黄冈市学年高一下学期期末考试数学理试题 含答案.docx

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黄冈市学年高一下学期期末考试数学理试题含答案

湖北省黄冈市2018年春季高一年级期末考试数学试卷（理科）

本试卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合M＝{y|y＝cosx，x∈R}，

，则M∩N为（　）

A．

　　　　　　　　　　　　　　B．{0，1}

C．{－1，1}　　　　　　　　　　　D．（－1，1]

2、已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（　）

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a3＞b3且ab＜0，则

C．若

，则a＞b

D．若a2＞b2且ab＞0，则

3、已知点（－3，－1）和点（b，－4）均在直线3x－2y－a＝0上，则ab的值为（　）

A．

　　　　　　　　　　　　　　B．－35

C．35　　　　　　　　　　　　　　D．

4、下列命题错误的是（　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

5、已知等比数列{an}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（　）

A．{an＋2＋an}是等比数列

B．对于k∈N*，k＞1，ak－1＋ak＋1≠2ak

C．对于n∈N*，都有anan＋2＞0

D．若a2＞a1，则对于任意n∈N*，都有an＋1＞an

6、下列命题中，正确的命题的是（　）

A．已知

，则f（x）的最小值是

B．已知数列{an}的通项公式为

，则{an}的最小项为

C．已知实数x，y满足x＋y＝2，则xy的最大值是1

D．已知实数x，y满足xy＝1，则x＋y的最小值是2

7、在数列{an}中，

，anan＋2＝1，则a2018＋a2018＝（　）

A．5　　　　　　　　　　　　　　B．

C．

　　　　　　　　　　　　　　D．

8、函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为

，则直线l：

ax－by＋c＝0的倾斜角为（　）

A．45°　　　　　　　　　　　　　B．60°

C．120°　　　　　　　　　　　　D．135°

9、已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（　）

A．

　　　　　　　　　　　　　B．

C．

　　　　　　　　　　　　D．

10、设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，且

，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（　）

A．

　　　　　　　　　　　　B．

C．

　　　　　　　　　　　　D．

11、如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则

（　）

A．

　　　　　　　　　　　　B．

C．

　　　　　　　　　　　　D．

12、已知曲线

与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是（　）

A．（－∞，－4）∪（4，＋∞）　　B．（－4，4）

C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）　　D．（－3，3）

13、一个几何体的三视图如下图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为1的菱形，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的体积为__________．

14、设0＜x＜1，函数

的最小值为__________．

15、已知实数x，y满足

，则

的取值范围是__________．

16、在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a、b、c、p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC、AB于点E、F，一同学已正确算得OE的方程：

，请你求OF的方程：

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本题满分10分）

已知两条直线l1：

ax－by＋4＝0和l2：

（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：

（1）l1⊥l2，且l1过点（－3，－1）；

（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

18、（本题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．

（1）求B－A的值；

（2）求sinA＋sinC的取值范围．

19、（本题满分12分）

已知：

数列{an}满足

，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项；

（2）设

，求数列{bn}的前n项和Sn．

20、（本题满分12分）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

21、（本题满分12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋（b－1）（a≠0），

（1）当a＝1，b＝－2时，求函数f（x）的不动点；

（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

　　（3）在

（2）的条件下，若y＝f（x）的图象上A，B两点的横坐标是f（x）的不动点，且A，B两点关于直线

对称，求b的最小值．

22、（本题满分12分）

　　如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，BD与AC相交于点E，F为PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：

BD⊥FG；

（2）确定G在AC上的位置，使得FG∥平面PBD，并说明理由；

　　（3）当二面角B—PC—D的大小为

时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

答案与解析：

1、B

解析：

M＝[－1，1]，N＝{0，1，2}，∴M∩N＝{0，1}．

2、B

解析：

A选项，当c＝0时不成立；C选项，当c<0时不成立；D选项，举反例a＝－2，b＝－1；故选B．

3、C

解析：

因为点（－3，－1）在直线3x－2y－a＝0上，所以3×（－3）－2×（－1）－a＝0，解得a＝－7，又点（b，－4）在直线3x－2y＋7＝0上，所以3b＋8＋7＝0，解得b＝－5，所以ab＝35．

