全等三角形几种类型总结.docx

1、全等三角形几种类型总结第一讲全等三角形与角平分线中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形 的性质及判疋会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简 单问题会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题知识点睛全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE也五边形 ABCDE.这里符号“也”表示全等，读作“全等于”

2、全等三角形:ED能够完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“也”.全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的 角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的

3、角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 (或最大角 )是对应边 (或对应角 )，一对最短边 (或最小角 )是对应边 (或对应角 )要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的

4、两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用: 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线判定三角形全等的基本思路:找夹角 SAS已知两边 找直角 HL找另一边 SSS边为角的对边t找任意一角t AAS”、丄& 找这条边上的另一角t ASA已知一边一角边就是角的一条边 找这条边上的对角t aas找该角的另一边 t SAS找两角的夹边 ASA 找任意一边 AAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式: 平移全等型 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理: 角的平分线上的

5、点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角 )等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.（等角对等 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等边）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性.角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方

6、式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合 ）三角形中位线定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线 仲点），我们可以联想的内容无

7、非是倍长中线以及中位线定理 （以后还要学习中线长公式 ），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的 基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法， 尤其是当在直角三角形中时， HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论， 要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表 示，即书写格式，都要在讲练中反复强化字例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质

8、例 1】在AB、AC上各取一点 E、D，使AE AD，连接BD、CE相交于O再连结 AO、BC ,若 1 2 ，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由巩固】如图所示，AB AD ， BCDC , E、F 在 AC 上,AC 与 BD 相交于 P 图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由板块二、三角形全等的判定与应用【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试 ）如图，AC II DE , BC II EF , AC DE .求证:AF BD 【例3】（2008年宜宾市）已知：如图， AD BC , AC BD，求证： C D .【巩固】如图， AC、BD相交于O点，且AC

9、 BD , AB CD，求证：OA OD .【例4】（哈尔滨市2008年初中升学考试）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB DC , BE CF ， B C 求证： OA OD 【例5】 已知，如图， AB AC, CE AB, BF AC，求证：BF CE .例 6】 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、 CD 边上的点，且 BE CF .求证： AE BF .【巩固】E、F、G分别是正方形 ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE EF , GE EF .求证: BG CF BC .【例7】 在凸五边形中， BE , CD , BC DE , M为CD中点求证：

10、AM CD 板块三、截长补短类【例1】 如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点 （点B除外），作 DMN 60 , 射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的数量关系？【巩固】如图，点 M为正方形ABCD的边AB上任意一点， MN DM且与Z ABC外角的平分线交于点N , MD与MN有怎样的数量关系?【例 2】 如图，AD 丄 AB , CB 丄 AB , DM=CM = a , AD= h , CB= k , Z AMD =75 , Z BMC =45则AB的长为()A. aB. kk h C.2D. h【例3】 已知：如图， ABCD是正方形，Z

11、 FAD= Z FAE.求证：BE + DF=AE.DFBE【例4】 如图所示， ABC是边长为1的正三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 AMN的周长.【例 5】 五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC + DE=CD，/ ABC + / AED =180 ，求证：AD 平分/ CDE板块四、与角平分线有关的全等问题【例1】如图，已知ABC的周长是21 , OB , OC分别平分ABC 和 ACB , OD BC 于 D，且OD 3，求 ABC的面积.C【例2】 在 ABC中，D为BC边上的点，已知 BAD CAD

12、, BD CD，求证：AB AC .【例3】 已知 ABC中，AB AC, BE、CD分别是 ABC及 ACB平分线求证： CD BE .【例4】 已知 ABC中， A 60o, BD、CE分别平分 ABC和 ACB , BD、CE交于点O，试判 断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例5】 如图，已知 E是AC上的一点，又 1 2， 3 4 .求证：ED EB 【例6】（“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD中，AB = 4 , BC=7 ,Z BAD的角平分线交 BC于点E,EF 丄 ED 交 AB 于 F,贝U EF= BAC , E、F 分别在 BD、AD 上. DE CD , EF

13、 AC .求【例7】 如图所示，已知 ABC中，AD平分证：EF / AB【巩固】如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于点 F ,交AB于点G，若BG CF，求证：AD为 BAC的角平分线.【巩固】在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证： AB AC PB PC .【例8】如图，在 ABC中,B 2 C， BAC的平分线 AD交BC与D .求证： AB BD AC .【例9】 如图所示，在 ABC中，AC AB , M为BC的中点,1且交AD的延长线于F，求证MF AC AB .2AD是 BAC的平分线，若C

