重庆市第一中学届高三数学上学期期中试题文2.docx
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重庆市第一中学届高三数学上学期期中试题文2
2020年重庆一中高2020级高三上期半期考试
数学试题卷（文科）
数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净
后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷（选择题，共60分）
、选择题.（本大题共
12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项）
AF
.2J
（非选择题共90分）
15.已知
2
x
F1,F2是椭圆—
a
cosB
b
三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.（本小题满分12分）在ABC中，角代B,C所对的边分别为a,b,c，且cosA
a
（i）证明：
a,c,b成等比数列;
（n）若c3，且J3sin2C2cos2C+1，求ABC的周长.
图图1
求an及bn；
（[）求C1和C2的方程;
OMONOQ（0），求实数的取值范围•
lnx
21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=n
（I）求f（x）的单调区间;
x1
（n）证明：
f（x）-（其中e是自然对数的底数，e2.71828）
e
注意：
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
x3旦
2（t为参数），点A的极坐标为（2、、3,—）,
16yt
2
设直线l与曲线C相交于P,Q两点.
（I）写出曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程;
（n）求APAQOPOQ的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲已知函数f（x）x2x1.
JIJ
（n）记函数f（x）的最大值为m，若a,bc
2020年重庆
中高2020级高三上期半期考试数学参考答案
（文科）
一、选择题：
DABDB
CBACDAC
二、填空题：
13题：
y
x1;14题：
8;
15
题：
36;16题：
3
2
三、解答题
sin（AB）1sinAsinBsinC
abcsinAsinBsinC
2
sinCsinAsinB,
2
（2）由.3sin2C2cos2C1..3sin2Ccos2C2sin（2C）1C,8分
cab,所以a,c,b成等比数列
63
由余弦定理得：
c2a2b22abcosC,9分
又c3，所以abc2910分
于是得：
9（ab）23ab（ab）227ab611分
所以ABC的周长为abc9.12分
两式相减，得:
Sn12（2222n1）（2n1）2n1（2n4）（2n1）2n10分
3（2n3）2n11分
是：
Sn（2n3）2n3（nN*）12分
xmyn22
联立2y8my8n0,因为I与C2相切，故02mn0
y8x
xmyn222
联立22（m2）y2mnyn80,
x2y8
令u（x）
故X（0,1）
（1,）时，u（x）
u
（1）
0,也即f（x）0,
因此，f（x）在（0,1）上单调递减；在（1,）上也单调递减;
x1
1丁，x
（0,1）（1,）
①先证明x（1,
）时的情况：
此时lnx
x21
0令g（x）
x，令g（x）
e
令h（x）exx
32x2x,h（x）e
故h（x）在（1,
），故h（x）h
（1）
于是h（x）h
（1）
e20g（x）
因此，x（1,
）时g（x）g
（1）0,
3x2
x
x（0,1）时的情况（相对更难一点）：
②下面证明
Inx
e2
（2）即证明-x
x
・,g（x）
e
4x1,h（x）
法一：
（切线放缩）
令g（x）
exx1,g（x）ex
（0,1）时g（x）
令h（x）
Inx
x1,h
故x（0,1）时,
h（x）
法二:
x（0,1）时,
令h（x）ex
因h（x）在（0,1）
而h（0）0,h
（1）
x3^2
ex2xx
x
xe
0h（x）在（1,
0g（x）在（1,）,
即lnx0
e
10，故g（x）在[0,1），
x1彳
g（0）0-1,
e
1x
0，故h（x）在（0,1]
x
h
（1）0即Inxx1
lnxJ
e
2x2x,h（x）
0,令g（x）
x2
e3x
而h（0）30,h
（1）e
e20,故必存在唯一的
且h（x1）0即ex13x「4x11，故h（x）
记u（x）x35x23x1,x（0,1）,u（3x
6x40（x1），
10分
2
lnx—
4x
X1
g（x）
证毕;
12分
1,h（x）ex6x
0,故x0
x3^2
ex2xx
x
xe
（0,1）使得h（x）在（0,x°）
（x°,1），
（x。
，1）（0,1）使得h（x）在（0,xj,（%,1）
h（x1）e
x1x132x12
x1
x135x123x11
1
1）（x3），所以u（x）在（0,—）
3
中），
注意u（0）10,u
（1）0，因此x（0,1）时u（x）0，故h（x）0，故g（x）
11
x21
故g（x）在（0,1），因此，x（0,1）时，g（x）g
（1）0lnxx0
e
12分
:
所证
x
x
Inxx1
x
e
汚1x閃（1
（x2
2x
令u（x）
x
1（x2
x
2x
1）lnx,x（0,），则
u（x）
1
2
x丄1
（2x
2
2）lnx,u（x）3
1
2
-32lnx
x
x
x
x
x
2x3
2（x2
x3）
u（x）
4x
，显然u（x）在（0,
）恒正，
故u（x）在（0,）单增
注意到u
（1）
0,于是
u（x）在（0,1）为负，在（1,
）上为正，
1）lnx
也即u（x）在（0,1）上单调递减，在（1,）单调递增
因此x（0,1）（1,）时有u（x）u
（1）0,故u（x）在（0,）上单调递增，
又注意到u
（1）0,于是u（x）在（0,1）为负，在（1,）上为正，
而u（x）与（x）正负一致，因此（x）在（0,1）上单调递减，在（1,）单调递增10分
因此x（0,1）（1,）时，（x）lim（x）
x1
22.
（1）I:
x30，曲线C:
x2y2
ex（-Inx）e
lim—x1（洛必达法则）12分
x12x2
22
4x10,即（x2）y34分
（2）点A的直角坐标为（3,、、3），发现A在直线l上且tA0，直线I的极坐标方程为（R）
6
将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得：
t22'.3t10,根为tp,tQ5分
注意tA0，于是有AP||AQtPtAtQtAtPtQ17分
将直线l的极坐标方程一（R）与曲线C的极坐标方程24cos10联立得：
6
22丽10,根为P,Q，即有OP||OQpq19分
所以，APAQOPOQ110分
3,x1
23.解：
（1）f（x）2x1,1x2，易得f（x）1的解集为x[0,）5分
3,x2
（2）由
（1）知f（x）max3m，于是.a-b..c17分
因为
b
■-a
■ba
、c2b2c2.a
即:
b,c,a1，证毕。
10分
2
—1（a3）的左、右焦点，P为椭圆上一点且满足F1PF2120，则
9
PF1PF2的值为
16.已知函数f（x）满足f
（1）-，且对任意x,yR恒有2f（七严）f（七』）f（x）f（y），则
f（2018）f（2019）
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