大学物理练习题.docx
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大学物理练习题
大学物理练习题
练习1在笛卡尔坐标系中描述质点的运动
1-1D；D；B；C1-m；10m；x=2；10m/s2，－1m/sx21-解：
y?
19?
2
v?
2i?
4tja?
?
4j
垂直时，则
r?
v=0
2
?
?
0?
2ti?
j
t?
0s，t?
?
3s
1-解：
设质点在x处的速度为v，
a?
dvdvdx2?
6xdtdxdt
v
x
2
vdv?
2?
6xdx?
?
0
?
?
v?
2x?
x3
1-解：
a?
又a?
?
ky，所以
?
?
dvdvdydv
?
?
v
dtdydtdy
-ky?
vdv/dy
?
?
kydy?
?
vdv
11
?
ky2?
v2?
C2
已知y?
y0，v?
v0则
1212C?
?
v0?
ky0
2222
v2?
v0?
kdvdvdxdv
1-证：
v?
?
Kv2
dtdxdtdx
dv/v=－Kdx
xv1
ln?
?
Kx,v?
?
Kdx?
v0v?
0
v0v
v=v0e
－Kx
练习在自然坐标系中描述质点的运动、相对运动
2-1C；A；B；D；E
2-2gsin?
?
，gcos?
；v0cos?
0/g；-c，2/R；69.m/s；
2
2
13
ct，2ct，c2t4/R
2-解：
物体的总加速度a为
a?
at?
an
aatR
tan?
?
t?
?
2
anattatt2
R
t?
R
cot?
at
a
S?
1att2?
1Rcot?
22
2-4解：
质点的运动方程可写成S=bt,式中b为待定常量。
由此可求得
v2b2dSdvd2S
?
v?
?
b,at0,an?
ρ?
dtdtdt2
由此可知，质点作匀速率曲线运动，加速度就等于法向加速度。
又由于质点自外向内运动，
?
?
越来越小，而b为常数，所以该质点加速度的大小是越来越大。
2-解：
设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：
vFE=60km/h正西方向vAF=180km/h方向未知vAE大小未知，正北方向
所以
西vAE?
vAF?
vFE
vAE、vAF、vAE构成直角三角形，可得
vAE?
?
170km/h?
?
tg
?
1
vFE/vAE?
19.4?
飞机应取向北偏东19.4?
的航向。
练习牛顿运动定律
3-1C；D；D；B；B
2
3-l/cosθ；2％
3-解：
先计算公路路面倾角?
。
设计时轮胎不受路面左右方向的力，而法向力应在水平方向上．因而有
Nsin?
?
mv12/RNcos?
?
mg
所以
v12
tg?
?
Rg
当有横向运动趋势时，轮胎与地面间有摩擦力，最大值为?
N′，这里N′为该时刻地面对车的支持力。
由牛顿定律
2
N?
sinN?
cos?
?
mv2/RN?
cosN?
sin?
?
mg
所以
2
Rgsin?
?
v2cos2
v2sin?
?
Rgcos?
v12
将tg?
?
代入得
Rg
2
v12?
v2
?
?
22?
0.078
v2v1
?
RgRg
3-解：
设同步卫星距地面的高度为h，距地心的距离r?
R+h。
由
GMm/r2?
mr?
①
22
又由GMm/R?
mg得GM?
gR，代入①式得
r?
1/②
同步卫星的角速度?
?
7.27?
10rad/s，解得
?
5
r?
4.22?
107m，h?
r?
R?
3.58?
10km
由题设可知卫星角速度?
的误差限度为
?
5.5?
10?
10rad/s
由②式得
r3?
gR2/?
2l?
ln?
2ln?
取微分并令dr=?
r，d，且取绝对值，有
3?
?
r/r=2?
r=2r?
?
/mgy0，mv0；，
m?
m212
F?
t1F?
t1
?
；v?
m?
m?
Mv?
；1N2s
m1?
m2m2
4-解：
设沙子落到传送带时的速度为v1，随传送带一起运动的速度为v2，则取直角坐标系，x轴水平向右，y轴向上。
v1?
?
-4j,v2?
3i
设质量为?
m的砂子在?
t时间内平均受力为F,则
?
p?
m?
v2?
?
m?
v1?
mF
?
t?
t?
t
由上式即可得到砂子所受平均力的方向，设力与x轴的夹角为?
，则
?
?
tg?
1=3°
力方向斜向上。
4-解：
人到达最高点时，只有水平方向速度v=v0cos?
，此人于最高点向后抛出物
体m。
设抛出后人的速度为v1，取人和物体为一系统，则该系统水平方向的动量守恒。
即
v?
