初二平行四边形全章新课讲解学生版.docx

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初二平行四边形全章新课讲解学生版

平行四边形

——　平行四边形的性质

第1课时　平行四边形的边角的特征

情景导入　生成问题

展示图片：

从以上图形中我们能发现哪些几何图形？

你能给平行四边形下定义吗？

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形记作“▱”．

2．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是．

【合作探究】

如图，在四边形中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：

四边形是平行四边形．

【自主探究】

1．平行四边形的对边，对角，邻角．

2．在▱中，＝5，∠A＝55°，则＝_，∠B＝，∠C＝，∠D＝_．

【合作探究】

如图，点G、E、F分别在平行四边形的边、和上，＝，＝，点P是射线上一点，连接，.求证：

＝.

【自主探究】

1．夹在两条平行线间的平行线段、平行线间的距离．

2．如图，直线l1∥l2，点A、E在l1上，点B、C、F在l2上，、分别是△和△的高，则.（选填“＞”“＝”或“＜”）

【合作探究】

如图，在平行四边形中，＝2，M为的中点，连接、，试问直线和有何位置关系？

请证明．

【交流总结】

知识一　平行四边形的定义

知识二　平行四边形的边、角特征

知识三　两平行线间的距离

【当堂检测】

1．如图，点P在平行四边形内，过点P作∥，∥，则图中共有个平行四边形．

2．在平行四边形中，＝4，＝2，则平行四边形的周长等于（　　）

A．12B．8　　　　C．6　　　　D．4

9；A

第2课时　平行四边形的对角线的特征

【学习目标】

1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明问题．

【学习重点】

平行四边形对角线的性质．

【学习难点】

平行四边形对角线性质的运用．

情景导入　生成问题

如图，在平行四边形中，，为对角线，＝6，边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？

解：

S阴＝12.

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．平行四边形对角线．平行四边形是对称图形．

2．如图，▱的对角线、相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）

A．＝B．⊥

C．＝D．⊥

【合作探究】

已知▱的周长为60，对角线、相交于点O，△的周长比△的周长长5，求这个平行四边形各边的长．

【自主探究】

1．如图，P是▱的边上一点．已知S△＝3，S△＝2，那么平行四边形的面积是（　　）

A．6B．8

C．10D．无法确定

2．　在▱中，如图①，O为对角线、的交点．

（1）求证：

S△＝S△；

（2）如图②，设P为对角线上任一点（点P及点B、D不重合），S△及S△仍然相等吗？

若相等，请证明；若不相等，请说明理由．

【自主探究】

如图，已知点A（－4，2），B（－1，－2），平行四边形的对角线交于坐标原点O.

（1）请直接写出点C、D的坐标；

（2）写出从线段到线段的变换过程；

（3）直接写出平行四边形的面积．

【合作探究】

如图，平行四边形中，、交于O点，点E、F分别是、的中点，试判断线段、的关系并证明你的结论．

【交流总结】

知识一　平行四边形的对角线互相平分

知识二　平行四边形的面积

知识三　判断直线的位置关系

【当堂检测】

1．在▱对角线、相交于点O，若＝14，＝8，＝10，则△的周长为．

2．在▱中，对角线、相交于点O，如果＝14，＝8，＝x，那么x的取值范围是．

3．如图，M、N分别是▱的对角线上两点，＝，求证：

＝.

18．1.2　平行四边形的判定

第1课时　平行四边形的判定

（一）

【学习重点】

平行四边形判定定理的运用．

【学习难点】

平行四边形判定定理的综合运用．

一、旧知回顾：

1．平行四边形对边，对角线，对角．

2．写出这些性质的逆命题，这些命题是真命题吗？

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．两组对边分别的四边形是平行四边形．

2．如图，在四边形中，＝，＝，则四边形是．

【合作探究】

如图，在△中，分别以，，为边在的同侧作等边△，等边△，等边△.试说明四边形是平行四边形．

【自主探究】

两组对角分别的四边形是平行四边形．

下面给出的是四边形中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形为平行四边形的是（　　）

A．1∶2∶3∶4B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3D．1∶2∶2∶3

【合作探究】

如图，在四边形中，∥，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.

