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功能
功和能
教学目标
1．加强学生对功、功率、能量等概念的物理意义的理解．使他们能够在具体问题中合理地运用上述概念分析解决问题．
2．通过动能定理、重力做功与重力势能关系的复习，使学生对功和能关系的认识进一步加深．并能够应用动能定理解决较复杂的问题．
3．加强学生对机械能守恒定律及其适用条件的认识，使他们能够运用守恒条件判断具体问题是否满足机械能守恒定律，并应用机械能守恒定律求解问题．
4．培养学生综合分析的能力，使他们逐步掌握在较复杂问题中分析题意，找出适用规律，并运用规律解决问题的方法．
教学重点、难点分析
功、功率、动能、重力势能的概念，动能定理、机械能守恒定律等规律及应用是本章重点．本章难点较多，动能定理及其应用、机械能守恒定律及其适用条件是比较突出的难点．
教学过程设计
教师活动
讲述：
今天我们开始复习功和能一章，这一章内容较多，能力要求也比较高，所以同学既要注意知识内容，又要注意研究方法．板书：
功和能
一、基本概念
1．功
讲述：
下面我们首先复习基本概念，先来看看功的概念．
提问：
大家回忆一下，功是如何定义的？
学生活动
回答：
功是作用在物体上的力与物体在力的方向上发生的位移的乘积．用公式表示为
W=Fscosθ
板书：
W=Fscosθ
提问：
公式中θ角是如何确定的？
国际单位制中功的单位是什么？
还有哪些单位也可以表示功？
它们之间又是如何换算的呢？
回答：
θ角是力与物体位移的夹角
国际单位制中功的单位是焦耳，功的单位还有电子伏、千瓦时、卡等．它们之间的换算关系：
1eV=1.6×10-19J
1kWh=3.6×106J
1cal=4.2J
板书：
单位：
焦耳（J）
1eV=1.6×10-19J
1kWh=3.6×106J
lcal=4.2J
提问：
功的概念是人们在生产实践中总结出来的，比如说人在推车时做了1000焦耳的功，那么这1000焦耳的功究竟是哪个力做的呢？
回答：
是人的推力做的．
讲述：
所以，我们在研究功的时候必须首先明确是在研究哪个力做的功，另外考虑到动能定理的应用条件，我们还应该清楚这个力是否是物体所受的合力．这是我们要对功的概念做的第一点说明．
板书：
说明：
①首先明确做功的力及此力是否是合力
提问：
明确了研究对象之后，我们来回忆一下：
做功的两个必要因素是什么？
回答：
作用在物体上的力和物体在力的方向上发生的位移
提问：
那么功的定义反映出功的本质是什么呢？
或者说功的物理意义是什么呢？
回忆一下．
回答：
功的本质是力在空间的积累．
讲述：
所谓积累，既可以是力在位移方向的分量Fcosθ与位移s的乘积，也可以是位移在力的方向上的分量scosθ与力F的乘积．理解功的概念时，要从本质上进行理解，而不能套公式．
例如：
物体在一个牵引力的作用下绕圆周运动了一圈，又回到出发点，求牵引力所做的功．
讨论，少数学生会认为功为零，多数学生会认为功不为零，但追问为什么时却很难说清楚．
讲述：
如果套公式的话，由于物体运动一周的位移为零，会很容易得出牵引力做功为零的结论．但是，从牵引力作用过程中消耗了其他形式能量而转化为物体动能这一点就能看出，这当然是一个错误的结论．为什么会出错呢？
请同学再讨论一下，注意牵引力的特点．
讨论，得出结论：
原因在于功的定义式是对恒力而言的，而在此问题中，牵引力的方向在随时变化，是一个变力，所以不能套用公式．
讲述：
此题的正确结论应从功是力在空间积累这一角度，得出牵引力所做功等于牵引力与物体所走过的圆周的乘积．通过刚才的例子，我们可以对功的概念再做两点说明：
板书：
②功的本质是力在空间的积累
③功的定义式对恒力才适用
提问：
下面我们再来回忆一下，功是矢量还是标量，功的正负又是什么含义呢？
回答：
