等腰三角形判定教案.docx

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等腰三角形判定教案

等腰三角形判定教案

知识结构：

　　重点与难点分析：

　　本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法，推论3是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论.

　　本节内容的难点是性质与判定的区别。

等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加，题目的复杂程度也提高，一定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用.

　　教法建议:

　　本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。

在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。

提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法，引导他们探索数学的内在规律。

具体说明如下：

（1）参与探索发现，领略知识形成过程

　　学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：

等腰三角形性质定理的逆命题的什么？

找一名学生口述完了，接下来问：

此命题是否为真命？

等同学们证明完了，找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。

这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，满打满算了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。

（2）采用“类比”的学习方法，获取知识。

　　由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：

根据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢？

这里先让学生发表意见，然后大家共同分析讨论，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。

如果学生提到的不完整，教师可以做适当的点拨引导。

　　（3）总结，形成知识结构

　　为了使学生对本节课有一个完整的认识，便于今后的应用，教师提出如下问题，让学生思考回答：

（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？

有哪些定理依据？

（2）怎样判定一个三角形是等边三角形？

一．教学目标：

　　1．使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；

　　2．掌握等腰三角形判定定理的运用；

　　3．通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；

　　4．通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

　　5．通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

　　二．教学重点：

等腰三角形的判定定理

　　三．教学难点：

性质与判定的区别

　　四．教学用具：

直尺，微机

　　五．教学方法：

以学生为主体的讨论探索法

　　六．教学过程：

　　1、新课背景知识复习

（1）请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念

　　估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。

（2）等腰三角形的性质定理的内容是什么？

并检验它的逆命题是否为真命题？

　　启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：

　　1．等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

　　（简称“等角对等边”）．

　　由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.

　　已知：

如图，△ABC中，∠B=∠C．

　　求证：

AB=AC．

　　教师可引导学生分析：

　　联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC．

　　注意：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

　　（3）判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.

　　2．推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

　　推论2：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

　　要让学生自己推证这两条推论．

　　小结：

证明三角形是等腰三角形的方法：

①等腰三角形定义；②等腰三角形判定定理．

　　证明三角形是等边三角形的方法：

①等边三角形定义；②推论1；③推论2．

　　3．应用举例

　　例1.求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

　　分析:

让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补；②它等于与它不相邻的两个内角的和．要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系．

　　已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

　　求证：

AB=AC．

　　证明：

（略）由学生板演即可．

　　补充例题：

（投影展示）

　　1.已知：

如图，AB=AD，∠B=∠D．

　　求证：

CB=CD．

　　分析：

解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以CB、CD为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD．

　　证明：

连结BD，在

中，

（已知）

（等边对等角）

（已知）

即

（等教对等边）

　　小结：

求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.

　　2．

已知，在

中，

的平分线与

的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：

EF=BE-CF.

　　分析：

对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.

　　证明：

DE//BC（已知）

，

BE=DE,同理DF=CF.

EF=DE-DF

EF=BE-CF

　　小结：

（1）等腰三角形判定定理及推论．

（2）等腰三角形和等边三角形的证法．

　　七．练习

　　教材P．75中1、2、3．

　　八．作业

　　教材P．83中1．1）、2）、3）；2、3、4、5．

　　九．板书设计

格言警句：

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行

轴对称图形

第一课时

【学习目标】

1．感受生活中的轴对称图形，理解轴对称图形的概念、性质（重点）

2.能识别简单的轴对称图形，并指出其对称轴（难点）。

【学习过程】

一、学前准备

1.观察教材第113面图案，用自己的话说说这些图形的特征。

2.列举生活中常见的轴对称图形（至少3个）。

3.画出下面图形的对称轴。

4.画一个轴对称图形，并画出它的对称轴。

二．合作探究

1．按教材第114面图16-3右边文字提示折叠蜻蜓图案，

如果一个图形沿着____________折叠，_______两旁的_____能够__________,那么这个图形叫做_______________,这条______叫做这个图形的_____________。

“操作”，再完成第116面练习2，轴对称图形有哪些性质？

3.完成教材第114面练习1，与同学交流完成情况。

如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图（3）所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案．位于折痕两侧的部分有什么关系？

与同伴交流你的想法．

【学习检测】

1.计算器中的十个数字中，是轴对称图形的有____________________________。

2.26个字母中是轴对称图形的有________________________________________。

3.线段有____条对称轴，是_______________________________,角的对称轴是__________________，等腰三角形的对称轴______________________________。

4.如图，其中是轴对称图形的是（）。

5.图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴。

6.完成下面图案创作。

7.习题16.1第2、3题。

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑

格言警句：

博观而约取,厚积而薄发

轴对称图形

第二课时

【学习目标】

理解轴对称的概念、性质（重点），轴对称和轴对称图形的区别和联系（难点），能作出简单的平面图形经过一次轴对称变换后的图形，了解线段的垂直平分线的概念。

【学习过程】

一．学前准备

1.下左图给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴.