（1）求∠D的度数；

（2）求证：

四边形是平行四边形．

【自主探究】

对角线的四边形是平行四边形．

【合作探究】

如图，在四边形中，若＝10，＝8，那么当＝5，＝4时，四边形为平行四边形，因为．

【交流总结】

知识一　两组对边分别相等的四边形是平行四边形

知识二　两组对角分别相等的四边形是平行四边形

知识三　对角线互相平分的四边形是平行四边形

【当堂检测】

1．在四边形中，有两条边相等，另两边也相等，则这个四边形（　　）

A．一定是平行四边形B．一定不是平行四边形

C．可以是平行四边形，也可以不是平行四边形D．上述答案都不对

2．延长三角形的腰到D，到E，分别使＝，＝，则四边形是，其判断依据是．

第2课时　平行四边形的判定

（二）

【学习重难点】

平行四边形判定方法的灵活运用及综合应用．

旧知回顾：

1．我们已从边、角、对角线的角度研究了平行四边形的方法．它们是：

边：

两组对边分别平行或相等．

角：

两组对角相等．

对角线：

对角线互相平分．

2．如果我们只考虑四边形的一组对边，能否判断四边形是平行四边形呢？

答：

能．

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．一组对边的四边形是平行四边形．

2．如图，在四边形中，∥.要使四边形是平行四边形，应添加的条件是：

．（只填写一个条件）

【合作探究】

如图E，F是四边形的对角线上的两点，＝，＝，∥，四边形是平行四边形吗？

请说明理由．

【自主探究】

在四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四个条件：

①∥；②＝；③＝；④＝，从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（　　）

A．6种B．5种C．4种D．3种

【合作探究】

如图，在四边形中，对角线及相交于点O，在①∥；②＝；③＝中任意选取两个作为条件，“四边形是平行四边形”为结论构造命题．

以①②作为条件构成的命题是真命题吗？

若是，请证明；若不是，请举出反例．

【自主探究】

如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作∥，∥，及各边交点分别为点E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

【合作探究】

在四边形中，∥，且＞，＝6，P，Q分别从A，C同时出发，P以1的速度由A向D运动，Q以2的速度由C向B运动，问几秒时，四边形是平行四边形？

【交流总结】

知识一　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

知识二　判定平行四边形的条件

知识三　平行四边形的性质和判定的综合应用

【当堂检测】

1．如图，在四边形中，∥，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，请你只添加一个条件：

，使得四边形为平行四边形．

（第1题图））　　　　,（第2题图））,（第3题图）

2．如图，在▱中，＝5，＝3，平分∠交的延长线于F点，则＝．

3．如图，在平行四边形中，⊥于点E，⊥于点F，＝4，＝6，平行四边形的周长为40，求平行四边形的面积．

第3课时　三角形的中位线

【学习重点】

三角形中位线的性质定理及其运用．

【学习难点】

灵活运用三角形中位线性质进行证明及运算．

情景导入　生成问题

将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？

图中有几个平行四边形？

你是如何判断的？

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．连接三角形叫做三角形的中位线．

2．一个三角形有条中位线．

3．三角形的中位线于三角形的第三边，并且等于第三边的．

【合作探究】

1．如图，在△中，D，E分别为，的中点，平分∠，交于点F.若＝3，则的长为（　）

B．3C．6D．9

2．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出和的中点M，N，如果测得＝20m，那么A，B两点的距离是，理由是．

【自主探究】

如图所示，在△中，∠＝90°，延长到点D，使＝，点E，F分别为边、的中点，求证：

＝.

【合作探究】

如图，在△中，＝5，＝3，点N为的中点，平分∠，⊥，垂足为点M，延长交于点D，求的长．

【自主探究】

如图，在△中，D，E，F分别是，，的中点，求证：

及互相平分．

【合作探究】

如图，E为▱中边的延长线上一点，且＝，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接，判断及的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