14、FADC【巩固】如图所示,AD是 ABC中 BAC的外角平分线,CD AD于D , E是BC的中点，求证DE II AB 且 DE (AB AC).2【巩固】如图所示，在 ABC中，AD平分 BAC , AD AB, CM AD于M，求证AB AC 2AM .【例11】在 ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、 ACF的角平分线， AM BM ,AN CN垂足分别是M、N .求证：MN / BC , MNABACBC【例10】如图，于E .ABC中，AB AC , BD、CE分别为两底角的外角平分线， 求证：AD AE .ADBD 于 D , AE CE【巩固】已知：AD和BE分别是

15、ABC的Z CAB和Z CBA的外角平分线，CDAD , CEBE，求证：1DE / AB ;(2) DE - AB BC CA .2【巩固】在 ABC中，MB、NC分别是三角形的内角 ABC、ACB的角平分线，AM BM , AN CN1垂足分别是 M、N .求证： MN / BC , MN - AB AC BC2M【巩固】（北京市中考模拟题）如图，在四边形 ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE AB于E ,并且AE 丄（AB AD），贝U ABC ADC等于多少?2【例12如图,D 180 , BE 平分 ABC, CE 平分BCD，点 E 在 AD 上. 探讨线段 AB、CD和BC之

16、间的等量关系. 探讨线段 BE与CE之间的位置关系.版块一、倍长中线1【例1已知： ABC中，AM是中线.求证： AM - （AB AC）. 2【巩固（2002年通化市中考题）在 ABC中，AB 5, AC 9，贝U BC边上的中线 AD的长的取值范围 是什么？DAC DAB.【例2如图， ABC中，ABvAC , AD是中线.求证:C【例3】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F ,AF EF，求证：AC BE .【例4】 已知 ABC,/ B = / C , D , E分别是 AB及AC延长线上的一点，且 BD=CE，连接DE交底BC于G，求

17、证GD=GE .【例5】 已知AM为 ABC的中线， AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证:BE CF EF .A【例6】 在Rt ABC中， A 90，点D为BC的中点，点 E、F分别为 AB、AC上的点，且ED FD .以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能， 该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点,9 9DM垂直于 DN，如果BM 2 CN22 2DM DN2 1 2 2求证 AD - AB AC4【例7】（2008年四川省初中数学联赛复赛初二组 ）在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在

18、边CA、CB上，满足 DFE 90 若AD 3 , BE 4 ,则线段DE的长度为 .版块二、中位线的应用【例8】AD是ABC的中线，1F是AD的中点，BF的延长线交 AC于E .求证：AE -AC 3【例9】 如图所示，在 ABC中，AB AC,延长AB到D，使BD AB , E为AB的中点，连接CE、CD，求证 CD 2EC 【巩固】已知 ABC中，AB=AC, BD为AB的延长线，且 BD=AB, CE为厶ABC的AB边上的中 线.求证CD=2CE【例10】已知：ABCD是凸四边形，且 AC/GNM.1-BC ,以BC为底作等腰直角2EF交AC于M ;BCD , E是CD的中点,求证：A

19、E EB 且 AE BE .【例12】如图，在五边形 ABCDE中， ABC AED 90 , BAC BF EF .EAD , F为CD的中点.求证:【例13】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示， P是 ABC内的一点,PAC PBC，过P作PM AC于M , PL BC于L , D为AB的中点，求证 DM DL .D【例14】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在 ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、 F ,使DE DF 过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点 P，设线段PA、PB的 中点分别为M、N 求证：(1)DEM 也 FDN ;(2)PAE

20、 PBF 家庭作业CEFP【习题1】如图，已知 AC BD , AD AC , BC BD，求证：AD BC 【习题2】点M , N在等边三角形 ABC的AB边上运动，BD = DC，/ BDC=120 , / MDN =60 求证 MN=MB+NC.【习题 3】在厶ABC中，AB 3AC 证：AD DE .【习题4】如图，在 ABC 中，AB【习题5】如图,在等腰ABC 中,AE AF .求证：EDBFDC .【习题6】如图，已知在ABC 中，, BAC的平分线交BC于D，过B作BE AD , E为垂足,BD AC， BAC的平分线 AD交BC与D .求证： B 2AB AC , D是BC的中点，过 A作AE DE , AF DF，且AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE交 AC于F , AF与EF相等吗？为什么？【习题7】如右下图，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E为BC边的中点.求证： AB 2DE .