电大高数基础形考14答案可编辑修改word版.docx
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电大高数基础形考14答案可编辑修改word版
2019年电大高数基础形考1-4答案
《高等数学基础》作业一
（一）单项选择题
第1章函数
第2章极限与连续
⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A.f（x）=（x）2，g（x）=x
3
B.
f（x）=，g（x）=x
x2-1
C.f（x）=lnx
，g（x）=3lnx
D.f（x）=x+1，g（x）=
x-1
⒉设函数f（x）的定义域为（-∞,+∞），则函数f（x）+f（-x）的图形关于（C）对称．
A.坐标原点B.x轴
C.y轴D.y=x
⒊下列函数中为奇函数是（B）．
A.y=ln（1+x2）
ax+a-x
C.y=
2
B.y=xcosx
D.y=ln（1+x）
⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．
A.y=x+1
C.y=x2
B.y=-x
⎨
D.y=⎧-1,
⎩1,
x<0
x≥0
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
x2
A.lim=1
x→∞x+2
sinx
B.
limln（1+x）=0
x→0
1
C.lim=0D.limxsin=0
x→∞xx→∞x
⒍当x→0时，变量（C）是无穷小量．
sinx1
A.B.
xx
1
C.xsin
x
D.ln（x+2）
⒎若函数f（x）在点x0满足（A），则f（x）在点x0连续。
A.limf（x）=
x→x0
f（x0）
B.
f（x）在点x0的某个邻域内有定义
C.lim
x→x+
f（x）=
f（x0）
D.
lim
x→x+
f（x）=lim
x→x-
f（x）
（二）填空题
⒈函数f（x）=
x-3
+ln（1+x）的定义域是{x|x>3}．
⒉已知函数f（x+1）=x2+x，则f（x）=x2-x．
⒊lim（1+
x→∞
1）x=．
2x
lim（1+
1）x=lim（1+1
2x⨯11
）2=e2
x→∞2xx→∞2x
⎨
⎧1
⒋若函数f（x）=⎪（1+x）x,
x<0，在x=0处连续，则k=e．
⎪⎩
⎧x+1,
⒌函数y=⎨
⎩sinx,
x+k,
x>0
x≤0
x≥0
的间断点是x=0．
⒍若limf（x）=A，则当x→x0时，f（x）-A称为x→x0时的无穷小量．
x→x0
（二）计算题
⒈设函数
求：
f（-2）,
f（0）,
f
（1）．
⎧ex,
f（x）=⎨
⎩x,
x>0
x≤0
解：
f（-2）=-2，f（0）=0，f
（1）=e1=e
2x-1
⒉求函数y=lg
的定义域．
x
⎧2x-1>0⎧
⎪
⎪
2x-1⎪1
解：
y=lg
有意义，要求⎨
⎪
x⎪x≠0
⎩
解得⎨x>或x<0
⎪
⎪⎩x≠0
则定义域为⎧x|x<0或x>1⎫
⎨2⎬
⎩⎭
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
解：
D
A
R
OhE
B
C
设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R
直角三角形AOE中，利用勾股定理得
AE==
则上底＝2AE=2
2
故S=h（2R+2sin3x
R2-h2）=h（R+R2-h2）
⒋求lim．
x→0sin2x
sin3x⨯3xsin3x
sin3x
解：
limlim
=lim3x
⨯3＝1⨯3=3
x→0sin2x
x2-1
⒌求lim
x→0sin2x⨯2x
2x
．
x→0sin2x2
2x
122
x→-1sin（x+1）
x2-1（x-1）（x+1）
x-1
-1-1
解：
lim
x→-1sin（x+1）
tan3x
=lim
x→-1
sin（x+1）
=lim
x→-1sin（x+1）
x+1
==-2
1
⒍求lim
x→0
解：
lim
x
tan3x
．
=lim
sin3x
1=limsin3x
⨯1⨯3=1⨯1⨯3=3
x→0
⒎求lim
x→0
x
sinx
x→0x
．
cos3x
x→03x