【交流总结】

知识一　利用三角形中位线定理求线段的长

知识二　运用三角形的中位线性质进行计算

知识三　中位线定理的综合应用

【当堂检测】

1．如图，在△中，点D，E，F分别是，，的中点，如果△的周长为20，那么△的周长是（　　）

A．5B．10C．15D．20

2．如图，在▱中，E是延长线上一点，＝，连接交于点F，若平分∠，＝3，则的长为．

1．平行线之间的距离

（1）平行线之间的距离

从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．

（2）平行线间的距离．

2．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：

三角形两边之和第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

（3）三角形的两边差第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．

3．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：

三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：

三角形内角和是°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

4．三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：

三角形的一边及另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．

5．等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：

等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

6．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：

有两组对边分别的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质：

①边：

平行四边形的对边相等．

②角：

平行四边形的对角相等．

③对角线：

平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行线间的距离处处相等．

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

7．平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：

∵∥，∥∴四边行是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：

∵，∴四边行是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

符号语言：

∵∥，∴四边行是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：

∵∠∠，∠∠∴四边行是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：

∵，∴四边行是平行四边形．

特殊的平行四边形

矩形——　矩形的性质

【学习目标】

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形及平行四边形的区别及联系．

2．掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算及证明．

【学习重难点】

矩形的性质及其推论的灵活应用．

情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．平行四边形的性质：

相等，相等且，对角线．

2．平行四边形的判定方法：

两组对边分别平行，两组对角分别相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分．

3．猜想：

有一个角是直角的平行四边形是．

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．有一个角是的平行四边形叫做矩形．

2．在▱中，若∠A＝∠B，则四边形是．

3．矩形的都是直角．

4．矩形的相等且．

【合作探究】

1．在矩形中，O是的中点，∠＝90°，矩形的周长为24，则长为（　　）

A．1B．2C．2.5D．4

2．如图，矩形的对角线的交点为O，过点O且分别交，于点E、F，则图中阴影部分的面积是矩形的面积的（　　）

【自主探究】

如图，在矩形中，以顶点B为圆心，边长为半径作弧，交边于点E，连接，过C点作⊥于点F，求证：

＝.

【合作探究】

如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且＝，⊥.求证：

平分∠.

【自主探究】

1．直角三角形斜边上的中线等于．

2．在△中，∠＝90°，＝10，点D为的中点，则＝.

【合作探究】

如图，在△中，是高，E，F分别是，的中点．

（1）若＝10，＝8，求四边形的周长；

（2）求证：

垂直平分.

【交流总结】

知识一　矩形的性质

知识二　矩形性质的应用

知识三　直角三角形斜边上的中线的性质

【当堂检测】

1．在矩形的边上有一点E，且＝，若＝2，则∠等于（　　）

A．45°B．30°C．60°D．75°

2．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若∠＝40°，则∠的度数为（　　）

A．100°B．110°C．120°D．135°

3．在△中，∠＝90°，点D，E，F分别是，，的中点，若＝5，则的长为．

第2课时　矩形的判定

【学习目标】

1．会证明矩形的两个判定定理．

2．会用矩形定义及判定定理判定一个四边形是否为矩形，并能进行有关计算及论证．

【学习重点】

矩形的判定定理及应用．

【学习难点】

矩形的判定及性质综合运用．

情景导入　生成问题

旧知回顾：

矩形有什么性质？

你能写出这些性质的逆命题吗？

逆命题都是真命题吗？

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．对角线的平行四边形是矩形．

2．下列结论正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

【合作探究】

如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，延长到点N，＝，再延长至点M，使＝.求证：

四边形为矩形．

【自主探究】

1．有三个角是的四边形是矩形．

2．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　）

A．梯形　　　　B．矩形　　　　C．正方形　　　　D．不是平行四边形

【合作探究】

如图，▱各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H.求证：

四边形是矩形．

【自主探究】

四边形的对角线，相交于点O，已知下列6个条件：

①∥；②＝；③＝；④∠＝90°；⑤＝；⑥＝.则不能使四边形成为矩形的是（　　）

A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥

【合作探究】

如图，O是矩形的对角线的交点，E，F，G，H分别是，，，上的点，且＝＝＝.

（1）求证：

四边形是矩形；

（2）若E，F，G，H分别是，，，的中点，且⊥，＝2，求矩形的面积．

交流展示　生成新知

【交流总结】

知识一　对角线相等的平行四边形是矩形

知识二　有三个角是直角的四边形是矩形

知识三　矩形的性质和判定的综合运用

检测反馈　达成目标

【当堂检测】

1．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使＝，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（　）

A．＝B．⊥

C．∠＝90°D．⊥

2．已知，▱的对角线，相交于点O，△是等边三角形，＝1，则的长为（　　）

C．2　　　　　　

3．四边形的对角线，相交于点O，已知下列6个条件：

①∥；②＝；③＝；④∠＝90°；⑤＝；⑥＝.则能使四边形成为矩形的是．（填序号）

18．2.2　菱形

第1课时　菱形的性质

【学习目标】

1．理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2；会用这些定理进行有关的论证和计算．

2．根据平行四边形及矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

【学习重点】

菱形的概念、性质及菱形面积计算公式．

【学习难点】

灵活运用菱形性质进行证明及计算．

情景导入　生成问题

旧知回顾：

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？

自学互研　生成能力

【自主探究】

1．菱形的定义：

有一组相等的平行四边形叫做菱形．

2．如图，在▱中，若∠＝∠，则四边形是．

归纳：

菱形的性质：

菱形的四条边都，对角线，并且每一条对角线平分一组对角．

【合作探究】

如图，四边形是菱形，⊥交延长线于点E，⊥交延长线于点F.求证：

＝.

