旋转综合题及答案.docx

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旋转综合题及答案

旋转综合题

一．解答题（共14小题）

1．阅读与理解：

图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．

操作与证明：

（1）操作：

固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？

证明你的结论；

（2）操作：

若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？

证明你的结论；

猜想与发现：

根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？

当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？

2．如图1、2是两个相似比为1：

的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？

若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．

3．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图

（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

（1）求证：

AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？

并说明理由．

4．如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：

AE=BC；

（2）如图

（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：

CE′=BF′；

（3）在

（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？

若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=

，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：

以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：

∠ABC=　　，∠A′BC=　　，OA+OB+OC=　　．

6．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

7．已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．

（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，

①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为　　；

②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？

说明理由；

（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．

8．如图，四边形ABCD是边长为3

的正方形，长方形AEFG的宽AE=

，长EF=

．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．

（1）求∠DOM的度数；

（2）在图中，求D、N两点间的距离；

（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？

并说明理由．

9．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：

若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：

BD2+CE2=DE2．

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；

小颖的想法：

将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）

小亮的想法：

将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；

请你从中任选一种方法进行证明；

（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：

当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

10．如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜

α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．

（1）求证：

△OC1M≌△OA1E；

（2）试说明：

△OMN的边MN上的高为定值；

（3）△MNB1的周长p是否发生变化？

若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

11．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图

（1），易证EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图

（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明．

12．己知：

正方形ABCD．

（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？

请直接写出结论．

（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时

（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．

（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？

请直接写出结论．

13．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=β，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）当β=110°，α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．

（2）探究：

若β=110°，那么α为多少度，△AOD是等腰三角形？

（只要写出探究结果）α=　　．

（3）请写出△AOD是等边三角形时α、β的度数．α=　　度；β=　　度．

14．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

旋转综合题参考答案与试题解析

一．解答题（共14小题）

1．（2017•连云港四模）阅读与理解：

图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．

操作与证明：

（1）操作：

固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？

证明你的结论；

（2）操作：

若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？

证明你的结论；

猜想与发现：

根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？

当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？

【解答】解：

操作与证明：

（1）BE=AD．

∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，

∴∠BCE=∠ACD=30度，

∵△ABC与△C′DE是等边三角形，

∴CA=CB，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD，

∴BE=AD．

（2）BE=AD．

∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，

∴∠BCE=∠ACD=α，

∵△ABC与△C′DE是等边三角形，

∴CA=CB，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD，

∴BE=AD．

猜想与发现：

当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．

2．（2014•长沙校级自主招生）如图1、2是两个相似比为1：

的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？

若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．

【解答】证明：

（1）连CD，如图4，

∵两个等腰直角三角形的相似比为1：

，

而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，

∴点D为AB的中点，

∴CD=AD，∠4=∠A=45°，

又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1，

∴△CDF≌△ADE，

∴CF=AE，

同理可得△CED≌△BFD，

∴CE=BF，

而CE2+CF2=EF2，

∴AE2+BF2=EF2；

（2）结论AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下：

把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5

∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，

∴∠GAE=90°，

而∠3=45°，

∴∠2+∠4=90°﹣45°=45°，

∴∠1+∠2=45°，

∴△CGE≌△CFE，

∴GE=EF，

在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，

∴AE2+BF2=EF2；

（3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下：

把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图

∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，

∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，

∴EF=BE+DF，

∴EF=EP，

∴△AEF≌△AEP，

∴∠1=∠3+∠4，

而AQ=AN，

∴△AMQ≌△AMN，

∴MN=QM，

而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，

∴∠QBN=90°，

∴BQ2+BM2=QM2，

∴BM2+DN2=MN2．

3．（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图

（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

（1）求证：

AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？

并说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），

∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，

在△ABM和△AFN中，

，

∴△ABM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN；

（2）解：

当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．

理由：

连接AP，

∵∠α=30°，

∴∠FAN=30°，

∴∠FAB=120°，

∵∠B=60°，

∴∠B+∠FAB=180°，

∴AF∥BP，

∴∠F=∠FPC=60°，

∴∠FPC=∠B=60°，

∴AB∥FP，

∴四边形ABPF是平行四边形，

∵AB=AF，

∴平行四边形ABPF是菱形．

4．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：

AE=BC；

（2）如图

（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：

CE′=BF′；

（3）在

（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？

若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）证明：

∵AC=AB且EF∥BC，

∴AE=AF；

由旋转的性质可知：

∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中

，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：

由

（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：

①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．

②当点E的像E′与点N重合时，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．

所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．

5．（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=

，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：

以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：

∠ABC=　30°　，∠A′BC=　90°　，OA+OB+OC=　

　．

【解答】解：

∵∠C=90°，AC=1，BC=

，

∴tan∠ABC=

=

=

，

∴∠ABC=30°，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，

∴△A′O′B如图所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=2，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，

∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，

∴△BOO′是等边三角形，

∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，

∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，

∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，

∴C、O、A′、O′四点共线，

在Rt△A′BC中，A′C=

=

=

，

∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=

．

故答案为：

30°；90°；

．

6．（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

【解答】解：

（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，AM=MC，

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，

∴AM=MQ，∠AMQ=120°，

∴CM=MQ，∠CMQ=60°，

∴△CMQ是等边三角形，

∴∠ACQ=60°，

∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD，

∵AB=BC，M是AC的中点，

∴BM⊥AC，

即BD为AC的垂直平分线，

∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，

在△APD与△CPD中，

∵

，

∴△APD≌△CPD（SSS），

∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，

又∵PQ=PA，

∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，

∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，

∴∠APQ+∠ADC=360°﹣（∠PAD+∠PQD）=180°，

∴∠ADC=180°﹣∠APQ=180°﹣2α，

∴2∠CDB=180°﹣2α，

∴∠CDB=90°﹣α；

（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，

∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，

∵点P不与点B，M重合，

∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，

∵点P在线段BM上运动，∠PAD最大为2α，∠PAD最小等于α，

∴2α＞180°﹣2α＞α，

∴45°＜α＜60°．

7．（2012•本溪）已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．

（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，

①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为　45°　；

②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？

说明理由；

（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．

【解答】解：

（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°，

∴AP⊥BC，BP=CP（等腰三角形三线合一），

∴AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

又∵∠MBN=90°，BM=BN，

∴AP=PN（等腰三角形三线合一），

∴AP=PN=BP=PC，且AN⊥BC，

∴四边形ABNC是正方形，

∴∠ANC=45°；

②连接CN，当θ≠45°时，①中的结论不发生变化．

理由如下：

∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°，

又∵∠BPN=∠APC，

∴△BNP∽△ACP，

∴

=

，

又∵∠APB=∠CPN，

∴△ABP∽△CNP，

∴∠ANC=∠ABC=45°；

（2）∠ANC=90°﹣

∠BAC．

理由如下：

∵∠BAC=∠MBN≠90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=

（180°﹣∠BAC），

又∵∠BPN=∠APC，

∴△BNP∽△ACP，

∴

=

，

又∵∠APB=∠CPN，

∴△ABP∽△CNP，

∴∠ANC=∠ABC，

在△ABC中，∠ABC=

（180°﹣∠BAC）=90°﹣

∠BAC．

8．（2012•怀化）如图，四边形ABCD是边长为3

的正方形，长方形AEFG的宽AE=

，长EF=

．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．

（1）求∠DOM的度数；

（2）在图中，求D、N两点间的距离；

（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？

并说明理由．

【解答】解：

（1）根据题意得：

∠BAM=15°，

∵四边形AMNH是矩形，

∴∠M=90°，

∴∠AKM=90°﹣∠BAM=75°，

∴∠BKO=∠AKM=75°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°；

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，

∵NH=

，AH=

，∠H=90°，

∴tan∠HAN=

=

，

∴∠HAN=30°，

∴AN=2NH=7，

由旋转的性质：

∠DAH=15°，

∴∠DAN=45°，

∵∠DAC=45°，

∴A，C，N共线，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵AD=CD=3

，

∴DI=AI=

AC=

=3，

∴NI=AN﹣AI=7﹣3=4，

在Rt△DIN中，DN=

=5；

（3）点B在矩形ARTZ的外部．

理由：

如图，根据题意得：

∠BAR=15°+15°=30°，

∵∠R=90°，AR=

，

∴AK=

=

=

，

∵AB=3

＞

，

∴点B在矩形ARTZ的外部．

9．（2012•宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：

若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α