cos3x1
x2
解：
lim
x→0
sinx
=lim
x→0
=lim
x→0
x
+1）sinx
x
=（1+1）⨯1
=lim
x→0
=0
⒏求lim（
x→∞
x-1）x．
x+3
1-1
（1-1）x
[（1+
1）-x]-1-1
-
解：
lim（）=lim（
x）x=lim
x=lim-x
=e=e-4
x→∞
x+3
x→∞3
x→∞
3xx→∞
1xe3
1+（1+
）[（1+
）3]3
x2-6x+8
⒐求lim2．
xxx
3
x→4x
-5x+4
x2-6x+8（x-4）（x-2）x-24-22
解：
lim
-5x+4=lim（x-4）（x-1）=limx-1=4-1=3
x→4x2
⒑设函数
x→4
x→4
⎧（x-2）2,
f（x）=⎪x,
⎪x+1,
x>1
-1≤x≤1
x<-1
讨论f（x）的连续性，并写出其连续区间．解：
分别对分段点x=-1,x=1处讨论连续性
（1）
lim
x→-1+
lim
x→-1-
f（x）=
f（x）=
limx=-1
（）
x→-1+
limx+1=-1+1=0
x→-1-
（2）
所以lim
x→-1+
f（x）≠
lim
x→-1-
f（x），即f（x）在x=-1处不连续
limf（x）=lim（x-2）2=（1-2）2=1
x→1+x→1+
limf（x）=limx=1
x→1-x→1-
f
（1）=1
所以limf（x）=limf（x）=f
（1）即f（x）在x=1处连续
x→1+x→1-
由
（1）
（2）得f（x）在除点x=-1外均连续故f（x）的连续区间为（-∞,-1）（-1,+∞）
《高等数学基础》作业二
（一）单项选择题
第3章导数与微分
f（x）f（x）
⒈设f（0）=0且极限lim
x→0
存在，则lim
xx→0x
=（C）．
A.f（0）
C.f'（x）
B.f'（0）
D.0cvx
⒉设f（x）在x
可导，则limf（x0-2h）-f（x0）=（D）．
0
A.-2f'（x0）
C.2f'（x0）
h→0
2h
B.f'（x0）
D.-f'（x0）
⒊设f（x）=ex
，则lim
∆x→0
f（1+∆x）-f
（1）
∆x
=（A）．
A.e
1
C.e
2
B.2e
D.1e4
⒋设f（x）=x（x-1）（x-2）（x-99），则f'（0）=（D）．
A.99
C.99!
B.-99
D.-99!
⒌下列结论中正确的是（C）．
A.若f（x）在点x0有极限，则在点x0可导．
B.若f（x）在点x0连续，则在点x0可导．
C.若f（x）在点x0可导，则在点x0有极限．
D.若f（x）在点x0有极限，则在点x0连续．
（二）填空题
⎧x2
⒈设函数f（x）=⎨
1
sin,
x
x≠0，则f'（0）=0．
⎪⎩0,
x=0
⒉设f（ex）=e2x+5ex，则df（lnx）=
2lnx+5．
dxxx
1
⒊曲线f（x）=+1在（1,2）处的切线斜率是k=
π
⒋曲线f（x）=sinx在（
4
1）处的切线方程是y=x=
2
（1-）
24
⒌设y=x2x，则y'=2x2x（1+lnx）
⒍设y=xlnx，则y'=1
x
（三）计算题
⒈求下列函数的导数y'：
331
⑴y=（x
+
3）ex
y'=（x2+3）ex+
x2ex
2
⑵y=cotx+x2lnxy'=-csc2x+x+2xlnx
⑶y=
x2
lnx
y'=
2xlnx+x
ln2x
⑷y=
cosx+2x
x3
lnx-x2
y'=
'
x（-sinx+2xln2）-3（cosx+2x）
x4
sinx（1-2x）-（lnx-x2）cosx
x
⑸y=
y=
sinx
sin2x
⑹y=x4-sinxlnx
sinx+x2
⑺y=
3x
y'=4x3-sinx-cosxlnxx
=3x（cosx+2x）-（sinx+x2）3xln332x
⑻y=extanx+lnx
y'=ex
tanx+
ex+1cos2xx
⒉求下列函数的导数y'：
⑴y=e
y'=ex
⑵y=lncosx3
y'=
-
sinx3
cosx3
3x2
=-3x2
tanx3
⑶y=
7
'7-1
y=x8
⑷y=
y=x8
8
11-21-1
y'=
（x+x2）3（1+
3
x2）
2
⑸y=cos2ex
y'=-exsin（2ex）
⑹