【自主探究】

菱形的两条对角线的长分别为6和8，那么菱形的面积是2．

归纳：

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半，即S菱形＝（a、b为菱形的对角线长）．

【合作探究】

如图，O是菱形对角线及的交点，＝5，＝3.过点C作∥，过点B作∥，及相交于点E.

（1）求的长；

（2）求四边形的面积．

【自主探究】

感知：

如图①，在菱形中，＝，点E，F分别在边，上．若＝，易知△≌△.

探究：

如图②，在菱形中，＝，点E，F分别在，的延长线上．若＝，△及△是否全等？

如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．

拓展：

如图③，在▱中，＝，点O是边的垂直平分线及的交点，点E，F分别在，的延长线上．若＝，∠＝50°，∠＝32°，求∠的度数．

【交流总结】

知识一　菱形的性质；知识二　菱形性质的应用；知识三　运用菱形的性质解决探究性问题

【当堂检测】

1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别平行　　　　B．两组对角分别相等C．对角线互相平行D．对角线互相垂直

2．如图，在菱形中，∠＝80°，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，则∠等于（　　）

A．50°B．60°C．70°D．80°

3．如图，菱形的周长为24，一条对角线的长为8，求菱形的面积．

第2课时　菱形的判定

【学习目标】

1．理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法．

2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．

【学习重点】

菱形的判定定理．

【学习难点】

判定定理的证明及运用．

情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．菱形的定义：

是菱形．

2．如图，在菱形中，对角线及相交于点O，⊥，垂足为点E，若∠＝130°，则∠的大小为（　　）

A．75°B．65°　　　　C．55°　　　　D．50°

自学互研　生成能力

【自主探究】

阅读教材P57～58，思考：

1．菱形的判定方法：

（1）有一组邻边的平行四边形是菱形；

（2）对角线的平行四边形是菱形；（3）四条边的四边形是菱形．

2．已知▱，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱成为一个菱形，你添加的条件是．

【合作探究】

如图，▱的两条对角线，相交于点O，＝5，＝8，＝6.求证：

四边形是菱形．

【自主探究】

如图，在平行四边形中，，分别是∠和∠的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形为菱形，则添加的一个条件可以是．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）

【合作探究】

如图，在△中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接.

（1）求证：

＝；

（2）若⊥，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【自主探究】

如图，在四边形中，＝，＝，E是上一点，交于点F，连接.

（1）证明：

∠＝∠，∠＝∠；

（2）若∥，试证明四边形是菱形；

【交流预展】

知识模块一　菱形的判定

知识模块二　菱形判定的应用

知识模块三　菱形性质和判定的综合应用

【当堂检测】

1．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是，顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是．

2．如图，在正五边形中，连接，，交于点F，连接，则线段，，之间的关系式是．

18.2.3　正方形

【学习目标】

1．掌握正方形的概念、性质和判定方法，并会运用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形及平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．

【学习重点】

正方形的定义、性质及判定方法．

【学习难点】

正方形的性质及判定定理的灵活运用．

情景导入　生成问题

做一做：

用一张长方形纸片（如图所示）折出一个正方形，感知正方形及矩形的联系？

问题：

什么样的四边形是正方形？

解：

邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．

自学互研　生成能力

【自主探究】

阅读教材P58～59，思考：

1．正方形既是，又是，它的四个角都是，四条边都，对角线，并且每一条对角线平分一组对角．

2．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线相等且互相平分　　　B．对角线相等且垂直平分

C．对角线互相平分D．四边相等，四个角相等

【合作探究】

如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接、.

（1）求证：

△≌△；

（2）延长交于点F，若∠＝140°，求∠的度数．

【自主探究】

在正方形中，点F是边上一点，连接，点E为的中点．连接、、.

（1）求证：

△≌△；

（2）当＝时，求∠的度数．

【合作探究】

如图，正方形中，D是边上的一点，B是延长线上的一点，且＝，若四边形的面积是242.则的长是.

【自主探究】

小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：

①＝，②∠＝90°，③＝，④⊥中选两个作为补充条件，使▱为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．②④

【合作探究】

△中，＝，是△的角平分线，点O为的中点，连接并延长到点E，使＝，连接，.

（1）求证：

四边形是矩形；

（2）当△满足什么条件时，矩形是正方形，并说明理由．

交流展示　生成新知

【交流总结】

知识一　正方形的性质及判定

知识二　正方形性质的应用

知识三　正方形判定的应用

【当堂检测】

1．如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且＝及相