Mv1?
m
v1?
v?
mu/
由于抛出物体而引起人在水平方向的速度增量为
?
v?
v1
?
v?
mu/
因为人从最高点落到地面的时间为
t?
v0sin?
/g
故人跳的水平距离增加量为
?
x?
t?
v?
muv0sin?
g
4-解：
以炮弹与炮车为系统，以地面为参考系，水平方向动量守恒．设炮车相对于地面的速率为Vx，则有
MVx?
m?
0Vx?
?
mucos?
/
即炮车向后退。
以u表示发炮过程中任一时刻炮弹相对于炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为
Vx?
?
mucos?
/通过积分，可求炮车后退的距离
m
?
x?
Vxdt?
?
ucos?
dt?
M?
m00
t
?
t
?
x?
?
即向后退。
mlcos?
M?
m
练习机械能守恒定律
5-1B；A；D；C
2112GMm25-1J，m/s；GMm或?
3RR3R
k，?
k
5-解：
建立如图坐标。
某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为
f?
?
m
摩擦力的功
ygl
?
a
Wf?
?
?
l?
a
?
mg2l
m
fdygydy
l?
al
y2
0l?
a
?
?
?
mg2l
2
题5-3解图
x
以链条为对象，应用质点的动能定理
112
W?
mv2?
mv0
22
W?
WP?
Wf，v0?
0
mgmg
WP?
?
Pdx?
?
xdx?
aal2l
l
l
Wf?
?
2
2
?
mg2
2l
mg?
mg1
?
2?
mv2
2l2l2
g222v
?
-解：
陨石落地过程中，万有引力的功
W?
?
GMm
根据动能定理
drGMmh
?
2?
RrR?
h
R
GMmh112
?
mv2?
mv0
R22v?
5-解：
如图所示，设l为弹簧的原长，O处为弹性势能零点；x0为挂上物体后的伸长量，O＇为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O?
处为重力势能的零点．由题意得物体在O＇处的机械能为E1?
EK0?
12
kx0?
mgsin?
2
E2?
在O?
处，其机械能为
11
mv2?
kx2
由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即
EK0
1211
?
kx0?
mgsin?
?
mv2?
kx222
mg
sin?
=kx0
在平衡位置有
x0
?
mg
sin?
k
代入上式整理得
内容提要
位矢：
r?
r?
xi?
yj?
zk
?
?
位移：
?
r?
r?
r?
?
xi?
?
yj?
?
zk
一般情况，?
r?
?
r
?
?
?
?
rdrdx?
dy?
dz
速度：
?
?
lim?
?
i?
j?
k?
xi?
yj?
zk
?
t?
0?
tdtdtdtdt
?
?
d?
d2rd2x?
d2y?
d2z
加速度：
a?
lim?
?
2?
2i?
2j?
2k?
xi?
yj?
zk
?
t?
0?
tdtdtdtdtdt
?
圆周运动
d?
?
角速度：
dt
d?
d2
?
2?
?
角加速度：
?
?
dtdt
线加速度：
a?
an?
at法向加速度：
an?
切向加速度：
at?
线速率：
?
?
R?
弧长：
s?
R?
伽利略速度变换：
u
?
2
R
?
R?
2指向圆心
d?
?
R?
沿切线方向dt
解题参考
大学物理是对中学物理的加深和拓展。
本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。
对于本章习题的解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。
矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。
注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。
微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。
这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分求出质点在任意时刻的位矢、速度或加速度；另一种是已知加速度或速度与时间的关系及初始条件，通过积分求出任意时刻质点的速度、位矢或相互间的关系，注意式子变换过程中合理的运用已知公式进行变量的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。
质点运动学1
一、选择题
1、分别以r、s、?
和a表示质点运动的位矢、路程、速度和加速度，下列表述中正
确的是
?
A、?
r?
?
r
?
drdsd?
B、C、a?
dtdtdt
2
3
D、
dr
?
?
[]dt
2、一质点沿Y轴运动，其运动学方程为y?
4t?
t，t?
0时质点位于坐标原点，
当质点返回原点时，其速度和加速度分别为A、16m?
s，16m?
s
?
1?
1
?
2
?
2
B、?
16m?
s，16m?
s
?
1
?
1?
2
[]
C、?
16m?
s，?
16m?
sD、16m?
s，?
16m?
s
?
2
3、质点在平面内运动，位矢为r，若保持?
?
0，则质点的运动是
A、匀速直线运动B、变速直线运动C、圆周运动D、匀速曲线运动[]二、填空题
4、一质点沿直线运动,其运动学方程为x?
6t?
t，则t由0至4s的时间间隔内，质点
的位移大小为，在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为。
、质点的运动方程为r?
i?
j，当t?
2s时，其加速度23
6、质点以加速度a?
k?
t作直线运动，式中k为常数，设初速度为?
