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1、大学物理练习题 大学物理练习题 练习1 在笛卡尔坐标系中描述质点的运动 1-1D；D；B；C 1-m；10 m；x = 2；10 m/s2，1m/sx21-解：y?19? 2 v?2i?4tja?4j 垂直时，则 r?v=0 2 ?0 ?2ti?j t?0s，t?3s 1-解：设质点在x处的速度为v， a? dvdvdx2?6xdtdxdt v x 2 vdv?2?6xdx ?0 ? v?2x?x3 1-解： a?又a?ky，所以 ? dvdvdydv ?v dtdydtdy -ky?v dv / dy ?kydy?vdv 11 ?ky2?v2?C2 已知y?y0 ，v?v0 则 1212C?

2、v0?ky0 2222 v2?v0?k dvdvdxdv 1-证： v?Kv2 dtdxdtdx d v /v =Kdx xv1 ln?Kx,v?Kdx?v0v?0 v0v v =v 0e Kx 练习 在自然坐标系中描述质点的运动、相对运动 2-1 C；A；B ；D；E 2-2gsin?，gcos? ；v0cos?0/g ；-c ，2/R；69.m/s； 2 2 13 ct，2ct，c2t4/R 2-解：物体的总加速度a为 a?at?an aatR tan?t?2 anattatt2 R t? R cot? at a S?1att2?1Rcot? 22 2-4解：质点的运动方程可写成 S =

3、bt , 式中b为待定常量。由此可求得 v2b2dSdvd2S ?v?b , at0 , an? ?dtdtdt2 由此可知，质点作匀速率曲线运动，加速度就等于法向加速度。又由于质点自外向内运动， ?越来越小，而b为常数，所以该质点加速度的大小是越来越大。 2-解： 设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知： vFE =60 km/h 正西方向vAF =180 km/h方向未知 vAE 大小未知， 正北方向 所以 西 vAE?vAF?vFE vAE、 vAF、vAE构成直角三角形，可得 vAE?170 km/h ?tg ?1 vFE/vAE?19.4? 飞机应取向北偏东19.4?的航向。

4、练习 牛顿运动定律 3-1 C；D ；D；B；B 2 3-l/cos；2 3- 解：先计算公路路面倾角? 。 设计时轮胎不受路面左右方向的力，而法向力应在水平方向上因而有 Nsin?mv12/R Ncos?mg 所以 v12 tg? Rg 当有横向运动趋势时，轮胎与地面间有摩擦力，最大值为?N，这里N为该时刻地面对车的支持力。由牛顿定律 2 N?sinN?cos?mv2/R N?cosN?sin?mg 所以 2 Rgsin?v2cos2 v2sin?Rgcos? v12 将tg?代入得 Rg 2 v12?v2 ?22?0.078 v2v1 ?RgRg 3-解： 设同步卫星距地面的高度为h，距地

5、心的距离r?R+h。由 GMm/r2?mr? 22 又由GMm/R?mg得GM?gR，代入式得 r?1/ 同步卫星的角速度?7.27?10 rad/s，解得 ?5 r?4.22?107m， h?r?R?3.58?10km 由题设可知卫星角速度?的误差限度为 ?5.5?10?10 rad/s 由式得 r3?gR2/?2l?ln?2ln? 取微分并令dr =?r，d，且取绝对值，有 3?r/r =2 ?r=2r? /mgy0，mv0；， m?m212 F?t1F?t1 ?；v?m?m?Mv?；1N2s m1?m2m2 4- 解：设沙子落到传送带时的速度为v1，随传送带一起运动的速度为v2，则取直角

6、坐标系，x轴水平向右，y轴向上。 v1?-4j, v2?3i 设质量为?m 的砂子在?t时间内平均受力为F,则 ?p?m?v2?m?v1?mF ?t?t?t 由上式即可得到砂子所受平均力的方向，设力与x轴的夹角为?，则 ?tg?1=3 力方向斜向上。 4- 解：人到达最高点时，只有水平方向速度v = v 0cos?，此人于最高点向后抛出物 体m。设抛出后人的速度为v 1，取人和物体为一系统，则该系统水平方向的动量守恒。即 v?Mv1?m v1?v?mu/ 由于抛出物体而引起人在水平方向的速度增量为 ?v ?v1 ?v?mu/ 因为人从最高点落到地面的时间为 t?v0sin?/g 故人跳的水平距

