）,......Iimfn（χ）,Iimf（x）都存在，k为常数，n为正整数，则
有：
3、无穷小量的比较：
第二章节公式
1.导数的定义：
函数y=f（χ）在X=χo处的瞬时变化率是
=,我们称它为函数y=f（χ）在X=Xo处的导数，记作f'（χo）或y'∣χ=x。
即f'（）
2.导数的几何意义
函数f（x）在X=Xo处的导数就是切线的斜率k,即k==f'（xo）.
3.导函数（导数）
当X变化时，f'（χ）便是X的一个函数，我们称它为f（x）的导函数（简称导数），y=f（X）的导函数有时也记作y',即f'（χ）=y
4.几种常见函数的导数
（1）c'=O（C为常数），
（2）（Xn）'=nXnT（n∈Z）,（3）（aX）'=aXlna（a>0,a1）,（eX）'
X
=e
（4）（lnX）'=，（logaX）'=IOgae=（a>0,a1）
Xlna
（5）（sinx）'=cosx，（6）（cosx）'=—SinX
11
⑺（tanx）'厂，（8）（cotx）'2-
cosXSinX
=,（ku）'=cu'（k为常数）.
（UVW）'
=U'vw+UV'w+uvw'
微分公式：
（1）d（c）
O（C为常数）
（2）
d（xa）
axa1dx（a为任意实数）
⑺d（tanx）
1
Pdx,（8）
CQSX
d（CQtx）
i2dXSInX
1
2dx
1X
1
（11）d（arctanx）2dx,（12）d（arcCQtx）
1X
6.微分的四算运则
d（u±V）=du±dv,d（uv）=vdu+UdV
Uvduudv
d（-）2（V0）d（ku）=kdu（k为常数）.
VV
洛必达法则：
在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
7.导数的应用：
f'（x）=0的点为函数f（x）的驻点，求极值；
（1）XX。
时，f'（x）0;XXo时f（x）'0则f（Xo）为f（x）的极大值，Xo为极大值点
⑵XX0时，f'（x）0.xX0时f（x）'0则f（X0）为f（X）的极大值，X0为极小值点.
JJJJ
⑶如果f'（x）在x0的两端的符号相同，那么f（X0）不是极值，X0不是极值点。
.
J
f''（x）=0的点为函数f（x）的拐点，求凹凸区间；
第三章知识点概况
不定积分的定义：
函数f（x）的全体原函数称为函数f（x）的不定积分，记作f（X）dx,并称
f（X）f（X）dx
为积分符号，函数（）为被积函数，（）为被积表达式，X为积分变量。
不定积分的性质：
基本积分公式：
换元积分（凑微分）法：
1.凑微分。
对不定积分g（x）dx,将被积表达式g（x）dx凑成g（x）dx[（x）]'（x）dx
2.作变量代换。
令
U（x）,则dud（x）'（x）dx代入上式得：
g（x）dx凑微分f[（x）]'（x）dx变换带量f（u）du
3.用公式积分，，并用U（X）换式中的Uf（u）du公式F（U）C回代F[（x）]C
常用的凑微分公式主要有：
分部积分法：
d（uv）VdUUdV两边对X积分得UVVdUUdV移项得UdVUVVdU或VdUUVUdV
上述式中的P（x）为x的多项式，a,b为常数一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容
易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。
bn
定积分：
f（x）dxIimf（i）△Xi此式子是个常数an-0）ii
（1）定积分的值是一个常数，它只与被积函数f（x）及积分区间［a,b］有关，而与积分变量的字母无关，即应有f（x）dxf（t）dt
aa
ba
（2）在定积分的定义中，我们假定af（x）dx-f（x）dx
ab
a
如果a=b,则规定：
f（x）dx0
a
（3）对于定义在［a,a］上的连续奇（偶）函数f（x）,有
aa
f（x）dx2f（x）dxf（x）为偶函数
积分中值定理：
如果函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一点，定积
分的计算：
、变上限函数
设函数fX在区间a,b上连续，并且设X为a,b上的任一点，于是，fX在区间a，b上
的定积分为
X
fXdx
a
这里X既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为
X
ftdt
a
如果上限X在区a,b间上任意变动，则对于每一个取定的X值，定积分有一个确定值
在区间a,b上变上限函数
Jbjr
X
ftdtaXb
a
推理:
X
'（X）[af（t）dt]'f（X）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：
如果物体以速度VtVt0作直线运动，那么在时间区间a，b上所经过的路
b
SVtdt
程S为a
I-Ah-
；0SI
F・
那么物体从t=a到t=b所经
另一方面，如果物体经过的路程S是时间t的函数St
过的路程应该是（见图5-11）
图5-11
即
由导数的物理意义可知：
StVt即St是Vt—个原函数，因此，为了求出定积分
b
avtdt,应先求出被积函数Vt的原函数St,再求St在区间a，b上的增量SaSb即可。
b
fXdx
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分aTXdX的一般方法：
设函数fX在闭区间a,b上连续，FX是fX的一个原函数，即F'XTX,则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
bb
为了使用方便，将公式写成f（x）dxF（X）aF（b）F（a）
a
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数
的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
定积分的换元公式:
有连续导数'（t）
定积分的
分部积分法：
buv'dxUVa∖u'dx
aa
a
作代换X（t）,要求当t从变到时，X严格单调地从a变到b,且X⑴在［,］上
处不再叙述.