0，则质点速度?
与时间t的函数关系是。
、灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，在灯下以匀速率
v沿水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为vM
三、计算题
8、一质点按x?
5cos6?
t,y?
8sin6?
t规律运动。
求该质点的轨迹方程；
第五秒末的速度和加速度
9、某质点的初位矢r?
2i，初速度?
?
2j，加速度a?
4i?
2tj，求该质点的
速度；该质点的运动方程。
?
?
?
?
?
?
?
质点运动学2
一、选择题
?
1、以下五种运动形式中，a保持不变的运动是A、圆锥摆运动．B、匀速率圆周运动．
C、行星的椭圆轨道运动．D、抛体运动．［］、下列说法正确的是
A、质点作圆周运动时的加速度指向圆心；B、匀速圆周运动的加速度为恒量；C、只有法向加速度的运动一定是圆周运动；D、只有切向加速度的运动一定是直线运动。
[
]
3、一质点的运动方程是r?
Rcos?
ti?
Rsin?
tj，R、?
为正常数。
从t＝?
/?
到
t=2?
/?
时间内
该质点的位移是[]?
2Ri；Ri；?
2j；0。
该质点经过的路程是[]R；?
R；0；?
R?
。
二、填空题
4、质点在半径为16m的圆周上运动，切向加速度at?
4m/s，若静止开始计时，当
t45度；此时质点在圆周上经过的路程s=
。
22
5、质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为?
?
3?
2t，则ｔ时刻质点的法向加
速度大小为an?
。
、某抛体运动，如忽略空气阻力，其轨迹最高点的曲率半径恰为.8m，已知物体是
以60度仰角抛出的，则其抛射时初速度的大小为。
7、距河岸500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n=1r/min转
动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v=__________．
大学物理考试复习题及答案1一质点在xOy平面上运动，运动方程为x=t+5,x式中t以s计，,y以m计．以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；计算t＝0s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；求出质点速度矢量表示式，计算t＝s时质点的速度；计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度．解：
将t?
1,t?
代入上式即有?
1?
?
r?
i?
jm∵∴则∵?
?
?
?
drv?
?
i?
jm?
s?
1dt?
?
?
r1?
i?
0.jm?
?
?
r?
11j?
jm?
?
?
?
?
?
r?
r?
r1?
j?
.jm?
?
?
?
?
?
r0?
j?
j,r?
17i?
1j?
?
?
?
?
?
?
?
?
rr?
r012i?
0jv?
?
?
?
i?
jm?
s?
1?
t?
0?
?
?
v?
i?
jm?
s?
1?
?
?
?
?
?
v0?
i?
j,v?
i?
jm?
s?
?
?
?
dva?
?
1jm?
s?
dt?
?
?
?
?
?
vv?
v0a?
?
?
?
1j?
t这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
a质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a＝2+x，的x单位为m?
s?
，的单位为m.质点在x＝0处，速度为10m?
s?
1,试求质点在任何坐标处的速度值．解∵a?
dvdvdxdv?
?
vdtdxdtdx分离变量?
d?
?
adx?
dx
两边积分得由题知，x?
0时，v0?
10,∴c?
0v?
x?
x?
m?
s∴已知一质点作直线运动，其加速度为a＝4+tm?
s?
，开始运动时，x＝m，v=0，求该质点在t＝10s时的速度和位置．?
11v?
x?
x?
c解：
∵分离变量，得a?
dv?
?
tdtdv?
dtv?
t?
t?
c1积分，由题知，t?
0,v0?
0,∴c1?
0故v?
t?
t又因为v?
dx?
t?
tdtdx?
dt1x?
t?
t?
c分离变量，积分得由题知t?
0,x0?
∴c?
1x?
t?
t?
故所以t?
10s时v10?
?
10?
?
10?
190m?
s?
11x10?
?
10?
?
10?
?
0m一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为?
=2+t，?
式中以弧度计，t以秒计，求：
t＝s时，质点的切向和法向加速度；当加速度的方向和半径成5°角时，其角位移是多少d?
d?
?
t,?
?
?
18tdtdt解：
t?
s时，a?
?
R?
?
1?
18?
?
m?
s?
an?
R?
?
1?
?
1296m?
s?
2当加速度方向与半径成5ο角时，有R?
?
R?
?
18t即亦即则解得?
?
?
t?
?
?
?
.6t?
radtan5?
?
a?
?
1an于是角位移为为质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是常量，求：
t时刻质点的加速度；t为何值时，加速度在数值上等于b．解：
v?
ds?
v0?
btdt1v0t?
bt质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中sdv?
?
bdtvan?
?
RRa?
?
则加速度与半径的夹角为a?
a?
?
a?
b?
R2n?
?
arctana?