4、A

解析：

若平面α⊥平面β，那么两平面内的直线可能平行，异面，相交，故选A．

5、D

解析：

若a2>a1，则a1（q－1）>0，当a1>0时，q>1，此时有an＋1＞an，当a1<0时，有q<1，当q<0时，an＋1＞an不成立，故选D．

6、C

解析：

A选项，∵sin2x∈[0，1]，∴当sin2x＝1时，f（x）有最小值3，错误；

B选项，∵n∈N*，∴当n＝1或2时，an有最小值3，错误；

C选项，xy＝x（2－x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，当x＝1时，xy有最大值1，正确；

D选项，

，无最小值，错误．

7、B

解析：

，∴{an}是周期为4的周期数列，∴

．

8、D

解析：

函数y＝asinx－bcosx在对称轴处取得最值，

所以

均有

，化简得a＝－b，且b≠0．

则直线l的斜率

，倾斜角为135°．

9、C

解析：

连接A1B，则A1B//CD1，所以∠A1BE为异面直线BE与CD1所成的角，设AB＝a，则

，在△A1BE中，根据余弦定理

．

10、D

解析：

根据韦达定理a＋b＝－1，ab＝c，

，

两条直线之间的距离

，故最大值为

，最小值为

．

11、C

解析：

每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故an＝3n－3．

，

12、A

解析：

画出 

的图象，当y＝2x＋m 过点（－2，0）时，m＝4；当 y＝2x＋m 过点（2，0）时，m＝－4；观察知，当m>4或m<－4 时，曲线 

与直线 y＝2x＋m 有两个交点．

13、

14、9

15、[5，6]

16、

17、解：

（1）由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a．

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1．

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0．

又∵l1过点（－3，－1），∴－3a＋4＝0，即

（矛盾）．

∴此种情况不存在，∴k2≠0．

即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，

，l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，即

．①

又∵l1过点（－3，－1），∴－3a＋b＋4＝0．②

由①②联立，解得a＝2，b＝2．（5分）

（2）∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，

k1＝k2，即

．③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即

，④

联立③④，解得

或

∴a＝2，b＝－2或

，b＝2．（10分）

18、

（1）由a＝btanA及正弦定理，得

，∴sinB＝cosA，

即

，（3分）

又B为钝角，因此

，（不写范围的扣1分）

故

，即

；（5分）

（2）由

（1）知，C＝π－（A＋B）＝

，（7分）

，

由此可知sinA＋sinC的取值范围是

．（12分）

19、解：

（1）

，

．（4分）

验证n＝1时也满足上式：

　　（5分）

（2）bn＝n·3n　（6分）

Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n

3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1　　（8分）

－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，

．（12分）

20、解：

设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y．（1分）

由题意，得x，y满足约束条件

作可行域如图所示，（7分）

可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．（9分）

由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，

直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距

最小，即z取得最小值．（11分）

故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．（12分）

21、解：

（1）当a＝1，b＝－2时，函数f（x）的不动点即为3和－1；（2分）

（2）∵函数f（x）恒有两个相异的不动点，∴f（x）－x＝ax2＋bx＋（b－1）＝0恒有两个不等的实根，

△＝b2－4a（b－1）＝b2－4ab＋4a＞0对b∈R恒成立，（4分）

∴（4a）2－16a＜0，得a的取值范围为（0，1）.（6分）

（3）由ax2＋bx＋（b－1）＝0得

，由题知k＝－1，

，（7分）

设A，B中点为E，则E的坐标为

，（9分）

，

当且仅当

，即

时等号成立，∴b的最小值为

．（12分）

22、

（1）

（3分）

（2）G为EC中点，理由如下：

连PE，

．（6分）

（3）过B作BH⊥PC于H，连DH．

即为二面角B—PC—D的平面角

．（8分）

设BC＝x，则

．从而可得PA＝x．（10分）

又PA⊥面ABCD，则∠PCA即为PC与面ABCD所成的角．

，即PC与底面ABCD所成角的正切值为

．（12分）