成人高考专升本《高等数学二》公式大全.docx

1、成人高考专升本高等数学二公式大全第一章节公式1、数列极限的四则运算法则如果 lim xn A,lim yn B, 那么 nn推广：上面法则可以推广到 有限多个数列的情况。例如，若 an ， bn ， cn 有极限，则： lim (an bn cn ) lim an lim bn lim cnn n n n特别地，如果C是常数，那么im (C.an) Iim C.im an CAn n n2、 函数极限的四算运则如果 Iim f(x) A,lim g(x) B,那么推论设 Iim f1(),lim f2(), Iim f3(),. Iim fn(), Iim f (x)都存在，k 为常数，n 为

2、正整数，则有：3、 无穷小量的比较：第二章节公式1.导数的定义：函数y=f()在X=o处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y= f ()在X=Xo处的导数，记作f(o)或y = x。即f()2.导数的几何意义函数f (x)在X = Xo处的导数就是切线的斜率k,即k= = f(xo).3.导函数(导数)当X变化时，f ()便是X的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y= f(X)的导函数有时也记作y,即f() = y4.几种常见函数的导数(1)c= O(C 为常数)，(2)( Xn) = nXnT(n Z) ,(3)( aX) = aXlna(a 0,a 1),( eX)X=e(4

3、)(ln X) =，(log aX) = IOgae= (a 0,a 1)Xln a(5)(sin x) = cosx， (6)(cos x) = SinX1 1(tanx) 厂，(8) (cot x) 2-cos X Sin X=,(ku) = cu(k 为常数).(UVW)=U vw+ UV w+uvw微分公式：(1) d(c)O(C为常数)(2)d(xa)axa 1dx (a为任意实数) d (tan x)1P dx ,(8)CQS Xd (CQt x)i 2 dX SIn X12dx1 X1(11) d(arctanx) 2dx,(12) d (arc CQt x)1 X6.微分的四算

4、运则d(uV) = dudv, d(uv) = vdu+ UdVU vdu udvd(-) 2 (V 0) d(ku) = kdu( k 为常数).V V洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。7.导数的应用：f(x) =0的点为函数f(x)的驻点，求极值；(1)X X。时，f(x) 0 ; X Xo时f(x) 0则f(Xo)为f (x)的极大值，Xo为极大值点X X0时，f(x) 0.x X0时f(x) 0则f (X0)为f (X)的极大值，X0为极小值点.J J J J 如果f (x)在x0的两端的符号相同，那 么f (X0)不是极值，X0不是极值点。

5、.Jf(x) =0的点为函数f(x)的拐点，求凹凸区间；第三章知识点概况不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作 f (X)dx ,并称f ( X ) f ( X ) dx为积分符号，函数 ()为被积函数，()为被积表达式，X为积分变量。不定积分的性质：基本积分公式：换元积分(凑微分)法：1.凑微分。对不定积分 g(x)dx ,将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dx (x) (x) dx2.作变量代换。令U (x),则 du d (x) (x)dx代入上式得：g(x)dx凑微分 f (x) (x)dx变换带量 f (u)du3.用公式积分，并用U (X)换式中

6、的U f(u)du公式F(U) C回代F (x) C常用的凑微分公式主要有：分部积分法：d(uv) VdU UdV两边对 X积分得 UV VdU UdV移项得 UdV UV VdU或 VdU UV UdV上述式中的 P(x) 为 x 的多项式， a,b 为常数 一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。bn定积分：f(x)dx Iim f(i) Xi此式子是个常数 a n- 0)i i(1) 定积分的值是一个常数，它只与被积函数 f(x) 及积分区间 a,b 有关，而与积分变量的 字母无关，即应

7、有 f (x) dx f (t)dtaaba(2) 在定积分的定义中，我们假定 ab;如果ba,我们规定： f (x)dx - f (x)dxaba如果a=b,则规定： f (x)dx 0a(3)对于定义在a,a上的连续奇(偶)函数f(x),有aaf (x)dx 2 f (x)dx f ( x) 为偶函数积分中值定理：如果 函数f (x)在闭区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点， 定积分的计算：、变上限函数设函数f X在区间a,b上连续，并且设X为a,b上的任一点，于是，f X在区间a，b上的定积分为Xf X dxa这里X既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

8、Xf tdta如果上限X在区a,b间上任意变动，则对于每一个取定的X值，定积分有一个确定值在区间a,b上变上限函数JbjrXf t dt a X ba推理:X(X) a f(t)dt f (X)定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定 积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度Vt Vt 0作直线运动，那么在时间区间a，b上所经过的路bS Vtdt程S为 aI -Ah-；0S IF ,那么物体从t=a到t=b所经另一方面，如果物体经过的路程 S是时间t的函数St过的路程应该是(见图5-11)图 5-11即由导数的物理意义可知：St Vt即St是Vt

9、 个原函数，因此，为了求出定积分bavtdt ,应先求出被积函数Vt的原函数St ,再求St在区间a，b上的增量Sa Sb即 可。bf X dx如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 a T XdX的一般方法：设函数f X在闭区间a,b上连续，FX是f X的一个原函数，即F X T X ,则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。b b为了使用方便，将公式写成 f(x)dx F(X) a F(b) F(a)a牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。 它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了 计算定积分有效而简便的方法，从而使