功是标量，但功有正负，做功的两个必要因素是力和位移，力是矢量，位移也是矢量，但它们的乘积是标量，所以功是标量．由于力与位移之间的夹角θ可以在0°～180°之间变化，即cosθ可以在1与-1之间变化，所以某个力所做功既可以是正数，也可以是负数．当θ角在0°～90°之间时，功为正，表示力在位移方向的分量与位移同向；当θ角在90°～180°之间时，功为负，表示力在位移方向的分量与位移反向．
讲述：
根据功的本质意义，所谓正功，就是力在空间是正的积累；所谓负功，就是力在空间是负的积累．
提问：
另外，我们知道研究功是离不开能量的，研究功的正负同样离不开能量，我们再来回忆一下，功和能量之间是什么关系呢？
如何用能量的变化来说明正功与负功的意义呢？
回答：
功是能量改变的量度．力对物体做正功，导致物体能量增加；力对物体做负功，导致物体能量减少．
讲述：
这是正功与负功的本质差别．也是我们对功的概念要进行的再两点说明．
板书：
④功是能量改变的量度
⑤功是标量，但功有正负
讲述：
需要对负功再加以说明的是：
一个力对物体做了负功，也可以说成物体克服这个力做了功，例如，物体竖直上抛时，重力对物体做了-6焦耳的功，也可以说成物体克服重力做了6焦耳的功．
提问：
在实际问题中，我们还经常要涉及到合力做功的问题．大家回忆一下，如果一个物体受到几个力，那么物体所受合力所做的功与物体所受的各个力是什么关系呢？
原因又是什么呢？
回答：
合力做的功等于各分力功的代数和．由于功是标量，所以当物体受到几个力的作用时，各力所做的功相加，就等于合力所做的功．
板书：
⑥合力功等于各力功的代数和
讲述：
另外，因为功的决定因素之一位移与参照物有关，所以功的大小还与参照物的选取有关．比如，我用力推桌子，但没有推动．以地面为参照物我没有做功，而以运动的物体为参照物，我却做了功．所以一般情况下研究功，必须以地面为参考物．
板书：
⑦功与参照物有关，一般必须以地面为参照物．
讲述：
下面我们来复习有关功率概念的知识．
提问：
首先我们回忆一下功率的定义、单位及其物理意义．
回答：
功跟完成这些功所用时间的比值，叫做功率．功率的定义式为：
P=W/t国际单位制中，功率的单位是瓦特，1瓦特=1焦耳/秒．功率的常用单位还有千瓦，1千瓦=1000瓦特．功率是表示做功快慢的物理量．
讲述：
由于功是能量转化的量度，所以功率从本质上讲，是描述能量转化快慢的物理量．
提问：
功率也可以用力和速度来表示，表达式是什么，是怎样推导出来的？
回答：
P=Fvcosθ
由于W=Fscosθ，代入P=W/t得到：
P=Fscosθ/t=Fvcosθ
板书：
P=W/t=Fvcosθ
单位：
瓦特（W）
1kW=1000W
板书：
①功率是表示做功快慢，即能量转化快慢的物理量
提问：
在研究功率时经常要遇到平均功率和即时功率，它们分别表示什么意义呢？
它们通常用什么公式来求呢？
回答：
平均功率表示一段时间内某力做功的平均快慢，即时功率表示某一时刻某力做功的快慢．通常用公式P=W/t来计算平均功率，用公式P=Fvcosθ来计算即时功率，其中v为此时物体的即时速度．
板书：
②平均功率与即时功率
提问：
在研究某些机械的功率时还经常要遇到额定功率、实际功率及输出、输入功率等概念，它们分别表示什么意义呢？
回答：
额定功率是某机械正常工作时的功率．每一个机械都有一个额定功率值，机械在此功率或在此功率以下工作，机械不会损坏；如果超过此功率，机械可能就要损坏．机械不一定总在额定功率下工作，这时机械的即时功率叫做机械的实际功率．机械对外做功的实际功率，称做此时机械的输出功率；外界对机械做功的实际功率，称做此时机械的输入功率．
板书：
③额定功率与实际功率，输出功率与输入功率
讲述：
下面我们来复习机械能．机械能包括动能和势能，势能又包括重力势能和弹性势能．
板书：
3．机械能
（1）动能
提问：
我们先来回忆动能的意义及它的表达式和单位．
回答：
物体由于运动而具有的能量叫做动能．物体的动能用公式表示为：
Ek=mv2/2国际单位制中，动能的单位与功一样，也是焦耳．
