高中数学第一章立体几何初步112简单多面体学案北师大版必修2.docx
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高中数学第一章立体几何初步112简单多面体学案北师大版必修2
1.2 简单多面体
学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征（重点）；2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算（重、难点）.
知识点一 多面体
我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体.
【预习评价】 （正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）多面体至少四个面.（√）
（2）多面体的面都是平的，多面体没有曲面.（√）
知识点二 棱柱的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱.
如图可记作：
棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
底面：
两个互相平行的面.
侧面：
其余各面.
侧棱：
两个侧面的公共边.
顶点：
底面多边形与侧面的公共顶点.
按底面多边形的边数分：
三棱柱、四棱柱、……
【预习评价】
棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
提示 根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.
知识点三 棱锥的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥.
如图可记作，棱锥S－ABCD
底面：
多边形面.
侧面：
有公共顶点的各个三角形面.
侧棱：
相邻侧面的公共边.
顶点：
各侧面的公共顶点.
按底面多边形的边数分：
三棱锥、四棱锥、
……
【预习评价】 （正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）五棱锥共有五个面.（×）
（2）三棱锥也叫四面体.（√）
（3）棱锥的侧棱长都相等.（×）
知识点四 棱台的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台.
如图可记作：
棱台ABCD－A′B′C′D′
上底面：
原棱锥的截面.
下底面：
原棱锥的底面.
侧面：
其余各面.
侧棱：
相邻侧面的公共边.
顶点：
侧面与上（下）底面的公共顶点.
由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
【预习评价】
棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
提示 根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.
题型一 棱柱的结构特征
【例1】 下列说法中，正确的是（ ）
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析 A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.
答案 D
规律方法 棱柱的结构特征：
（1）两个面互相平行；
（2）其余各面都是四边形；
（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.
【训练1】 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体.
（2）由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.
解
（1）这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.
（2）该几何体是六棱柱.
题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案 ①②
规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法：
（1）举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
（2）直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【训练2】 如图，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是（ ）
A.三棱锥B.四棱锥
C.三棱台D.四棱柱
解析 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.
答案 B
【探究1】 画出如图所示的几何体的表面展开图.
解 表面展开图如图所示：
【探究2】 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）.
解 点F，G，H的位置如图所示.
【探究3】 如图所示，已知三棱锥P－ABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC，PB时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？
解 把
三棱锥P－ABC的侧面沿侧棱PA剪开，并展开在平面上，得到平面图形PABCA′，如图所示，则当A，E，D，A′四点共线时，△ADE的周长取得最小值，即线段AA′的长度.
∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，
∴∠APA′＝90°.
又AP＝A′P＝18cm，∴AA′＝18
cm.
则△ADE周长的最小值为18
cm.
【探究4】 长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离（其中P，Q是长方体对角线的两个端点）.
解 将长方体展开，有三种情况（如图）.
d1＝
＝
，
d2＝
＝
，
d3＝
＝
，
因为a>b>c，故dmin＝d1＝
.
规律方法 多面体表面展开图问题的解题策略：
（1）绘制展开图：
绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
（2）已知展开图：
若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
课堂达标
1.下列说法错误的是（ ）
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
答案 D
2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A.棱柱B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定
解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.
答案 A
3.下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中，正确的有（ ）
A.0个B.1个
C.2个D.3个
解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证（如图），故③错.
答案 A
4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫作侧棱.
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，即棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
答案 ①③
5.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以
（1）为五棱柱；
（2）为五棱锥；（3）为三棱台.
课堂小结
1.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.
2.
（1）各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
平行且相等
与底面全等
直棱柱
平行且全等的两个多边形
矩形
平行、相等且垂直于底面
等于侧棱
与底面全等
正棱柱
平行且全等的两个正多边形
全等的矩形
平行、相等且垂直于底面
等于侧棱
与底面全等
棱锥
正棱锥
一个正多边形
全等的等腰三角形
有一个公共顶点且相等
过底面中心
与底面相似
其他棱锥
一个多边形
三角形
有一个公共顶点
与底面相似
棱
台
正棱台
平行且相似的两个正多边形
全等的等腰梯形
相等且延长后交于一点
与底面相似
其他棱台
平行且相似的两个多边形
梯形
延长后交于一点
与底面相似
基础过关
1.一般棱台不具有的性质是（ ）
A.两底面相似B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点
解析 当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.
答案 C
2.下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
解析 对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱，显然题中漏掉了
“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.
答案 C
3.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是（ ）
A.1∶2B.1∶4
C.2∶1D.4∶1
解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.
答案 B
4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.
解析 因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为
＝12cm.
答案 12
5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________.
解析 如图所示，将平面图折成正方体.很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.
答案 90°
6.如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？
如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.
解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱.
截面BCFE左侧部分也是棱柱.
它是四棱柱ABEA′－DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱.
7.如图所示，
有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1，9，9，8，4，5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和.
解 这12个小正方体，共有6×12＝72个面，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为（1＋9＋9＋8＋4＋5）×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.
能力提升
8.如图所示，不是正四面体的展开图的是（ ）
A.①③B.②④
C.③④D.①②
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
答案 C
9.下列命题中，真命题是（ ）
A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥
B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥
D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
解析 对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；
对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；
对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.
答案 D
10.如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.
解析 将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝
＝
.
答案
11.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是________（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是：
①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.
答案 ①③④⑤
12.如图，
在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.
问：
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的三角形面积为多少？
解
（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.
（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3）S△PEF＝
a2，
S△DPF＝S△DPE＝
×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE
＝（2a）2－
a2－a2－a2＝
a2.
13.（选做题）已知正四棱锥V－ABCD如图所示，底面面积为16，侧棱长为2
，求它的高和斜高.
解 如图所示，
设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作VM⊥BC于点M，则M为BC的中点.
连接OB、OM，则VO⊥OM，VO⊥OB.
因为底面正方形ABCD的面积为16，
所以BC＝4，所以BM＝CM＝OM＝2，
所以OB＝
＝
＝2
.
又因为VB＝2
，所以在Rt△VOB中，
VO＝
＝
＝6，
在Rt△VOM（或Rt△VBM）中，
VM＝
＝2
（或VM＝
＝2
）.
即正四棱锥的高为6，斜高为2
.
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