y=cosex2
y'=-2xex2sinex2
⑺y=sinnxcosnx
y'=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsin（nx）
⑻
y=5sinx2
y'=2xln5cosx25sinx2
⑼
y=esin2x
y'=sin2xesin2x
⑽y=
xx2
+
ex2
y'=xx2（x+2xlnx）+2xex2
⑾y=
xex
+
eex
x
y'=xex（e+exlnx）+eexex
x
⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求：
⑴ycosx=e2y
y'cosx-ysinx=2e2yy'
y'=
ysinx
cosx-2e2y
⑵y=cosylnx
y'=siny.y'lnx+cosy.1
x
y'=
cosy
x（1+sinylnx）
⑶2xsiny=
2xcosy.y'+
x2
y
2siny=
2yx-x2y'
y2
y'（2xcosy+
x）=
2
y2
2yx
y2
-2siny
y'=
2xy-2ysiny
2xy2cosy+x2
⑷y=x+lny
y'=
y'=
y'+1
y
y
y-1
⑸lnx+ey=y2
1+eyy'=2yy'x
y'=
1
x（2y-ey）
⑹y2+1=exsiny
2yy'=excosy.y'+siny.ex
y'=
exsiny
2y-excosy
⑺ey=ex-y3
eyy'=ex-3y2y'
x
y'=e
ey
+3y2
⑻y=5x+2y
y'=5xln5+y'2yln2
y'=
5xln5
1-2yln2
⒋求下列函数的微分dy：
⑴y=cotx+cscx
dy=（
⑵y=
-1
cos2x
lnx
sinx
-x）dxsin2x
1sinx-lnxcosxdy=xdx
sin2x
1-x
⑶y=arcsin
1+x
dy=
1-（1+x）-（1-x）
dx=-dx
⑷y=
两边对数得：
lny=1[ln（1-x）-ln（1+x）]
3
y'=1（-1-1）
y31-x1+x
y'=-
11-x
3（
31+x
1
1-x
+1）1+x
⑸y=sin2ex
dy=2sinexex3exdx=sin（2ex）exdx
⑹y=tanex3
dy=sec2ex33x2dx=3x2ex3sec2xdx
⒌求下列函数的二阶导数：
⑴y=xlnxy'=1=lnx
y'=1
x
⑵y=xsinx
y'=xcosx+sinx
y'=-xsinx+2cosx
⑶y=arctanx
y'=
1
1+x2
y'=-
2x
（1+x2）2
⑷y=3x2
y'=
2x3x2
ln3
y'=
4x23x2
ln23+2ln3⋅3x2
（四）证明题
设f（x）是可导的奇函数，试证f'（x）是偶函数．
证：
因为f（x）是奇函数所以f（-x）=-f（x）
两边导数得：
f'（-x）（-1）=-f'（x）⇒
所以f'（x）是偶函数。
f'（-x）=
f（x）
《高等数学基础》作业三
（一）单项选择题
第4章导数的应用
⒈若函数f（x）满足条件（D），则存在∈（a,b），使得f'（）=
A.在（a,b）内连续B.在（a,b）内可导
f（b）-f（a）
．
b-a
C.在（a,b）内连续且可导D.在[a,b]内连续，在（a,b）内可导
⒉函数f（x）=x2+4x-1的单调增加区间是（D）．
A.（-∞,2）
C.（2,+∞）
B.（-1,1）
D.（-2,+∞）
⒊函数y=x2+4x-5在区间（-6,6）内满足（A）．
A.先单调下降再单调上升B.单调下降
C.先单调上升再单调下降D.单调上升
⒋函数f（x）满足f'（x）=0的点，一定是f（x）的（C）．
A.间断点B.极值点
C.驻点D.拐点
⒌设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，x0∈（a,b），若f（x）满足（C），则f（x）
在x0取到极小值．
A.f'（x0）>0,
C.f'（x0）=0,
f'（x0）=0
f'（x0）>0
B.f'（x0）<0,
D.f'（x0）=0,
f'（x0）=0
f'（x0）<0
⒍设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，且f'（x）<0,