10、定积分得到了广泛的应用。定积分的换元公式:有连续导数(t)定积分的分部积分法： buvdx UVa udxa aa作代换X (t),要求当t从 变到 时，X严格单调地从a变到b,且X 在,上处不再叙述.积A (如图5.8所示)F面用微元法求面积A.1取X为积分变量，X a,b.2在区间a,b上任取一小区间x,x dx,该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高f(x) g(x),底边为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dA f (X) g(x)dx .3写出积分表达式，即bA f (X) g(X)dx.a面图形(如图5.9)的面积.这里取y为积分变量，y c,d， 用类似(2)的方法可以推出

11、：dA c (y) (y)dy.y第四章知识点多元函数微分学 4.1偏导数与全微分.主要内容:.多元函数的概念1.二元函数的定义：Z f(,y) (,y) D定义域：D(f)2.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线)Z=ax+by+c表示一个平面；I 2 2 2Z . R2 X2 y2表示球心在原点、半径为 R的上半个球面;Z X2 y2 ,表示开口向上的圆锥面；2 2X y ,表示开口向上的旋转剖物面. 二元函数的极限和连续：1.极限定义：设Z=f(x,y)满足条件:2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件:.偏导数：.全微分：1.定义：z=f(x,y)(

12、y)2)其中，A、B与x、 y无关，O ()是比 较高阶的无穷小量( ( x)2则称A X B y是函数Z f (x, y)处的全微分则：dz df(x, y) A X B y是Z f (X, y)在点(x,y)处的全微分。3.全微分与偏导数的关系.复全函数的偏导数：1.设：Z f (U) V) U U(X) y), V V(X) y)2 设y f (U) V) U U(X) V V(X)(六).隐含数的偏导数：1.设F (x, y, Z) 0, Z f (x, y),且FZ 02 设F(x, y) 0, y f (X),且Fy 0 . 二阶偏导数： （八）隐函数的导数和偏导数 （ 九 ）.

13、二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点2.极值的必要条件： 两个一阶偏导数存在，则： 而非充分条件。22例： Z y X 1驻点不一定是极值点。3.极值的充分条件：求二元极值的方法：二倍角公式：(含万能公式)第五章排列与组合(1)加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成(2)乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。排列：从n个不同元素里，任取(1 m n)个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：组合：从n个不同元素里，任取(

14、1 m n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取m nC 或()出m个元素的一个组合，组合总数记为 n n ,计算公式：第六章概率论符号概率论集合论样本空间全集不可能事件空集基本事件集合的元素A事件子集A的对立事件A的余集事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=BA与B两事件相等集合A与B相等事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生而事件B不发生A与B的差集事件A与事件B互不相容A与B没有相同兀素由于随机事件都可以用样本空间-中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就 可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的

15、各种关 系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。 于是各事件的关系运算如图中的图示所示。各事件的关系运算如图示：A-B9.完备事件组n个事件匕七，如果满足下列条件:O 片 U去G；(2) = ( jj,j =L2*,)则称其为完备事件组显然任何一个事件A与其对立事件卫构成完备事件组。10.事件运算的运算规则：(1 )交换律 r： = 0,称P(AS)类似地，如果P(A)0 ,则事件B对事件A的条件概率为概率的乘法公式P(AS) 丽 P(XlJ (F(B) 0)P(AS) = P(A)PeBlQ (FQ4) C)乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件

16、 A,B,C,有PCiABC) = P(4)?(BI 月 JP(CI AS)事件的独立性一般地说,P(A I B) P(A),即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(AlB) P(A),则说明事件B的发生在概率意义下对事件 A的发生无关,这时称事件A, B相互独立。定义：对于事件A，B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p,则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为為c X泸(I- P严 (m卫)一维随机变量及其概率分布(一)随机变量1.随机变量定义：

17、设为样本空间，如果对每一个可能结果 -,变量X都有一个确定的实数值缺町与之对应，则称X为定义在上的随机变量，简记作X (或G2.离散型随机变量定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称 X为离散型随机变量(二)分布函数与概率分布1.分布函数定义：设X是一个随机变量，X是任意实数，则函数7| - -V - -：: fl称为随机变量X的分布函数。分布函数F(X)有以下性质：(1) O IF(-00X +ct)(2)F(X)是X的不减函数，即对任意心沁 有严XJ乞珥勺) ；IAD (127规范性% = L3.分布函数与概率分布之间的关系若X为离散型随机变量，则 IlL U随机变量的数字特

18、征1.数学期望(1)数学期望的概念定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为-上J 八C -j- E蓋 =lPl+P3 - +Pk+ fc（2）数学期望的性质1若C为常数，则E(C)=C2若a为常数，则E(aX)=aE(X)3若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b4若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差(1)方差的概念定义：设X为随机变量,如果S(IX 存在，则称KX)为X的方差，记作DX方差的算术平方根称为均方差或标准差， V “ J对于离散型随机变量 X,如果X的概率函数为 am* - 则X的方差为 (2)方差的性质1若C为常数，则D(C)=O2若a为常数，则Dg e = H(七3若b为常数，则D(X+b)=D(X) S- Fr1(11) (arctanx) - ,(12) (arc cot x)1 X5.函数的和、差、积、商的导数(u V) = u V ， ( UV) , = u V + UV