的图象；
（2）相位变换:
把
的图象上所有点向左（
>0）或向右（
<0）平行移动|
|个单位，得到
的图象；
（3）周期变换:
把
的图象上各点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的
倍（纵坐标不变），可得到
的图象.
（4）若要作
，可将
的图象向上
或向下
平移
个单位，可得到
的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸（A>1）横缩（ω>1）”。
要点诠释：
由
的图象利用图象变换作函数
的图象时要特别注意：
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别.
考点二、
的解析式
1.
的解析式
（
），
表示一个振动量时，
叫做振幅，
叫做周期，
叫做频率，
叫做相位，
时的相位
称为初相.
2.根据图象求
的解析式
求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点
.
求解步骤是先由图象求出
与
，再由
算出
，然后将第一零点代入
求出
.
要点诠释：
若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算.
考点三、函数
（
）的性质
1.定义域:
值域:
y∈[-A,A].
2．周期性:
3.奇偶性:
时为偶函数；
时为奇函数，
.
4．单调性:
单调增区间:
[
],
单调减区间:
[
],
5.对称性:
对称中心（
0），
；对称轴x=
，
6．最值:
当
即
时，y取最大值A
当
即
时，y取最小值-A．（
）.
要点诠释：
①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为
，要特别注意
、
的正负，再把
看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。
【典型例题】
类型一、求函数
（
）的单调区间
例1.求函数
的单调区间.
【思路点拨】利用正弦函数的单调区间，求出简单复合函数的单调区间.
【解析】解法一：
化成
.
∵
的递增、递减区间分别为
（k∈Z），
（k∈Z），
∴函数
的递增、递减区间分别由下面的不等式确定，
，
即
，
，
即
，
∴函数
的单调递减区间、单调递增区间分别为
（k∈Z），
（k∈Z）.
解法二：
可看作是由
与
复合而成的.
又∵
为减函数，
∴由
，
，
即
为
的递减区间.
由
，
即
得
，
即
为
的递增区间。
综上可知：
的递增区间为
；
递减区间为
.
【总结升华】熟练掌握函数
的单调区间的确定的两种方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调递增区间.
（1）
，
（2）
，（3）
.
【解析】
（1）∵
，∴递增区间为：
（
）；
（2）画出
的图象：
可知增区间为
（
）；
（3）函数在区间
（
）上是增函数.
【变式2】利用单调性比较
，
，
的大小：
【解析】
∵
，
，且
∴
类型二、三角函数
的图象及其变换
例2．已知函数
（1）用五点法作出它的图象；
（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；
（3）说明该函数的图象可由
的图象经过怎样的变换而得到？
【思路点拨】化简
，令
，分别求出对应的
值，再描点作图，注意图象变换的时候每一个变换总是对字母
而言的.
【解析】
（1）
.
列表描点绘图如下:
（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为
，频率为
，初相为
.
单调增区间为
kZ，
单调减区间为
kZ.
（3）法一：
法二：
【总结升华】
①五点法作
（
）的简图时，五点取法是设
，由
取0、
、
、
、
来求相应的
值及对应的
值，再描点作图；
②由
的图象变换出
的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母
而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；
③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：
首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及
的系数是相同的.
举一反三：
【变式1】由
的图象得到
的图象需要向平移个单位.
【答案】左，
；
【解析】∵
，
∴由
的图象得到
的图象需要向左平移
个单位.
【变式2】试述如何由
的图象得到
的图象.
【解析】方法一：
.
方法二：
.
【变式3】若函数
的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的
，再将图象沿
轴向右平移
个单位，则新图象对应的函数式是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【变式4】画出函数
在区间
上的图象.
【解析】由
知道：
x
0
y
－1
0
1
0
故函数在区间
上的图象：
例3.如图，它是函数
的图象，由图中条件，写出该函数的解析式。
【思路点拨】结合图形易求得A，
及
.如何求
呢？
可以选择点的坐标代入函数解析式尝试一下，结合
的范围求得.
【解析】由图知A=5，
由
，得
∴
。
此时
。
下面介绍怎样求初相
。
解法一：
（单调性法）
∵点（π，0）在递减的那段曲线上，
∴
。
由
得
，
∴
。
∵
，∴
。
解法二：
（最值点法）
将最高点坐标
代入
，得
，
∴
，∴
。
又
，∴
。
解法三：
（起始点法）
函数
的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由
解得的。
故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角
。
由图象易得
，
∴
。
解法四：
（平移法）
由图象知，将
的图象沿x轴向左平移
个单位就得到本题图象，故所求函数解析式为
【总结升华】给出
型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置，例3中的解法三是我们常选用的方法这一.
举一反三：
【变式】下图是函数
（
，
）的图象．则
、
的值是（）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】由图象可得：
∵
，由
得
，
由
，得
∴
（
）
由
，得
．满足
时，
或
．
由此得到
，
．注意到
，即
，
因此
，这样就排除了
．
∴
，
注意：
因为函数
是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、
、
的值．本题虽然给出了
，
的条件，但是仅靠（0，1）、
两点，不能完全确定
、
的值．在确定
的过程中，比较隐蔽的条件
（
）起了重要作用．
类型三：
奇偶性与对称性
例4．已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的对称性。
【思路点拨】正弦函数的定义域是
，在考查
与
的关系；考查三角函数的对称性的时候，从对称轴和对称中心两个方面考虑.
【解析】
（1）
的定义域
关于原点对称，
∵
且
，
∴函数
不是奇函数也不是偶函数.
（2）∵令
则
的图象的对称轴是
，对称中心
（
），
∴函数
的图象的对称轴是
即
（
）
由
得
（
），
∴函数
的图象的对称中心是
（
）.
【总结升华】①先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式
（
），再判断其奇偶性.函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。
②对于
（
）来说，对称中心与零点（平衡位置）相联系，对称轴与最值点（极值点）联系.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性
（1）
；
（2）
.
【解析】
（1）定义域
关于原点对称，
又
∴函数为奇函数。
（2）∵从分母可以得出
（
），∴定义域在数轴上关于原点不对称。
∴函数为非奇非偶函数
【变式2】设函数
的图象的一条对称轴方程是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
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