等腰三角形教案.docx

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等腰三角形教案

个性化辅导教案

课题：

12．3．1等腰三角形

老师姓名：

教学

目标

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

重点

难点

1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教

学

内

容

12．3．1等腰三角形

（一）

教学目标

1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．

教学重点：

1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．

教学难点：

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：

①三角形是轴对称图形吗？

②什么样的三角形是轴对称图形？

有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．

问题：

那什么样的三角形是轴对称图形？

满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．

Ⅱ．导入新课：

要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

思考：

1．等腰三角形是轴对称图形吗？

请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

底边上的高所在的直线呢？

结论：

等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．

沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

由此可以得到等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．

如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

所以△BAD≌△CAD（SSS）．

所以∠B=∠C．

]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

所以△BAD≌△CAD．

所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=

∠BDC=90°．

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：

△ABC各角的度数．

分析：

根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．

把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．

解：

因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

补充例题

如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：

AE=CE．

Ⅲ．随堂练习：

1.课本P51练习1、2、3．2．阅读课本P49～P51，然后小结．

1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

2．如右图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

3．如右图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

Ⅴ．作业：

课本P56习题12.3第1、2、3、4题．

练习

一、选择题

1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）

A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线

C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线

2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）

A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°

二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．

求这个等腰三角形的边长．

12.3等腰三角形练习

一、选择题

1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（　　）

Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝

2．已知△ABC，AB=AC，∠B=65°，∠C度数是（）

A．50°B．65°C．70°D．75°

3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（　　）

A．过顶点的直线B．底边的垂线

C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线

二、填空题

4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．

5．已知△ABC，AB=AC，∠A=80°，∠B度数是_________．

6．等腰三角形的两个内角的比是1：

2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．

7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．

三、解答题

8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：

BD平分∠ABC．

（写出每步证明的重要依据）

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，

且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数

12．3．1等腰三角形

（二）

教学目标

1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论

2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.

教学重点：

等腰三角形的判定定理及推论的运用

教学难点：

正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.

教学过程：

一、复习等腰三角形的性质

二、新授：

提出问题，创设情境

出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（B点）为B标，然后在这棵树的正南方（南岸A点抽一小旗作标志）沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．

学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？

带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．

引入新课

　　1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB=AC吗？

　　作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？

　　2．引导学生根据图形，写出已知、求证．

　　3．小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”

　　强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．

　　4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．

例题与练习

　　1．如图2

　　其中△ABC是等腰三角形的是[]

　　2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______（根据什么？

）．

　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形（根据什么？

）．

　　③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．

　　④若已知AD＝4cm，则BC______cm．

　　3．以问题形式引出推论l______．4．以问题形式引出推论2______．

[例2]求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．求证：

AB=AC．

分析：

引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC（等角对等边）．

[例3]如图

（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

解：

选取比例尺为1：

100（即为1cm代表1m）．

（1）作线段DE=4cm；

（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；

（3）在MN上截取BC=2.5cm；

（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．

练习：

5．（l）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？

（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？

6.已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．

求证：

AB=AD．

练习：

P53练习1、2、3。

补充练习：

如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形．

（2）求∠BAD的度数．

课堂小结

　　1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？

　　2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？

　　3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？

　　4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？

布置作业：

P56页习题12.3第5、6题

Ⅵ．活动与探究

[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等．

过程：

利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质．

结果：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线．

求证：

BD=CE．

[探究2]等腰三角形两腰上的高相等．

过程：

同探究1．

结果：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高．

求证：

BE=CF．

[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等．

过程：

同探究1．

结果：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线．

求证：

BD=CE．