7、离增加量为 ?x?t?v? muv0sin? g 4- 解： 以炮弹与炮车为系统，以地面为参考系，水平方向动量守恒设炮车相对于地面的速率为Vx，则有 MVx?m?0 Vx?mucos?/ 即炮车向后退。 以u表示发炮过程中任一时刻炮弹相对于炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为 Vx?mucos?/ 通过积分，可求炮车后退的距离 m ?x?Vxdt?ucos?dt ?M?m00 t ? t ?x?即向后退。 mlcos? M?m 练习 机械能守恒定律 5-1 B；A；D；C 2112GMm25-1J，m/s；GMm 或 ? 3RR3R k ，?k 5- 解：建立如图坐标。 某一时刻桌面上全链条长为

8、y,则摩擦力大小为 f?m 摩擦力的功 ygl ?a Wf? ? l?a ?mg2l m fdygydy l?al y2 0l?a ? ?mg2l 2 题5-3解图 x 以链条为对象，应用质点的动能定理 112 W?mv2?mv0 22 W?WP?Wf，v0?0 mgmg WP?Pdx?xdx? aal2l l l Wf? 2 2 ?mg2 2l mg?mg1 ?2?mv2 2l2l2 g222v ?- 解：陨石落地过程中，万有引力的功 W?GMm 根据动能定理 drGMmh ?2?RrR?h R GMmh112 ?mv2?mv0 R22v? 5- 解：如图所示，设l为弹簧的原长，O处为弹性势

9、能零点；x0为挂上物体后的伸长量，O为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O?处为重力势能的零点由题意得物体在O处的机械能为E1?EK0? 12 kx0?mgsin?2 E2? 在O? 处，其机械能为 11 mv2?kx2 由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即 EK0 1211 ?kx0?mgsin?mv2?kx222 mg sin? =kx0 在平衡位置有 x0 ?mg sin? k 代入上式整理得 内容提要 位矢：r?r?xi?yj?zk ? 位移：?r?r?r?xi?yj?zk 一般情况，?r?r ? ? ?rdrdx?dy?dz 速度：?lim?i?j?k?xi?yj?zk ?t

10、?0?tdtdtdtdt ?d?d2rd2x?d2y?d2z 加速度：a?lim?2?2i?2j?2k?xi?yj?zk ?t?0?tdtdtdtdtdt ? 圆周运动 d? 角速度： dt d?d2 ?2? 角加速度：?dtdt 线加速度：a?an?at 法向加速度：an?切向加速度：at? 线速率：?R? 弧长：s?R? 伽利略速度变换：u ?2 R ?R?2指向圆心 d? ?R? 沿切线方向 dt 解题参考 大学物理是对中学物理的加深和拓展。本章对质点运动的描述相对于中学时更强调其瞬时性、相对性和矢量性，特别是处理问题时微积分的引入，使问题的讨论在空间和时间上更具普遍性。 对于本章习题的

11、解答应注意对基本概念和数学方法的掌握。 矢量的引入使得对物理量的表述更科学和简洁。注意位矢、位移、速度和加速度定义式的矢量性，清楚圆周运动角位移、角速度和角加速度方向的规定。 微积分的应用是难点，应掌握运用微积分解题。这种题型分为两大类，一种是从运动方程出发，通过微分求出质点在任意时刻的位矢、速度或加速度；另一种是已知加速度或速度与时间的关系及初始条件，通过积分求出任意时刻质点的速度、位矢或相互间的关系，注意式子变换过程中合理的运用已知公式进行变量的转换，掌握先分离变量后积分的数学方法。 质点运动学1 一、选择题 1、 分别以r、s、?和a表示质点运动的位矢、路程、速度和加速度，下列表述中正