板书：
Ek=mv2/2
单位：
焦耳
提问：
动能是矢量还是标量？
动能有参照物吗？
动能的最小值是多少？
回答：
动能是标量，没有方向．所以动能只与物体运动的速度大小——速率有关，而与物体的运动方向无关．物体的动能，一般情况下都是以地面为参照物的．物体的动能最小为零，无负值．
板书：
说明：
①动能是标量
②地面为参照物
③最小值为零，无负值
提问：
动能是描述物体运动状态的一个物理量，我们学习过的动量也是一个描述物体运动状态的物理量．它们之间有什么联系和区别呢？
回答：
它们都是描述物体运动状态的量．对同一个物体，它的动量增大，动能也必然增大．反之，动能增大，动量也必然增大．它们之间大小的关系为：
Ek=P2/2m，这是它们的联系．动量是矢量，有方向；动能是标量，没有方向．动量与速度的一次方成正比，动能与速度的二次方成正比．
板书：
④动能与动量Ek=p2/2m
讲述：
刚才同学们已经基本分析出动能与动量的联系和区别，当然动能与动量的本质区别还在于守恒定律中所表现出的特点不同：
动量是机械运动相互传递时表现出的一个守恒量；而动能则是当机械运动向热运动等其他形式运动转化时所表现出的一个量．这一点，同学们会随着今后的学习进一步加深领悟．
提问：
下面我们再来看看重力势能．同学们先回忆一下什么是重力势能，它的表达式是怎样的？
回答：
物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．用公式表示：
Ep=mgh
板书：
（2）重力势能Ep=mgh
提问：
对于重力势能，我们还能够回忆起哪些内容，请同学们踊跃发言．
回答：
重力势能是标量，没有方向．
重力势能有正负，重力势能为正表示物体的势能大于它的零势能面的势能，正的重力势能数值越大表示物体的重力势能越大；重力势能为负表示物体的势能小于它在零势能面的势能，负的重力势能数值越大表示物体的重力势能越小．
重力势能的大小是和零势能面的选取有关的，由于零势能面的选取是任意的，所以物体的重力势能也是相对的，故物体重力势能的绝对量是没有意义的，只有物体势能的变化量才是有意义的．
由于重力势能是因为地球与物体之间具有相互吸引力而产生的，又与物体与地球的相对位置有关，所以重力势能是物体与地球所构成的系统所具有的．通常情况下我们所说的物体的重力势能，实际是物体与地球所构成系统的引力势能的一种简称．
板书：
说明：
①重力势能是标量，但有正负
②重力势能与零势能面的选取有关
③重力势能是物体与地球所构成的系统所具有的
讲述：
需要说明的是：
只有类似重力这样，做功与路径无关的力，才能引入势能的概念．我们下面要复习的弹性势能也是这样．而类似摩擦力这样做功与路径有关的力，则不能引入势能．
提问：
下面同学们回忆一下关于弹性势能所需要掌握的知识．
回答：
物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
物体的弹性势能的大小与物体的材料、发生弹性形变的大小等有关．
弹性势能与弹力做功的关系，与重力势能与重力做功的关系相类似：
弹力做正功，物体的弹性势能就减少；弹力做负功，或者叫外力克服弹力做功，物体的弹性势能就增加．
板书：
（3）弹性势能
讲述：
对于弹性势能，我们只要定性了解就可以了，中学范围内对它的大小不做定量的讨论．
讲述：
关于机械能的概念需要最后说明的是：
我们学习过的分子势能、电势能等，虽然也是势能，但它们不属于机械能范畴．所以如动能与电势能相互转化的问题，不属于机械能守恒．下面，我们开始复习这一章的基本规律．
板书：
二、基本规律
1．动能定理
提问：
首先我们复习动能定理．大家回忆一下动能定理的内容及表达式是怎样的，表达式中各个物理量是什么含义？
回答：
动能定理的内容是：
外力对物体所做的总功，等于物体动能的增加量．用公式表示：
