线性代数期末复习题详解.docx
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线性代数期末复习题详解
线性代数B复习资料（2014）
（一）单项选择题
1．设A，B为n阶方阵，且
，则下列各式中可能不成立的是（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）
（A）A≠O（B）A=O（C）
（D）
3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D）
（A）B为单位矩阵（B）B为零方阵（C）
（D）不一定
4．设A为n×n阶矩阵，如果r（A）（A）A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合
（B）A的各行向量中至少有一个为零向量
（C）A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合
（D）A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例
5．71．已知向量组
线性无关则向量组（C）
（A）
线性无关
（B）
线性无关
（C）
线性无关
（D）
线性无关
6．下列说法不正确的是（A）
（A）如果r个向量
线性无关，则加入k个向量
后，仍然线性无关
（B）如果r个向量
线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关
（C）如果r个向量
线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关
（D）如果r个向量
线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关
7．设n阶方阵A的秩r（A）必有r个行向量线性无关
（B）任意r个行向量均可构成极大无关组
（C）任意r个行向量均线性无关
（D）任一行向量均可由其他r个行向量线性表示
8．设方阵A的行列式
，则A中C
（A）必有一行（列）元素为零
（B）必有两行（列）成比例
（C）必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合
（D）任一行向量是其余行（列）向量的线性组合
9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是（A）
（A）A的列向量线性无关
（B）A的列向量线性相关
（C）A的行向量线性无关
（D）A的行向量线性相关
11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）（A）无穷多组解（B）有唯一解（C）无解（D）不确定
10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（D ）
（A）必有一个等于零（B）一个等于n，一个小于n
（C）都等于n（D）都小于n
12．设向量组
（s>1，
）线性相关，则（C）由
线性表出。
（A）每个
都能（B）每个
都不能
（C）有一个
能（D）某一个
不能
13.设
的第一列的
倍加到第2列得到
B
则：
14.若向量组
线性无关;
线性相关,则（C）
（A）
必可由
线性表示.（B）
必不可由
线性表示
（C）
必可由
线性表示.（D）
必不可由
线性表示.
15．下列命题正确的是（D）
（A）若向量组线性相关,则其任意一部分向量也线性相关
（B）线性相关的向量组中必有零向量
（C）向量组中部分向量线性无关,则整个向量组必线性无关
（D）向量组中部分向量线性相关,则整个向量组必线性相关
16．设向量组
的秩为r，则D
（A）必定r（B）向量组中任意小于r个向量部分组无关
（C）向量组中任意r个向量线性无关
（D）向量组任意r+1个向量线性相关
17．A是m×n矩阵,r（A）=r则A中必（B）
（A）没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零
（B）有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零
（C）有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式
（D）任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零
18．能表成向量
的线性组合的向量是（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
19．已知
则x=（D）时
线性相关。
（A）1（B）2（C）4（D）5
20．向量组
的秩为C
（A）1（B）2（C）3（D）4
21．设A为n阶方阵,且
，则C
（A）A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合
（B）A必有两行（列）对应元素乘比例
（C）A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合
（D）A中至少有一行（列）向量为零向量
22．向量组
线性相关的充要条件是（C）
（A）
中有一零向量
（B）
中任意两个向量的分量成比例
（C）
中有一向量是其余向量的线性组合
（D）
中任意一个向量均是其余向量的线性组合
23．若向量
可由向量组
线性表出,则（C）
（A）存在一组不全为零的数
使等式
成立
（B）存在一组全为零的数
使等式
成立
（C）向量
线性相关
（D）对
的线性表示不唯一
24．对于n元方程组，正确的命题是（D）
（A）如AX=0只有零解,则AX=b有唯一解
（B）AX=0有非零解,则AX=b有无穷解
（C）AX=B有唯一解的充要条件是
（D）如AX=b有两个不同的解,则AX=b有无穷多解
25．设矩阵
的秩为r（A）=m为m阶单位矩阵,下述结论正确的是C
（A）A的任意m个列向量必线性无关
（B）A的任意个m阶子式不等于零
（C）A通过初等变换,必可化为（
0）的形式
（D）若矩阵
满足
则
.