是（A）．
f'（x）<0，则f（x）在此区间内
A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的
C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的
（二）填空题
⒈设f（x）在（a,b）内可导，x0∈（a,b），且当xx0时
f'（x）>0，则x0是f（x）的极小值点．
⒉若函数f（x）在点x0可导，且x0是f（x）的极值点，则f'（x0）=0．
⒊函数y=ln（1+x2）的单调减少区间是（-∞,0）．
⒋函数f（x）=ex2的单调增加区间是（0,+∞）
⒌若函数f（x）在[a,b]内恒有f'（x）<0，则f（x）在[a,b]上的最大值是f（a）．
⒍函数f（x）=2+5x-3x3的拐点是x=0．
（三）计算题
⒈求函数y=（x+1）（x-5）2的单调区间和极值．
令y'=（x+1）2（x+5）2=2（x-5）（x-2）
X
（-∞,2）
2
（2,5）
5
（5,+∞）
y'
+
极大
-
极小
+
y
上升
27
下降
0
上升
⇒驻点x=2,x=5
列表：
极大值：
f
（2）=27
极小值：
f（5）=0
⒉求函数y=x2-2x+3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．
令：
y'=2x-2=0⇒x=1（驻点。
f（0）=3
f（3）=6
f
（1）=2
⇒最大值
⇒最小值
f（3）=6
f
（1）=2
⒊试确定函数y=ax3+bx2+cx+d中的a,b,c,d，使函数图形过点（-2,44）和点（1,-10），且x=-2是驻点，x=1是拐点．
⎧44=-8b+4b-2x+d⎧a=1
⎪
⎪
解：
⎨
⎪
⎪⎩
-10=a+b+c=d
0=12a-4b+c
0=6a+2b
⎪b=-3
⎨c=16
⎪⎩d=-24
⒋求曲线y2=2x上的点，使其到点A（2,0）的距离最短．
解：
设p（x,y）是y2=2x上的点，d为p到A点的距离，则：
d=
令d'=
=
=x-1=0
⇒x=1
∴y2=2x上点（1,2）到点A（2,0）的距离最短。
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
设园柱体半径为R，高为h，则体积
V=R2h=（L2-h2）h
令。
V'=[h（-2h）+L2-h2]=[L2-3h2]=0
⇒L=3h
h=3L
3
R=2L
3
∴当h=
3,R=
3
2L时其体积最大。
3
⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
设园柱体半径为R，高为h，则体积
V=R2h
S表面积
-2
=2Rh+2R2=2V
R
V
+2R2
3
令。
S'=-2VRh=
+4R=0
⇒2=R
⇒R=
答：
当R=h=时表面积最大。
⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：
设底连长为x，高为h。
则：
62.5=x2h
⇒h=62.5
x2
侧面积为：
S=x2+4xh=x2+250
x
令S'=2x-250=0
x2
⇒x3=125⇒x=5
答：
当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。
（四）证明题
⒈当x>0时，证明不等式x>ln（1+x）．
证：
由中值定理得：
ln（1+x）x
=ln（1+x）-ln1（1+x）-1
=1<11+
（>0）
⇒ln（1+x）<1
x
⇒x>ln（1+x）
（当x>0时。
⒉当x>0时，证明不等式ex>x+1．
设f（x）=ex-（x+1）
f'（x）=ex-1>0
（当x>0时。
⇒当x>0时f（x）单调上升且f（0）=0
∴f（x）>0,即ex>（x+1）证毕
《高等数学基础》作业四
（一）单项选择题
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
⒈若f（x）的一个原函数是1，则f'（x）=（D）．
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