?
Rb?
an由题意应有a?
b?
b?
Rb?
b?
0,?
?
0R即t?
v0b∴当时，a?
b半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：
证明轮缘上任意点B的运动方程为x＝R，y＝R，式中?
?
v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；求B点速度和加速度的分量表示式．
解：
依题意作出下图，由图可知x?
v0t?
Rsin?
v0t?
Rsin?
?
2cos?
2题1-图y?
Rsinsin?
R?
R?
R?
?
dx?
?
vx?
dt?
R?
?
?
?
v?
dy?
Rsin?
t）?
ydt?
dv?
ax?
R?
sin?
t?
x?
?
dt?
?
a?
R?
cos?
t?
dvy?
ydt?
飞轮半径为0.m，自静止启动，其角加速度为β=0.rad·s?
，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：
当t?
s时，?
?
?
t?
0.?
?
0.rad?
s?
1则v?
R?
?
0.?
0.?
0.1m?
s?
1an?
R?
?
0.?
?
0.06m?
s?
2a?
?
R?
?
0.?
0.?
0.0m?
s?
2a?
an?
a?
?
?
?
0.10m?
s?
28如题1-1图，物体A以相对B的速度v＝gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．解：
当滑至斜面底时，y?
h，则v?
A?
gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，因此，A对地的速度为?
?
?
’vA地?
u?
vA?
?
?
i?
j
题1-1图-1一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其-1前方以速率v＝40km·h沿直线向北行驶，问
在船上看小艇的速度为何?
在艇上看船的速度又为何?
?
?
?
解：
大船看小艇，则有v21?
v?
v1，依题意作速度矢量图如题1-1图题1-1图由图可知v1?
v1?
v?
0km?
h?
1方向北偏西?
?
?
小船看大船，则有v1?
v1?
v，依题意作出速度矢量图如题1-1图，同上法，得v1?
0km?
h?
1?
?
arctanv1?
arctan?
6.87?
v2方向南偏东6.87o?
10一质量为m的质点以与地的仰角?
=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．解:
依题意作出示意图如题-图题-图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为0o，则动量的增量为?
?
?
?
p?
mv?
mv0?
由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．11作用在质量为10单位是s，求s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．为了使这力的冲量为00N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具?
-1有初速度?
jm·s的物体,回答这两个问题．解:
若物体原来静止，则?
?
t?
?
?
p1?
?
Fdt?
?
idt?
kg?
m?
s?
1i00?
F?
iN，kg的物体上的力为式中t的,沿x轴正向，?
?
?
?
p?
v1?
1?
.m?
s?
1im?
?
?
I1?
?
p1?
kg?
m?
s?
1i若物体原来具有?
m?
s?
1初速，则?
tFt?
?
?
?
?
?
p0?
?
mv0,p?
m?
?
mv0?
?
Fdt0m0于是?
t?
?
?
?
?
p?
p?
p0?
?
Fdt?
?
p10同理，这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量就一定相同，这就是动量定理．同上理，两种情况中的作用时间相同，即I?
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dt?
10t?
t0t?
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v?
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v1,I?
I1,t?
10t?
00?
0亦即解得t?
10s，1一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为?
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r?
acos?
ti?
bsin?
tj求质点的动量及t＝0到量和质点动量的改变量．t时间内质点所受的合力的冲
解:
质点的动量为t?
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p?
mv?
m?
将t?
0和分别代入上式，得?
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p1?
m?
bj,p?
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m?
ai,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为?
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I?
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p?
p?
p1?
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m?
1
设F合?
i?
jN．当一质点从原点运动到?
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r?
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3i?
j?
16km时，求F所作的功．如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．?
解:
由题知，F合为恒力，?
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A合?
F?
r?
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∴?
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21?
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4JAP?
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w?
t0.6由动能定理，?
Ek?
A?
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4J1以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．解:
以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题-1图，则铁钉所受阻力为题-1图f?
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ky第一锤外力的功为A1A1?
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f?
dy?
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fdy?
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kydy?
ss01k①式中f?
是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，
在dt?
0时，f?
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f．设第二锤外力的功为A，则同理，有A?
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kydy?
1y21kky?
②由题意，有1kA?
A1?
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③即所以，于是钉子第二次能进入的深度为1kkky?
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y?
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y?
y?
y1?
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1?
0.41cm1如题-1图所示，一物体质量为kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为N，到达B点后压缩弹簧0cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．解:
取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。
则由功能原理，有1?
1?
kx?
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mv?
mgssin7?
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1mv?
mgssin7?
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frsk?
1kx式中s?
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0.?
m，x?
0.m，再代入有关数据，解得?
frs?
-1k?
1390N?
m-1题-1图再次运用功能原理，求木块弹回的高度
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