其中，W为外力所做的总功，是各个外力所做功的代数和．Ek2表示物体末状态的动能，Ek1表示物体初状态的动能．Ek2与Ek1的差△Ek为物体动能的变化量．
板书：
W=△Ek=Ek2-Ek1
讲述：
对于动能定理的理解及应用，应在以下几方面引起注意：
首先，动能定理是描述一个物体前后状态量之差与过程量之间关系的一个规律，它的研究对象是一个物体，Ek1Ek2分别表示其初、末状态，W表示初、末状态之间的过程．
板书：
说明：
①研究对象是一个物体
提问：
其次我们来分析一下，动能定理所反映的外力的总功与物体动能变化之间的关系，跟牛顿定律所反映的合外力与物体运动状态的关系是否相同呢？
讨论并回答：
动能定理反映的是外力的总功与物体动能变化之间的关系，跟合外力与物体运动状态的关系有所不同：
如果一个物体受到的合外力不为零，物体的运动速度将发生变化；如果一个物体外力对它做的总功不为零，物体的动能将发生变化．表面看来两者似乎相同，但仔细分析会发现如果一个物体受到的合外力为零，物体运动状态将保持不变；如果外力对一个物体所做总功为零，物体动能保持不变，但物体的运动状态仍可能变化（运动方向可能变化）．所以合外力引起物体运动状态的变化，外力所做总功引起物体的动能变化，两者不能混淆．
板书：
②合外力引起物体运动状态的变化，外力所做总功引起物体的动能变化
提问：
下面我们看看看动能定理是矢量式还是标量式呢？
使用动能定理时有没有正负号问题呢？
回答：
动能定理是一个标量式，应用时不用考虑方向．动能是正标量，无负值．但动能的变化量△Ek可以为负，当外力功的总和W为正功时，末动能大于初动能，△Ek为正；当外力功的总和为负功时，末动能小于初动能，△Ek为负．
板书：
③是标量式，但有正负
讲述：
下面我们再看看动能定理中功W，在推导动能定理时，为物体所受合外力的功，但根据前面我们对功的讨论可以知道，也为物体所受各个外力功的代数和．而且其外力既可以是有几个外力同时作用在物体上，也可以是先后作用在物体上的几个力．如：
一个物体先受到力F1的作用，F1对物体做功W1，后改用力F2作用于物体，F2对物体做功W2，则整个过程中外力对物体所做总功W=W1+W2．
板书：
④W为外力功的代数和．外力既可以同时作用，也可以是先后作用
讲述：
应用动能定理时，还应注意参照物的选取．由于动能定理中的物理量功和动能的大小均与参照物的选取有关，所以使用动能定理时，参照物不能变化．一般情况下，均取地面为参照物，即动能中物体的速度，各力做功中的物体位移，都是对地面而言的．
板书：
⑤取地面为参照物
讲述：
下面我们复习本章中另外一个重要的
规律：
机械能守恒定律．
板书：
2．机械能守恒定律
提问：
请同学们回忆一下机械能守恒定律的内容、条件及表达式．
回答：
机械能守恒定律的内容：
在只有重力和弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但总的机械能保持不变．用公式表示：
E1=E2
其中E1表示开始时系统的机械能，包括初状态时系统内各个物体的动能与势能，E2表示最终时系统的机械能，包括末状态时系统内各个物体的动能与势能．
板书：
E1=E2
讲述：
由于机械能守恒定律只涉及开始状态和终了状态的机械能，不涉及中间运动过程的细节，因此用它来处理问题相当简便．对于机械能守恒定律，应在以下几个方面有充分的认识和理解：
提问：
首先，我们来分析一下机械能守恒定律的研究对象，这个研究对象是一个物体呢，还是一个系统呢？
为什么？
如果是系统的话，重力在这个系统中是个什么样的力？
回答：
机械能守恒定律的研究对象是系统．由于机械能包括重力势能和弹性势能，而凡是势能总是相互作用的物体所共有的能，所以势能是属于系统的，于是机械能也是一个系统所具有的．故而，我们所研究的机械能守恒系统包括地球，在这个系统中，重力是内力．
板书：
说明：
①研究对象是系统，重力是系统内力
提问：
从守恒定律的叙述中，我们已经发现机械能守恒的条件是：