积A（如图5.8所示）
F面用微元法求面积A.
1取X为积分变量，X［a,b］.
2在区间［a,b］上任取一小区间［x,xdx］,该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高
f（x）g（x）,底边为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素
dA[f（X）g（x）]dx.
3写出积分表达式，即
b
A[f（X）g（X）]dx.
a
面图形（如图5.9）的面积.
这里取y为积分变量，y[c,d]，用类似
（2）的方法可以推出：
d
Ac[（y）（y）]dy.
y
第四章知识点多元函数微分学
§4.1偏导数与全微分
.主要内容:
㈠.多元函数的概念
1.二元函数的定义：
Zf（χ,y）（χ,y）D定义域：
D（f）
2.二元函数的几何意义：
二元函数是一个空间曲面。
（而一元函数是平面上的曲线）
Z=ax+by+c表示一个平面；
I222
Z.R2X2y2表示球心在原点、半径为R的上半个球面;
ZX2y2,表示开口向上的圆锥面；
22
Xy,表示开口向上的旋转剖物面
㈡.二元函数的极限和连续：
1.极限定义：
设Z=f（x,y）满足条件:
2.连续定义：
设z=f（x,y）满足条件:
㈢.偏导数：
㈣.全微分：
1.定义：
z=f（x,y）
（△y）2）
其中，A、B与x、y无关，O（）是比较高阶的无穷小量（（△x）2
则称AXBy是函数Zf（x,y）处的全微分
则：
dzdf（x,y）AXBy是Zf（X,y）在点（x,y）处的全微分。
3.全微分与偏导数的关系
㈤.复全函数的偏导数：
1.设：
Zf（U）V））UU（X）y）,VV（X）y）
2设yf（U）V））UU（X））VV（X）
（六）.隐含数的偏导数：
1.设F（x,y,Z）0,Zf（x,y）,且FZ0
2设F（x,y）0,yf（X）,且Fy0
㈦.二阶偏导数：
（八）隐函数的导数和偏导数（九）.二元函数的无条件极值1.二元函数极值定义：
☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点
2.极值的必要条件：
两个一阶偏导数存在，则：
而非充分条件。
22
例：
ZyX1
•••驻点不一定是极值点。
3.极值的充分条件：
求二元极值的方法：
二倍角公式：
（含万能公式）
第五章排列与组合
（1）加法原理：
完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成
（2）乘法原理：
完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。
排列：
从n个不同元素里，任取（1mn）个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为
从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：
组合：
从n个不同元素里，任取（1mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取
mn
C或（）
出m个元素的一个组合，组合总数记为nn,计算公式：
第六章概率论
符号
概率论
集合论
样本空间
全集
不可能事件
空集
基本事件
集合的元素
A
事件
子集
A的对立事件
A的余集
事件A发生导致
事件B发生
A是B的子集
A=B
A与B两事件相等
集合A与B相等
事件A与事件B
至少有一个发生
A与B的并集
事件A与事件B同时发生
A与B的交集
A-B
事件A发生而事件B不发生
A与B的差集
事件A与事件B互不相容
A与B没有相同兀
素
由于随机事件都可以用样本空间■-中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。
于是各事件的关系运算如图中的图示所示。
各事件的关系运算如图示：
A-B
9.完备事件组
n个事件匕七…％，如果满足下列条件:
O片U去G；
（2）∩Λ=Φ（∕≠jj,j=L2∕**,υ）
则称其为完备事件组
显然任何一个事件A与其对立事件卫构成完备事件组。
10.事件运算的运算规则：
（1）交换律r：
=Ξ<ΛA"1Ξ=E-二
（2）结合律（卫UE）U―机近UG
（J∩B）∩C-X∩（B∏CT）
（3）分配律（AlJB）2agU（E∏6
（An^UC^（AUC）H（BUC）
（4）对偶律（MJ^=Arl¾W=^IJ
率的古典定义
定义：
在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n,事件A包含的基本
事件数为m则事件A发生的概率为W。
概率的基本性质与运算法则
性质1.0≤P（A）≤1