12、确的是 ? A、?r?r ? drdsd?B、 C、a? dtdtdt 2 3 D、 dr ? dt 2、 一质点沿Y轴运动，其运动学方程为y?4t?t， t?0时质点位于坐标原点， 当质点返回原点时，其速度和加速度分别为A、16m?s，16m?s ?1?1 ?2 ?2 B、?16m?s，16m?s ?1 ?1?2 C、?16m?s，?16m?sD、16m?s，?16m?s ?2 3、 质点在平面内运动，位矢为r，若保持? ?0，则质点的运动是 A、匀速直线运动 B、 变速直线运动 C、圆周运动D、匀速曲线运动 二、填空题 4、 一质点沿直线运动,其运动学方程为x?6t?t，则t由0至4s的时

13、间间隔内，质点 的位移大小为 ，在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为 。、 质点的运动方程为r?i?j，当t?2s时，其加速度23 6、 质点以加速度a?k?t作直线运动，式中k为常数，设初速度为?0，则质点速度? 与时间t的函数关系是 。、 灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，在灯下以匀速率 v沿水平直线行走，如图所示他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为vM 三、计算题 8、 一质点按x?5cos6?t,y?8sin6?t规律运动。求该质点的轨迹方程； 第五秒末的速度和加速度 9、 某质点的初位矢r?2i，初速度?2j，加速度a?4i?2tj，求该质点的 速度；该质点的运动方程

14、。 ? ? ? ? ? ? 质点运动学2 一、 选择题 ? 1、 以下五种运动形式中，a保持不变的运动是 A、圆锥摆运动 B、匀速率圆周运动 C、行星的椭圆轨道运动D、抛体运动、 下列说法正确的是 A、质点作圆周运动时的加速度指向圆心； B、匀速圆周运动的加速度为恒量； C、只有法向加速度的运动一定是圆周运动； D、只有切向加速度的运动一定是直线运动。 3、 一质点的运动方程是r?Rcos?ti?Rsin?tj，R、?为正常数。从t?/?到 t=2?/?时间内 该质点的位移是 ?2Ri； Ri； ?2j； 0。 该质点经过的路程是 R； ?R； 0； ?R?。 二、 填空题 4、 质点在半径为

15、16m的圆周上运动，切向加速度at?4m/s，若静止开始计时，当 t45度；此时质点在圆周上经过的路程s= 。 22 5、 质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为 ?3?2t，则时刻质点的法向加 速度大小为an?。 、 某抛体运动，如忽略空气阻力，其轨迹最高点的曲率半径恰为.8m，已知物体是 以60度仰角抛出的，则其抛射时初速度的大小为 。 7、 距河岸500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 r/min转 动当光束与岸边成60角时，光束沿岸边移动的速度v =_ 大学物理考试复习题及答案 1 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =t +5,x 式中 t 以 s 计，

16、, y 以 m 计 以时间 t 为变量， 写出质点位置矢量的表示式；求出 t =1 s 时刻和 t 2s 时 刻的位置矢量，计算这 1 秒内质点的位移；计算 t 0 s 时刻到 t 4s 时刻内的平均速度； 求出质点速度矢量表示 式，计算 t s 时质点的速度；计算 t 0s 到 t 4s 内 质点的平均加速度；求出质点加速度矢量的表示式，计 算 t 4s 时质点的加速度 解： 将 t ? 1 , t ? 代入上式即有? 1 ? ? r ? i ? j m 则 ? ? ? ? dr v? ?i ? j m ? s ?1 dt? ? ? r1 ?i ? 0.j m ? ? ? r? 11j ?

17、j m ? ? ? ? ? ?r ? r? r1 ? j ?.j m ? ? ? ? ? ? r0 ? j ? j , r? 17i ? 1j ? ? ? ? ? ? ? ? ?r r? r0 12i ?0 j v? ? ? ?i ? j m ? s ?1 ?t?0? ? ? v?i ? j m ? s ?1 ? ? ? ? ? ? v0 ?i ? j , v?i ? jm ? s ? ? ? dv a? ? 1 j m ? s ?dt? ? ? ? ? ?v v ? v0 a? ? ? ?1j ?t 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 a 质点沿 x 轴运动， 其加速度和位置的关系