26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）
（A）r=m时,方程组AX=b有解
（B）r=n时,方程组AX=b有唯一解
（C）m=n时,方程组AX=b有唯一解
（D）r27．已知
是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
28．向量组
线性无关，且可由向量组
线性表示，则D
r（
）必（）r（
）
（A）大于等于（B）大于（C）小于（D）小于等于
29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n）T，那么矩阵A的秩为（B）
（A）r（A）=1（B）r（A）=n-1（C）r（A）=n（D）以上都不是
30．设矩阵A=
的秩为2，则
=（D）
A.2B.1C.0D.-1
31．设n维向量组
（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组
（Ⅱ）线性表出,且有r>s,则（D）
（A）（Ⅱ）线性无关（B）（Ⅱ）线性相关（C）（Ⅰ）线性无关（D）（Ⅰ）线性相关
32．设
是n个m维向量，且n>m,则此向量组
必定（A）
（A）线性相关（B）线性无关（C）含有零向量（D）有两个向量相等
33．矩阵A适合条件（D）时，它的秩为r
（A）A中任何r+1列线性相关（B）A中任何r列线性相关
（C）A中有r列线性无关（D）A中线性无关的列向量最多有r个
34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关则A的秩（C）
（A）大于m（B）大于n（C）等于n（D）等于m
35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（A）
（A）≥r（B）＜r（C）=r（D）=r+1
36．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（D）满足即可
（A）A中有r阶子式不等于零
（B）A中任何r+1阶子式等于零
（C）A中不等于零的子式的阶数小于等于r
（D）A中不等于零的子式的最高阶数等于r
37.设m×n阶矩阵A，B的秩分别为
，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
38．R（A）=n是n元线性方程组AX=b有唯一解（C）
（A）充分必要条件（B）充分条件（C）必要条件（D）无关的条件
39．矩阵A=
的特征值为0,2,则3A的特征值为（B）
（A）2,2;（B）0,6;（C）0,0;（D）2,6;
40．A=
，则
的特征值为（B）
（A）2,2;（B）–2,-2;（C）0,0;（D）–4,-4;
41．
是A,B的一个特征值,
是A的关于
的特征向量,则B的关于
的特征向量是（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
42．A满足关系式
，则A的特征值是C
（A）
=2（B）
=－1（C）
=1（D）
=－2是
43．已知－2是A=
的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（D）
（A）2（B）4（C）－2（D）－4
44．已知矩阵A=
有特征值
，则x=（D）
（A）2（B）－4（C）－2（D）4
（提示：
用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）
45．设A为三阶矩阵，已知
，
，
，则
A
（A）6（B）－4（C）－2（D）4
46.设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（D）
（A）E-A（B）E+A（C）2E-A（D）2E+A
（二）计算题与填空题
1．
，则
（）（
）
2．设A是
矩阵,
则
_____2___
3.设
为3阶矩阵，且
则行列式
____（-1/2）
4.
当
时,向量组
线性无关.
5．设
（）时
可被向量组
线性表出。
（-8）
6.
答案：
7.设
则
是否为向量组
的线性组合？
（是）
8．确定
为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.
.
答：
当
时，解为
，其中
为任意非零常数;
当
时，解为
，其中
为任意常数;
方程组不存在唯一解.
9．已知
，矩阵
满足
，其中
是
的伴随矩阵，求矩阵
.
答：
10．求下列矩阵的特征值与特征向量.
（1）
（2）
.
答案：
（1）
，
对应于
的全部特征向量是
，
；
对应于
的全部特征向量是
，
；
对应于
的全部特征向量是
，
.
（2）
对应于
的全部特征向量是
，
为非零常数；
对应于
的全部特征向量为
，
是不同时为零的常数；
11.三阶矩阵
的特征值为
则
的特征值
为（）.
（6;
2,
）
12.设矩阵
有一个特征向量为
，求
及
的三个特征值.
答案：
，
的三个特征值为
.
13．已知向量组
的秩为3，求
及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。
答案：
为一个极大无关组，
14．设向量组
，
（1）
为何值时，
线性相关？
线性无关？
（2）
为何值时，
线性相关？
线性无关？
（3）当
线性相关时，将
表示为
的线性组合.
答案：
（1）
时线性相关，
时线性无关；
（2）
或
时线性相关；
且
且
时线性无关；
（3）当
时，
；当
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