高中数学第一章立体几何初步112简单多面体学案北师大版必修2.docx

1、高中数学第一章立体几何初步112简单多面体学案北师大版必修21.2简单多面体学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点)；2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算(重、难点).知识点一多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)多面体至少四个面.()(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面.()知识点二棱柱的结构特征定义图形及表示相关概念分类两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱

2、.如图可记作：棱柱ABCDEFABCDEF底面：两个互相平行的面.侧面：其余各面.侧棱：两个侧面的公共边.顶点：底面多边形与侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、【预习评价】棱柱的侧面一定是平行四边形吗？提示根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征定义图形及表示相关概念分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥.如图可记作，棱锥SABCD底面：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、【预习评价】(正确的打

3、“”，错误的打“”)(1)五棱锥共有五个面.()(2)三棱锥也叫四面体.()(3)棱锥的侧棱长都相等.()知识点四棱台的结构特征定义图形及表示相关概念分类用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台.如图可记作：棱台ABCDABCD上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台【预习评价】棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？提示根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征【例1】下列说法中，正确的是(

4、)A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图，构造四棱柱ABCDA1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.答案D规律方法棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面都是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.【训练1】根

5、据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体.(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.解(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.(2)该几何体是六棱柱.题型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_.解析正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案规律方法

6、判断棱锥、棱台形状的两个方法：(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【训练2】如图，三棱台ABCABC截去三棱锥AABC后，剩余部分是()A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱台 D.四棱柱解析剩余部分是四棱锥ABBCC.答案B【探究1】画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：【探究2】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).解点F，G，H

7、的位置如图所示.【探究3】如图所示，已知三棱锥PABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30角，侧棱长为18 cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC，PB时的交点，则ADE周长的最小值为多少？解把三棱锥PABC的侧面沿侧棱PA剪开，并展开在平面上，得到平面图形PABCA，如图所示，则当A，E，D，A四点共线时，ADE的周长取得最小值，即线段AA的长度.APBBPCCPA30，APA90.又APAP18 cm，AA18 cm.则ADE周长的最小值为18 cm.【探究4】长方体中，a，b，c为棱长，且abc，求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线的两

8、个端点).解将长方体展开，有三种情况(如图).d1，d2，d3，因为abc，故dmind1.规律方法多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.课堂达标1.下列说法错误的是()A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9

9、个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.答案D2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱 B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.答案A3.下列三个命题：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有()A.0个

10、B.1个 C.2个 D.3个解析中的平面不一定平行于底面，故错；中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故错；用反例验证(如图)，故错.答案A4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是_.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.所有的棱长都相等.棱柱中至少有2个面的形状完全相同.相邻两个面的交线叫作侧棱.解析正确，根据棱柱的定义可知；错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，即棱柱中至少有两个面的形状完全相同；错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.答案5.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱

11、柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1)各种棱柱之间的关系棱柱的分类棱柱常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂

12、直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似基础过关1.一般棱台不具有的性质是()A.两底面相似 B.侧面都是梯形C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.答案C2.下列关于棱柱的说法错误的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面

13、都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.答案C3.若棱台上、下底面的对应边之比为12，则上、下底面的面积之比是()A.12 B.14 C.21 D.41解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.答案B4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和

14、为60 cm，则每条侧棱长为_cm.解析因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为12 cm.答案125.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中ABC_.解析如图所示，将平面图折成正方体.很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则ABC90.答案906.如图所示为长方体ABCDABCD，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义.它是三棱柱BEBCFC，其中BEB和CFC是底面，EF，BC，BC

15、是侧棱.截面BCFE左侧部分也是棱柱.它是四棱柱ABEADCFD.其中四边形ABEA和四边形DCFD是底面，AD，EF，BC，AD为侧棱.7.如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1，9，9，8，4，5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和.解这12个小正方体，共有61272个面，图中看得见的面共有34419个，故图中看不见的面有721953个，12个小正方体各个面的数字的和为(199845)12432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432131301.能力提升8.如图所

16、示，不是正四面体的展开图的是()A. B. C. D.解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.答案C9.下列命题中，真命题是()A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，ABC为正三角形，若PAPBABBCACPC，PAB，P

17、BC，PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.答案D10.如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为_.解析将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1.答案11.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是_(写出所有正确结论的编

18、号).矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.解析在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体或几何图形的4个顶点，这些几何体或几何图形是：矩形，如四边形ACC1A1；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填.答案12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重

19、合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中DEF为等腰三角形，PEF为等腰直角三角形，DPE和DPF均为直角三角形.(3)SPEFa2，SDPFSDPE2aaa2，SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)2a2a2a2a2.13.(选做题)已知正四棱锥VABCD如图所示，底面面积为16，侧棱长为2，求它的高和斜高.解如图所示，设VO为正四棱锥VABCD的高，作VMBC于点M，则M为BC的中点.连接OB、OM，则VOOM，VOOB.因为底面正方形ABCD的面积为16，所以BC4，所以BMCMOM2，所以OB2.又因为VB2，所以在RtVOB中，VO6，在RtVOM(或RtVBM)中，VM2 (或VM2).即正四棱锥的高为6，斜高为2.