只有重力和弹力做功．那么为什么重力和弹力做功不改变系统的机械能呢？
回答：
如果只有重力做功，只能引起物体动能与重力势能之间的转化．重力做了多少功，重力势能就减少多少，物体动能就增加多少；运动物体克服重力做了多少功，重力势能就增加多少，物体的动能就减少多少．所以，包括物体与地球在内的系统的机械能不变．
如果只有物体间的弹力做功，只能引起物体的动能与物体间的弹性势能之间的转化．弹力做了多少功，弹性势能就减少多少，动能就增加多少；运动物体克服弹力做了多少功，弹性势能就增加多少，动能就减少多少．包括各物体及它们间的弹性体在内的系统的机械能不变．
讲述：
值得注意的是，关于机械能守恒的条件的叙述，刚才的表述只是多种表述中的一种，我们应该了解各种不同的表述方式．
板书：
②机械能守恒的条件
讲述：
机械能守恒的条件可以有两类表述，一类是从做功的特点表述，另一类是从能的转化表述，其实质是一致的．从做功的特点表述，可正面叙述为：
只有系统内部的重力和弹力做功．或反面叙述为：
既无外力做功又无其他内力做功．从能的转化表述，可正面叙述为：
只有系统内部的动能、重力势能、弹性势能之间的转化．或反面叙述为：
既无外界能量与系统内部机械能之间的转化或转移，也没有系统内部其他能量与机械能之间的转化．
下面我们看看如何应用机械能守恒定律解决问题．
板书：
③机械能守恒定律的应用
提问：
对于应用机械能守恒定律解题，我们在高一时曾做过不少练习，通常解题要经过哪几步呢？
回答：
应用机械能守恒定律解决问题时第一步应选定所研究的系统，第二步再判断此系统是否满足机械能守恒的条件，如判断出系统的机械能守恒，第三步再把系统内各个物体的动能与势能代入机械能守恒定律公式进行计算．
提问：
怎样选定所研究的系统？
回答：
选定研究系统即明确所研究的是哪些物体，它们之间有哪些相互作用，它们与外界的联系点是什么．
提问：
系统机械能是否守恒是怎样判断的？
回答：
判断系统机械能是否守恒时应根据机械能守恒条件，判断系统内物体间的相互作用是否只有重力和弹力，如果有别的力，这个力是否做功及外界是否对系统不做功．
提问：
代入各物体机械能时要注意什么？
回答：
代入物体机械能时要注意应把各个物体的动能和势能都考虑到，不能丢掉某一项，如果是一个物体与地球组成的系统，比如各种抛体问题，等式左右两边应各有一项动能和势能，如果是一个物体与地球组成的系统，如各种连接体问题，等式左右两边应各有两项动能和势能，如系统中还有弹性体，如含有弹簧，则还要考虑弹性势能．其中如果合理选取零势能面，能使若干项重力势能为零，使计算更为简化．
讲述：
通过前面的复习，我们把功和能这一章的主要概念和规律简要地回忆了一遍，下面我们来看几个常见的应用．
板书：
三、常见应用
1．汽车在恒定功率下的运动
提问：
我们先来讨论汽车在恒定功率下的运动问题．一辆汽车，如果其牵引力的功率恒定，且运动过程中所受阻力不变，它可能做匀变速运动吗？
为什么？
回答：
不可能做匀变速运动．因为当汽车速度改变后，根据公式P=Fvcoxθ=Fv，汽车的牵引力将减小，根据牛顿第二定律F-f=ma，汽车的加速度也将减小，所以汽车不可能做匀变速运动．
提问：
那么汽车将做什么样的运动呢？
你能否画出汽车速度随时间变化的运动图像呢？
回答：
设汽车最初静止，当汽车启动时，由于汽车速度很小，故此时牵引力很大，因阻力恒定，故此时汽车的加速度也很大，随着汽车的速度逐渐增大，由于功率恒定，所以牵引力逐渐减小，汽车的加速度也逐渐减小，但汽车的速度仍在增大，当汽车的速度增加到某一数值后，牵引力减小到与阻力一样大，汽车的加速度变为零，汽车将保持这一速度做匀速直线运动，这种运动的v-t图像如图所示．
板图：
讲述：
下面我们再来讨论一个典型例题，木块在木板上相对滑动的问题．
板书：
2．木块在木板上相对滑动
板图：
讲述：