18、为 a 2+x ， 的 x 单位为 m ? s ?， 的单位为 m. 质点在 x 0 处， 速度为 10 m ? s?1 , 试求质点在任何坐标处的速度值 解a? dv dv dx dv ? ?v dt dx dt dx分离变量 ?d? ? adx ? dx两边积分得 由题知， x ? 0 时， v0 ? 10 , c ?0v ? x ? x ?m ? s 已知一质点作直线运动，其加速度为 a 4+t m ? s ?，开始 运动时， x m， v =0，求该质点在 t 10s 时的速度和位 置?11 v ?x ?x? c解： 分离变量，得a?dv ? ?t dtdv ? dtv ?t ? t

19、? c1 积分，由题知， t ? 0 , v0 ? 0 , c1 ? 0 故v ?t ? t又因为v?dx ?t ? t dtdx ? dt 1 x ?t ? t ? c分离变量， 积分得 由题知t ? 0 , x0 ? , c?1 x ?t ? t ?故 所以 t ? 10 s 时v10 ? ? 10 ? 10? 190 m ? s ?1 1 x10 ? ? 10? ? 10? ?0m一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 ? =2+t ， ? 式中以弧度计， t 以秒计，求： t s 时，质点的切 向和法向加速度；当加速度的方向和半径成5角时， 其角位移是多少d? d? ?t ,

20、? ? ? 18t dt dt解： t ? s 时，a? ? R? ? 1?18? ?m ? s?an ? R? ? 1? ? 1296m ? s ?2当加速度方向与半径成5 角时，有 R? ? R? ? 18t 即 亦即 则 解 得? ? ?t ? ? ?.6t? r a dtan5? ?a? ?1 an于 是 角 位 移 为为质点离圆周上某点的弧长, v0 ， b 都是常量，求： t 时刻 质点的加速度； t 为何值时，加速度在数值上等于 b 解： v? ds ? v 0 ? bt dt1 v 0 t ? bt 质点沿半径为 R 的圆周按 s 的规律运动，式中 sdv ? ?b dt v

21、an ? ? R R a? ?则 加速度与半径的夹角为 a ? a? ? a ? b ? R2n? ? arctana? ? Rb ? a n 由题意应有a ? b ? b? R b? b? 0 , ? ? 0 R即t? v0 b当 时， a ? b 半径为 R 的轮子，以匀速 v0 沿水平线向前滚动：证明轮 缘上任意点 B 的运动方程为 x R ， y R ， 式中 ? ? v0 / R 是轮子滚动的角速度，当 B 与水平线接触的瞬间 开始计时 此时 B 所在的位置为原点， 轮子前进方向为 x 轴正 方向；求 B 点速度和加速度的分量表示式解：依题意作出下图，由图可知x ? v0 t ? R

22、 sin ? v0 t ? R sin ?2cos?2题 1-图 y ? R sin sin ? R ? R? R?dx ? ?v x ? dt ? R? ? ? ?v ? dy ? R sin ?t ) ? y dt ?dv ? a x ? R? sin ?t ? x ? ? dt ? ?a ? R? cos?t ? dv y ? y dt ?飞轮半径为 0.m，自静止启动，其角加速度为 =0.rads ?，求 t 2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向 加速度和合加速度 解：当 t ? s 时， ? ? ?t ? 0.? ? 0.rad ? s ?1 则 v ? R? ? 0.? 0.

23、? 0.1m ? s ?1an ? R? ? 0.? ? 0.06m ? s ?2a? ? R? ? 0.? 0.? 0.0m ? s ?2a ? a n ? a? ? ? 0.10m ? s ?28如题 1-1图， 物体 A 以相对 B 的速度 v gy 沿斜面滑动， y 为纵坐标， 开始时 A 在斜面顶端高为 h 处，B 物体以 u 匀速向 右运动，求 A 物滑到地面时的速度 解：当滑至斜面底时， y ? h ，则 v?A ?gh , A 物运动过程中又 受到 B 的牵连运动影响，因此， A 对地的速度为? ? ? v A地 ? u ? v A ? ? ? i ? j题 1-1图 -1 一

24、船以速率 v1 30kmh 沿直线向东行驶，另一小艇在其 -1 前方以速率 v40kmh 沿直线向北行驶，问 在船上看小艇的速度为何?在艇上看船 的速度又为何? ? ? ? 解：大船看小艇，则有 v21 ? v? v1 ，依题意作速度矢量图 如题 1-1图题 1-1图 由图可知v1 ? v1? v ?0 km ? h ?1方向北偏西 ? ? ? 小船看大船，则有 v1? v1 ? v，依题意作出速度矢量图如题 1-1图，同上法，得v1?0 km ? h ?1? ? arctanv1 ? arctan ?6.87? v2方向南偏东6.87o ? 10 一质量为 m 的质点以与地的仰角 ? =30