特别地，P（①）=0，P（Ω）=1
性质2.若HU石，则P（B-A）=P（B）-P（A）
性质3.（加法公式）•对任意事件A，B,有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）0
推论1.若事件A,B互不相容（互斥），则P（A+B）=P（A）+P（B）
推论2.对任一事件A,有H--T
推论3.对任意事件A,B,C,有
P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
条件概率、乘法公式、事件的独立性
条件概率
定义1:
设有事件A,B,且P（B）>0,称
P（AS）
类似地，如果P（A）>0,则事件B对事件A的条件概率为
概率的乘法公式
P（AS）^丽P（XlJ¾（F（B）>0）
P（AS）=P（A）PeBlQ（FQ4）>C）
乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有
PCiABC）=P（4）?
（BI月JP（CIAS）
事件的独立性
一般地说,P（AIB）≠P（A）,即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。
若P（Al
B）≠P（A）,则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A,B相互
独立。
定义：
对于事件A，B,若P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A与事件B相互独立。
独立试验
序列概型
在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，
且事件A发生的概率为p,则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为
為c⅛>X泸（I-P严（m…卫）
一维随机变量及其概率分布
（一）随机变量
1.随机变量
定义：
设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果^-,变量X都有一个确定的实数值
缺町与之对应，则称X为定义在Ω上的随机变量，简记作X（或G
2.离散型随机变量
定义：
如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量
（二）分布函数与概率分布
1.分布函数
定义：
设X是一个随机变量，X是任意实数，则函数7|-'τ-V-■■-：
:
fl称为
随机变量X的分布函数。
分布函数F（X）有以下性质：
（1）O≤≤IF（-00（2）F（X）是X的不减函数，即对任意心沁有严XJ乞珥勺）
<3）巩P）=ILm71（x）=D,?
It-Hn）=IlIn^i）-I
需T-WA-HW
应Q=FOC*E=IifflXQ
（4）F（X）是右连续的，即E
（5）对任意实数avb,有P{aVX≤b}=F（b）-F（a）
2.离散型随机变量的概率分布
宦义二彎型随机变¾⅞f⅞可能取的值为期也…忌…，而谭值段的概率为Λ∏即^（J^=X⅛）=⅛（⅛=12√--FjK--J
则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。
离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示:
FJJl02■■■戸j
¾⅞率分布的性质’
（I）GE⅜⅞性>；IAD"（127
⑵〈规范性》∑%=L
3.分布函数与概率分布之间的关系
若X为离散型随机变量，则IlLU
随机变量的数字特征
1.数学期望
（1）数学期望的概念
定义：
设X为离散型随机变量，其概率函数为-上J八C-'j'-∙"'
E蓋¾Λ=^lPl+¾P3■--+¾Pk+…fc
（2）数学期望的性质
1若C为常数，则E（C）=C
2若a为常数，则E（aX）=aE（X）
3若b为常数，则E（X+b）=E（X）+b
4若X,Y为随机变量，则E（X+Y）=E（X）+E（Y）
2.方差
（1）方差的概念
定义：
设X为随机变量,
如果S（IX~存在，则称KX）为X的方差，记作DX
方差的算术平方根称为均方差或标准差，'"V"•「■■■“J
对于离散型随机变量X,如果X的概率函数为am*-"
则X的方差为■
（2）方差的性质
1若C为常数，则D（C）=O
2若a为常数，则Dge=H（七
3若b为常数，则D（X+b）=D（X）
④S-Fr
1
（11）（arctanx）'-,（12）（arccotx）'
1X
5.函数的和、差、积、商的导数
（u±V）'=u'±V'，（UV）,=u'V+UV
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