问题是这样的，一质量为M的木板置于光滑水平面上，另一质量为m的木块以初速度v0在木板上滑动，木块与木板间存在大小为f的相互摩擦力，且木块在木板上滑动了一段距离s后两物体相对静止．下面我们对这个问题进行讨论，此问题中由于木块对木板有摩擦力，所以当木块在木板上滑动的过程中，木板相对地面也滑动了一段距离，设木块和木板最后共同的速度为v′，这个速度我们是可以根据动量守恒定律求出来的．再设木板相对地面滑动距离为s1，木块相对于地面滑行的距离为s2．
提问：
s1和s2之间存在什么关系呢？
回答：
s2-s1=s即木块和木板对地面的位移之差就是相对位移．
提问：
这段过程中木块动能如何变化？
木板动能如何变化？
它们所构成系统的动能如何变化？
回答：
木块动能减少，根据动能定理有：
mv2/2-mv′2/2=fs2
木板动能增加，根据动能定理有：
Mv′2/2=fs1
上面两式相减，得：
mv2/2-mv′2/2-Mv′2/2=fs2-fs1=fs
等式左边就是系统前后动能的差，由于fs大于零，所以系统的动能减少了．
讲述：
由这个问题我们可以得到这样的结论：
由于系统内的摩擦力做功，使系统机械能向内能转化，产生的内能等于系统动能的减少量且等于摩擦力乘以两物体间的相对位移．这一结论在实际应用中常可以使问题得到简化，是一个比较有用的结论．
值得注意的是，摩擦力乘以相对位移并不是一个功，而是一对摩擦力做功的代数和．
同步练习
一、选择题
1．以下说法中正确的是 [ ]
A．力做功多，则说明受力物体的位移一定大
B．力对物体不做功，则物体一定没有位移
C．力对物体做正功，力与位移方向一定相同
D．力对物体做负功，力与位移不一定方向相反
2．从同一高度以相同的初速率向不同方向抛出质量相同的几个物体，不计空气阻力，则 [ ]
A．它们落地时的动能都相同
B．它们落地时重力的即时功率不一定相同
C．它们运动的过程中，重力的平均功率不一定相同
D．它们从抛出到落地的过程中，重力所做的功一定相同
3．某人在高h处抛出一个质量为m的物体．不计空气阻力，物体落地时的速度为v，这人对物体所做的功为：
[ ]
A．mgh
B．mv2/2
C．mgh+mv2/2
D．mv2/2-mgh
4．关于机械能守恒，下面说法中正确的是 [ ]
A．物体所受合外力为零时，机械能一定守恒
B．在水平地面上做匀速运动的物体，机械能一定守恒
C．在竖直平面内做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
D．做各种抛体运动的物体，若不计空气阻力，机械能一定守恒
5．按额定功率行驶的汽车，所受地面的阻力保持不变，则 [ ]
A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大
B．汽车可以做匀加速运动
C．汽车加速行驶时，加速度逐渐减小，速度逐渐增大
D．汽车达到最大速度时，所受合力为零
6．甲乙两个物体，甲物体动量大小比乙大，乙物体动能比甲大，那么 [ ]
A．要使它们在相同的时间内停下来，应对甲施加较大的阻力
B．如果它们受到相同的阻力，到它们停下来时，乙的位移比甲大
C．甲的质量比乙大
D．甲的速度比乙大
7．质量为m的小球拴在长为L的细绳一端，在竖直平面内做圆周运动，当小球通过最高点时 [ ]
A．它的最小动能为mgL/2
B．它的最小向心加速度为g
C．细绳对小球的最小拉力为零
D．小球所受重力为零
8．如图1-5-3光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F向下拉，维持小球在水平面上做半径为r的匀速圆周运动．现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对小球所做的功是：
[ ]
A．0 B．7Fr/2
C．4Fr D．3Fr/2
9．质量为m的物体从距地面h高处由静止开始
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