25、的初速 v0 从地面抛 出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增 量 解: 依题意作出示意图如题-图题-图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速 度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为0o ， 则动量的增量为? ? ? ?p ? mv ? mv0 ? 由矢量图知，动量增量大小为 mv0 ，方向竖直向下11 作用在质量为 10 单位是 s，求s 后，这物体的动量和速度的变化，以及 力给予物体的冲量为了使这力的冲量为00 Ns，该 力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具 ? -1 有初速度 ? j ms 的物

26、体,回答这两个问题 解: 若物体原来静止，则? ? t ? ? ?p1 ? ? Fdt ? ? i dt ?kg ? m ? s ?1i0 0? F ? i N， kg 的物体上的力为 式中 t 的,沿 x 轴正向， ? ? ? ?p ?v1 ? 1 ?.m ? s ?1i m ? ? ? I 1 ? ?p1 ?kg ? m ? s ?1i若物体原来具有 ? m ? s ?1 初速，则? t F t ? ? ? ? ? ? p0 ? ?mv0 , p ? m ? ?mv0 ? ? Fdt 0 m 0 于是 ? t ? ? ? ? ?p? p ? p0 ? ? Fdt ? ?p10同理， 这说明

27、，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无 初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量 就一定相同，这就是动量定理 同上理，两种情况中的作用时间相同，即I ? ? dt ? 10t ? t0 t? ? ? ? ?v? ?v1 , I ? I1,t ? 10t ?00 ? 0 亦即 解得 t ? 10 s ， 1一质量为 m 的质点在 xOy 平面上运动，其位置矢量为 ? ? ? r ? a cos?ti ? b sin ?tj求质点的动量及 t 0 到 量和质点动量的改变量t 时间内质点所受的合力的冲解:质点的动量为t? ? ? ? p ? mv ? m? 将t ? 0 和分别代

28、入上式，得 ? ? ? ? p1 ? m?bj , p? ?m?ai , 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为? ? ? ? ? ? ? I ? ?p ? p? p1 ? ?m? 1 设 F合 ?i ? jN 当一质点从原点运动到 ? ? ? ? ? r ? ?3i ? j ? 16km 时，求 F 所作的功如果质点到 r 处时需 0.6s，试求平均功率如果质点的质量为 1kg，试求动能 的变化 ? 解: 由题知， F合 为恒力， ? ? ? ? ? ? ? A合 ? F ? r ? ? ? ?21? ?4J AP? ? ?w ?t 0 .6 由动能定理， ?Ek ? A ? ?4J 1以铁锤

29、将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉 进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击 入木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打 击铁钉时的速度相同 解: 以木板上界面为坐标原点， 向内为 y 坐标正向， 如题-1图，则铁钉所受阻力为题-1图f ? ?ky第一锤外力的功为 A1A1 ? ? f ?dy ? ? ? fdy ? ? ky dy ?s s 0 1k 式中 f ? 是铁锤作用于钉上的力， f 是木板作用于钉上的力，在 dt ? 0 时， f ? ? ? f 设第二锤外力的功为 A，则同理，有A? ? ky dy ?1 y21 k ky ? 由题意，有1 k

30、 A? A1 ? ? ? 即 所以， 于是钉子第二次能进入的深度为1 k k ky ? ?y?y ? y? y1 ? ? 1 ? 0.41cm1如题-1图所示， 一物体质量为kg， 以初速度 v0 3m s 从斜面 A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为N，到达 B 点后压 缩弹簧0cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和 物体最后能回到的高度 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹 簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有1 ?1 ? kx ? ? m v ? m gssin7? ? ? 1 m v ? m gssin7? ? f r s k? 1 kx 式中 s ?.? 0.? m ， x ? 0.m ，再代入有关数据，解得 ? fr s ?-1k ? 1390 N ? m -1题-1图 再次运用功能原理，求木块弹回的高度