广东高考文科数学试题及答案.docx
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广东高考文科数学试题及答案
绝密★启用前试卷类型：
B
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合 M = {-1,1}， N = {-2,1,0}，则 MN = （）
A．{0, -1}B．{0}
C．{ } D．{-1,1}
2、已知 i 是虚数单位，则复数 （1 + i ）2 = （）
A．-2B．2C．-2iD．2i
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A．y = x 2 + sin xB．y = x 2 - cos xC．y = 2x + 1D．y = x + sin 2 x
2x
⎧ x + 2 y ≤ 2
⎪
⎩
A．10B． 8C． 5D． 2
5、设 ∆AB C 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 a = 2 ，c = 2 3 ，cos A =
3
2
，
且 b < c ，则 b = （）
A． 3B． 2C． 2 2D． 3
6、若直线 l 和 l 是异面直线， l 在平面 α 内，l 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，
1212
则下列命题正确的是（）
A． l 至少与 l ， l 中的一条相交B． l 与 l ， l 都相交
1212
C． l 至多与 l ， l 中的一条相交D． l 与 l ， l 都不相交
1212
7、已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这5 件产品中任取 2 件，恰有一件次
品的概率为（）
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A．0.4B．0.6C．0.8D．1
x2y 2
25m2
= 1 （ m > 0 ）的左焦点为 F （-4,0 ），则 m = （
1
）
A． 9B． 4C． 3D． 2
9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB = （1,-2），AD = （2,1），
则 AD ⋅ AC = （）
A．2B．3
C．4 D．5
10、若集合 E = { p, q, r, s ） 0 ≤ p < s ≤ 4,0 ≤ q < s ≤ 4,0 ≤ r < s ≤ 4且p, q, r, s ∈N }，
F = { t, u, v, w） 0 ≤ t < u ≤ 4,0 ≤ v < w ≤ 4且t, u, v, w ∈N }，用 card （X ）表示集合 X 中的元素个
数，则 card （E）+ card （F） = （）
A ． 50B ． 100C ． 150
D． 200
二、填空题（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．）
（一）必做题（11~13 题）
11、不等式 - x2 - 3x + 4 > 0 的解集为．（用区间表示）
12、已知样本数据 x ， x ，⋅⋅⋅ ， x 的均值 x = 5 ，则样本数据2 x + 1 ，2 x + 1 ，⋅⋅⋅ ，2 x + 1
12n12n
的均值为．
13、若三个正数 a ， b ， c 成等比数列，其中 a = 5 + 2 6 ， c = 5 - 2 6 ，则 b =．
（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为 ρ （cosθ + sinθ ） = -2 ，曲线 C 的参数
12
⎧⎪ x = t 2
12
15、（几何证明选讲选做题）如图1， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB 的延长线
上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C ，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D ．若
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AB = 4 ， CE = 2 3 ，则 AD =．
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分 12 分）已知 tan α = 2 ．
⎝4 ⎭
（2）求
sin 2α
sin 2α + sin α cos α - cos 2α - 1
的值．
17、（本小题满分 12 分）某城市100 户居民的月平均用电量（单位：
度），以 [160,180 ） ，
[180,200 ），[200,220 ），[220,240 ），[240,260 ），[260,280 ），[280,300]分组的频率分布直
方图如图 2 ．
（1） 求直方图中 x 的值；
（2 ）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 [220,240 ），[240,260 ），[260,280 ），[280,300]的四组用户中，用分
层抽样的方法抽取11 户居民，则月平均用电量在 [220,240 ）的用户中应抽取多少户？
18、（本小题满分 14 分）如图 3 ，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂
直， PD = PC = 4 ， AB = 6 ， BC = 3 ．
（1） 证明：
BC// 平面 PDA ；
（2）证明：
BC ⊥ PD ；
（3）求点 C 到平面 PDA 的距离．
19、 本小题满分 14 分）设数列 {a }的前 n 项和为 S ，n ∈N * ．已知 a = 1 ，a =
nn12
3 5
3
且当 n ≥ 2 时， 4S
（1） 求 a 的值；
4
n+2
+ 5S = 8S
n
n+1
+ S
n-1
．
1⎫
2n ⎭
（3）求数列 {a }的通项公式．
n
20、（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线 l 与圆 C :
x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的
1
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两点 A ， B ．
（1） 求圆 C 的圆心坐标；
1
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
（3）是否存在实数 k ，使得直线 L:
y = k （x - 4）与曲线 C 只有一个交点？
若存在，求出 k 的
取值范围；若不存在，说明理由．
21、（本小题满分 14 分）设 a 为实数，函数 f （x ） = （x - a ）2 + x - a - a （a - 1）．
（1） 若 f （0） ≤ 1，求 a 的取值范围；
（2）讨论 f （x ）的单调性；
（3）当 a ≥ 2 时，讨论 f （x ）+ 4 在区间 （0, +∞）内的零点个数．
x
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