（1）你能猜出整个图案的形状吗？

（2）你能画出这个图案的另一半吗？

2.观察分析上右图特征，

沿直线MN对折，△ABC与△A1B1C1会___________，点A与点A1_____，AA1与直线MN__________,AD与A1D长度_________。

二．合作探究

“观察”，把一个图形沿_________________，如果它能够与另一个图形_____________，那么称这两个图形成____________________。

_____________________是对称轴，____________________________是对称点。

2.下图中点A与点B、AD与BD、△ADP与△BDP的关系是怎样的？

（点A与点B关于直线MN________,点A与点B到直线MN的距离________,……）

归纳：

①直线MN与AB的关系是怎样的？

___________________________________________________叫做线段的垂直平分线。

②轴对称的性质有哪些？

③△ADP、△BDP与△ABP的关系是怎样的？

写出轴对称和轴对称图形的区别和联系。

④作出已知图形关于直线L的对称图形，再完成教材第116面练习3.

怎样判断平面内两图形是否关于某直线对称？

【学习检测】

1.判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

2.右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为.

3.探究活动已知:

如图,CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑

格言警句：

不以规矩,无以成方园

平面直角坐标系中轴对称变换

第三课时

【学习目标】

1、了解平面直角坐标系中关于坐标轴对称的两个点的坐标的关系（重点）；

2、能在平面直角坐标系中作出简单的平面图形经过一次轴对称变换后的图形并写出对称点的坐标（难点）

【学习过程】

一．学前准备

1．如图，仿照例子利用“两个圆、两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．

2.如图:

画△A′B′C′，使它与△ABC关于横轴对称；画△A″B″C″，使它与△ABC关于纵轴对称。

已知点坐标

A（）

B（）

C（）

关于横轴对称的点的坐标

A′

B′

C′

关于纵轴对称的点的坐标

A″

B″

C″

二．合作探究

“思考”，

平面直角坐标系中点P（x,y）关于x轴的对称点P1的坐标是P1（,）,关于y轴的对称点P2的坐标是P2（,）。

2..点P（－2，1）关于x轴对称的点的坐标为（），关于y轴对称的点的坐标为（）。

思考：

你能归纳某点关于x轴、y轴对称点的坐标特征吗？

【学习检测】

一、基础性练习

1.习题16.1第4、5、6题

2.已知点A（－2，4），B（2，4），C（－1，2），D（1，2），E（－3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，很快分别写出它们关于x轴的对称点的坐标和关于y轴的对称点的坐标。

二、扩展性练习

1.若点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）关于x轴对称，则a=，b=.

2.平面直角坐标系中长方形ABCD,A（-1,1）,B（1,1）,C（1,0）,D（-1,0）,在下左图中画出它关于x轴对称的图形，在下右图中将它向下平移1个单位，这两个变换得到的结果一样吗？

3.画△A1B1C1，，，使它与△ABC关于直线x=1对称.

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑:

格言警句：

百学须先立志

16.2线段的垂直平分线

第一课时

【学习目标】

1.会用尺规作线段的垂直平分线。

（作图的证明是难点）

2.理解线段的垂直平分线的性质定理及定理的应用。

（重点）

【学习过程】

一、学前准备

1.复习:

轴对称图形及性质，线段是轴对称图形吗？

2.线段的垂直平分线的定义。

二、合作探究

1.怎样作出一条线段的垂直平分线？

A．在薄纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。

（1）将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？

（2）直线MN与线段AB有怎样的位置关系？

B．怎样用刻度尺画出线段的垂直平分线？

（写出你的画法）

C．用尺规怎样作出线段的垂直平分线呢？

（1）自主预习课本，作出线段的垂直平分线

（2）小组合作：

你能根据三角形全等的判定定理给出证明吗？

（证明时要说清垂直、平分）

2.交流与发现

（1）请同学们在练习本上作线段AB的垂直平分线EF。

（2）在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=，PB=观察这两个值有什么关系？

（3）再取一点P＇试一试，猜想EF上的所有点和点A、点B的距离。

（4）归纳总结：

线段垂直平分线的性质：

3.尝试证明线段垂直平分线的性质

小贴士：

要证明一个图形上每一个点都具有某种性质

只需要在图形上任意取一点作代表即可。

【学习检测】

一、基础性练习

1.已知：

直线L是线段AB的垂直平分线，C、D是L上的两点。

求证：

（1）△ABC、△ABD是等腰三角形；

（2）∠CAD=∠CBD

一、拓展性练习

1．如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

2.

3.习题16.2第3题（提示：

连接CD）

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑:

格言警句：

操千曲而后晓声,观千剑而后识器

16.2线段的垂直平分线

第二课时

【学习目标】

1.理解线段的垂直平分线的性质定理的逆定理及其应用。

（重点）

2.理解三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

【学习过程】

一、学前准备

1.旧知回顾：

互逆命题和互逆定理的概念。

2.线段的垂直平分线性质定理的题设与结论各是什么？

3.证明命题的一般步骤:

