全等三角形几种类型总结.docx
《全等三角形几种类型总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形几种类型总结.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全等三角形几种类型总结
第一讲
全等三角形与角平分线
中考要求
板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
全等三角形的性质及判
疋
会识别全等三角形
掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题
会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
知识点睛
全等三角形的认识与性质
全等图形：
能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：
能够完全重合的多边形就是全等多边形.
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.全等多边形的对应边、对应角分别相等.
如下图，两个全等的五边形，记作：
五边形ABCDE也五边形A'B'C'D'E'.
这里符号“也”表示全等，读作“全等于”
全等三角形:
E'
D'
能够完全重合的三角形就是全等三角形.
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等.全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.
全等三角形的概念与表示：
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、
角分别叫作对应顶点、对应边、对应角•全等符号为“也”.
全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
（3）有公共边的，公共边常是对应边．
（4）有公共角的，公共角常是对应角．
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角．
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对
应边（或对应角）．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
（1）边角边定理（SAS）:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑵角边角定理（ASA）:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
（3）边边边定理（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等.
（4）角角边定理（AAS）:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
（5）斜边、直角边定理（HL）:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
全等三角形的应用:
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程
中，注意有时会添加辅助线．
判定三角形全等的基本思路:
找夹角SAS
已知两边找直角HL
找另一边SSS
边为角的对边t找任意一角tAAS
”、丄&找这条边上的另一角tASA
已知一边一角
边就是角的一条边找这条边上的对角taas
找该角的另一边tSAS
找两角的夹边ASA找任意一边AAS
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:
⑴平移全等型
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
由全等可得到的相关定理:
⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）．
⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
（等角对等
⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
边）•
⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
它们具有互逆性.
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1•由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2•过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3•OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，
三角形中线的定义：
三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）
三角形中位线定义：
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理：
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题（涉及中点的问题）
见到中线仲点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤
其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.
重点：
本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点
难点：
本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
字例题精讲
板块一、全等三角形的认识与性质
例1】
在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC,
若12，则图中全等三角形共有哪几对？
并简单说明理由．
巩固】如图所示，
ABAD，BC
DC,E、F在AC上,
AC与BD相交于P．图中有几对全等三
角形？
请一一找出来，并简述全等的理由．
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）如图，ACIIDE,BCIIEF,ACDE.求证:
AFBD．
【例3】（2008年宜宾市）已知：
如图，ADBC,ACBD，求证：
CD.
【巩固】如图，AC、BD相交于O点，且ACBD,ABCD，求证：
OAOD.
【例4】（哈尔滨市2008年初中升学考试）已知：
如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC,BECF，BC．求证：
OAOD．
【例5】已知，如图，ABAC,CEAB,BFAC，求证：
BFCE.
例6】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF.求证：
AEBF.
【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF,GEEF.求证:
BGCFBC.
【例7】在凸五边形中，BE,CD,BCDE,M为CD中点•求证：
AMCD•
板块三、截长补短类
【例1】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN60,射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？
【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ZABC外角的平分线交于
点N,MD与MN有怎样的数量关系?
【例2】如图，AD丄AB,CB丄AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,ZAMD=75°,ZBMC=45
则AB的长为
（）
A.a
B.k
khC.
2
D.h
【例3】已知：
如图，ABCD是正方形，ZFAD=ZFAE.求证：
BE+DF=AE.
D
F
B
E
【例4】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点
作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.
【例5】五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD，/ABC+/AED=180°，求证：
AD平分/CDE
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】如图，已知
ABC的周长是21,OB,OC分别平分
ABC和ACB,ODBC于D，且
OD3，求ABC的面积.
C
【例2】在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD,BDCD，求证：
ABAC.
【例3】已知ABC中，ABAC,BE、CD分别是ABC及ACB平分线•求证：
CDBE.
【例4】已知ABC中，A60o,BD、CE分别平分ABC和ACB,BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.
【例5】如图，已知E是AC上的一点，又12，34.求证：
EDEB•
【例6】（“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD中，AB=4,BC=7,ZBAD的角平分线交BC于点E,
EF丄ED交AB于F,贝UEF=
BAC,E、F分别在BD、AD上.DECD,EFAC.求
【例7】如图所示，已知ABC中，AD平分
证：
EF//AB
【巩固】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF//AD交CA的延长线于点F,
交AB于点G，若BGCF，求证：
AD为BAC的角平分线.