二、合作探究

1.写出线段的垂直平分线性质定理的逆命题。

2.试证明其正确性。

给大家提供两种证明方法供参考：

（1）过点P作已知线段AB的垂线PO，再证明PO平分AB；

（2）取AB的中点O，证明

；请选一种方法证明试试。

3.学习P123-124页例题，完成本题

已知：

如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．求证：

点P在AC的垂直平分线上．

本例说明，三角形三边的垂直平分线，该点到三角形的的距离相等。

【学习检测】

一、基础性练习

1.如图所示，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）

A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点

C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点

2.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上

A．ABB．ACC．BCD．不能确定

3.下列说法：

①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

。

二、拓展性练习

1.如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站。

要求变电站到三镇的距离相等。

请你作出变电站的位置（用P点表示，并说明你的理由）。

·A

·B

·C

2.P124习题16.2第4题。

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑:

格言警句：

读书破万卷,下笔如有神

等腰三角形

第一课时

【学习目标】

1、掌握等腰三角形的性质1及其推论（重点）；

2、运用等腰三角形的性质1及其推论进行有关证明和计算（难点）。

【学习过程】

一．学前准备

认真阅读教材125-126页内容，完成下列问题：

1.请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去（或用刀子裁）一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形?

有两条边相等的三角形，叫做三角形，相等的两边叫做，另一条边叫做，两腰所夹的角叫做，底边与腰的夹角叫做。

2.剪出的三角形是轴对称图形吗？

它的对称轴是什么？

3.把刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：

把边AB叠合到边AC上，这时点B与C重合，并出现折痕AD，观察图形，

△ADB与△重合，∠B=∠，∠BAD=∠，∠ADB=∠，BD=

二．合作探究

1.等腰三角形性质1：

等腰三角形的相等，简称：

这个命题的条件是______________________,结论是________________________.

已知：

在△ABC中，AB=AC

求证：

∠B=∠C

分析：

要证两个角相等可以转化前面所学过的三角形全等，而图形只有一个三角形，如何添加辅助线使它转化为两个三角形?

通过刚才的折叠等腰三角形的实验，很容易得到辅助线，作高AD或作顶角的平分线AD或作中线AD。

证明：

（选一种与课本不同的方法试试。

）

2.例题：

如图，MN是AB的垂直平分线，垂足为O，点C、D在MN上。

求证：

∠CAD＝∠CBD

证明：

∵CD是线段AB的垂直平分线（已知）

∴AC＝BC（）

∴∠＝∠（等边对等角）

同理：

∠DAB＝∠DBA

∴∠－∠＝∠－∠

即：

∠CAD＝∠CBD

思考：

你能用不同的方法证明吗？

【学习检测】

一、基础性练习

1.等腰直角三角形每一个锐角的度数是_____。

°，那么它的顶角的度数是多少？

°，那么它的底角的度数是多少？

4.如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形最小内角等于多少？

°，那么其它的两个角各是多少度？

°，则其它的两个角各是多少度？

二、扩展性练习

1.等边三角形各内角有什么关系？

各等于多少度？

（1）等腰三角形中顶角与底角的关系：

顶角十底角=180°

（2）推论：

等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于°。

试证明此结论。

2.习题16.3第1题。

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑:

格言警句：

书之法,在循序而渐进,熟读而精思

等腰三角形

第二课时

【学习目标】

1、掌握等腰三角形的性质2（重点）。

2、运用等腰三角形的性质2进行有关证明和计算（难点）。

【学习过程】

一．学前准备

1.等腰三角形的性质1________________________.

2.从性质1可知∠B=∠C，你还能找出哪些相等的量？

二．合作探究

1.运用数学语言表述所发现的规律，小组共同归纳得出：

性质2。

即：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

如图，在ABC中，AB=AC

（1）∵AD⊥BD，∴∠______=∠_____；______=______（等腰三角形底边上的高与______、______重合）

（2）∵AD是中线　∴_____⊥_____；∠_____=∠_____（等腰三角形底边上的中线与_____、_____重合）

（3）∵AD是角平分线　∴____⊥____；____=____（等腰三角形顶角的平分线与______、_____重合）

2.如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：

AF⊥CD.

分析：

要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：

连接AC、AD在△ABC和△AED中

∴△ABC≌△AED（SAS）

∴=（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

∴AF⊥CD（）

【学习检测】

一、基础性练习：

2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=DC=AD，求：

△ABC各角的度数．

二、扩展性练习

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，

求证：

∠ABC=∠ADC.

【学习小结】

1、我的收获：

2、我的困惑:

格言警句：

会当凌绝顶,一览众山小

等腰三角形

第三课时

【学习目标】

1、巩固等腰三角形的性质及其应用（重点）；

2、对HL定理的证明过程的理解（难点）。

【学习过程】

一．学前准备

1.知识回顾：

等腰三角形的性质1.___________________________________.

等腰三角形的性质2.__________________________________________________.

2.认真阅读教材127页内容，完成例题的自学。

例2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：

△ABC各角的度数。

分析：

图中共有几个等腰三角形?

__________________________．

根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=_______，再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2____．再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角． 

解：

∵AB=AC，BD=BC=AD，

 ∴∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x°，得方程

   ∴在△ABC中，∠A=_____°，∠ABC=∠C=______°．

例3.分析：

这里证明“HL”定理的过程中，使用了平移的方法。

将两个Rt△拼在一起的目的是