【巩固】在ABC中，ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：
ABACPBPC.
【例8】如图，在ABC中,
B2C，BAC的平分线AD交BC与D.求证：
ABBDAC.
【例9】如图所示，在ABC中，ACAB,M为BC的中点,
1
且交AD的延长线于F，求证MF—ACAB.
2
AD是BAC的平分线，若CF
AD
C
【巩固】如图所示,
AD是ABC中BAC的外角平分线,
CDAD于D,E是BC的中点，求证
DEIIAB且DE—（ABAC）.
2
【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC,ADAB,CMAD于M，求证ABAC2AM.
【例11】在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角
ABE、ACF的角平分线，AMBM,
ANCN垂足分别是M、N.求证：
MN//BC,MN
AB
AC
BC
【例10】如图，
于E.
ABC中，ABAC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，求证：
ADAE.
AD
BD于D,AECE
【巩固】
已知：
AD和BE分别是△ABC的ZCAB和ZCBA的外角平分线，
CD
AD,CE
BE，求
证：
⑴
1
DE//AB;
（2）DE-ABBCCA.
2
【巩固】在ABC中，MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线，AMBM,ANCN
1
垂足分别是M、N.求证：
MN//BC,MN-ABACBC
2
M
【巩固】（北京市中考模拟题）如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E,
并且AE丄（ABAD），贝UABCADC等于多少?
2
【例12］如图,
D180,BE平分ABC,CE平分
BCD，点E在AD上.
①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.
②探讨线段BE与CE之间的位置关系.
版块一、倍长中线
1
【例1］已知：
ABC中，AM是中线.求证：
AM-（ABAC）.2
【巩固］（2002年通化市中考题）在ABC中，AB5,AC9，贝UBC边上的中线AD的长的取值范围是什么？
DAC【例2］如图，ABC中，ABvAC,AD是中线.求证:
C
【例3】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,
AFEF，求证：
ACBE.
【例4】已知△ABC,/B=/C,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE
交底BC于G，求证GD=GE.
【例5】已知AM为ABC的中线，AMB,AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:
BECFEF.
A
【例6】在RtABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且
EDFD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？
若能，该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形？
【巩固】如图所示，在
ABC中，D是BC的中点,
99
DM垂直于DN，如果BM2CN2
22
DMDN
2122
求证AD-ABAC
4
【例7】
（2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组）在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分
别在边CA、CB上，满足DFE90•若AD3,BE4,则线段DE的长度为.
版块二、中位线的应用
【例8】AD是ABC的中线，
1
F是AD的中点，BF的延长线交AC于E.求证：
AE-AC•
3
【例9】如图所示，在ABC中，ABAC,延长AB到D，使BDAB,E为AB的中点，连接CE、
CD，求证CD2EC•
【巩固】已知△ABC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CE为厶ABC的AB边上的中线.求证CD=2CE
【例10】已知：
ABCD是凸四边形，且ACEF交BD于N,AC和BD交于G点.
【例11】在ABC中，ACB90,AC
E、F分别是AD、BC的中点,
求证：
/GMN>/GNM.
1
-BC,以BC为底作等腰直角
2
EF交AC于M;
BCD,E是CD的中点,
求证：
AEEB且AEBE.
【例12】如图，在五边形ABCDE中，ABCAED90,BACBFEF.
EAD,F为CD的中点.求证:
【例13】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题
）如图所示，P是ABC内的一点,
PACPBC，过P作PMAC于M,PLBC于L,D为AB的中点，求证DMDL.
D
【例14】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F,使DEDF•过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N•求证：
（1）DEM也FDN;
（2）PAEPBF•
家庭作业
C
E
F
P
【习题1】如图，已知ACBD,ADAC,BCBD，求证：
ADBC•
【习题2】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，/BDC=120°,/MDN=60求证MN=MB+NC.
【习题3】在厶ABC中，AB3AC证：
ADDE.
【习题
4】如图，
在AB
C中，AB
【习题
5】如图,
在等腰
ABC中,
AEAF.
求证：
EDB
FDC.
【习题
6】如图，
已知在
ABC中，
BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD,E为垂足,
BDAC，BAC的平分线AD交BC与D.求证：
B2
ABAC,D是BC的中点，过A作AEDE,AFDF，且
AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F,AF与EF相等吗？
为什么？
【习题7】如右下图，在ABC中，若B2C,ADBC,E为BC边的中点.求证：
AB2DE.
升级会员 