上海市宝山区届高三下学期期中教学质量监控二模数学试题.docx

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上海市宝山区届高三下学期期中教学质量监控二模数学试题

宝山区2016-2017学年第二学期期中

高三年级数学学科教学质量监测试卷

（满分150分，时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.若集合

，

，则

．

2.已知复数

满足

（

为虚数单位），则

．

3.函数

的最小正周期是．

4.已知双曲线

（

）的一条渐近线方程为

，则

．

5.若圆柱的侧面展开图是边长为

的正方形，则圆柱的体积为．

6.已知

满足

，则

的最大值是．

7.直线

（

为参数）与曲线

（

为参数）的交点个数是．

8.已知函数

的反函数是

，则

．

9.设多项式

（

）的展开式中

项的

系数为

，则

．

10.　生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为

和

，

每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是

，则

．

11.　设向量

，

，

为曲线

（

）上的一个动点，若点

到直线

的距离大于

恒成立，则实数

的最大值为．

12.设

为

的一个排列，则满足对任意正整数

，且

，都有

成立的不同排列的个数为．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.设

，则“

”是“

且

”的………………………（　　）

（

）充分而不必要条件　（

）必要而不充分条件　

（

）充要条件　（

）既不充分又不必要条件　

14.如图，

为正方体

中

与

的交点，则

在该正方体各

个面上的射影可能是…………………………………………………………………（）

1②③④

（

）①②③④　（

）①③　（

）①④　（

）②④　

15.

如图，在同一平面内，点

位于两平行直线

同侧，且

到

的距离分别为

．点

分别在

上，

，则

的最大值为…………………（）

（

）

　（

）

　（

）

　（

）

16.　若存在

与正数

，使

成立，则称“函数

在

处存

在距离为

的对称点”．设

（

），若对于任意

，总存在正数

，使得“函数

在

处存在距离为

的对称点”，则实数

的取值范围是…（）

　（

）

（

）

　　（

）

　　（

）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

如图，在正方体

中，

分别是线段

的中点．

（1）求异面直线

与

所成角的大小；

（2）求直线

与平面

所成角的大小．

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

　　已知抛物线

（

），其准线方程为

，直线

过点

（

）且与抛物线交于

两点，

为坐标原点．

（1）求抛物线方程，并证明：

的值与直线

倾斜角的大小无关；

（2）若

为抛物线上的动点，记

的最小值为函数

，求

的解析式．

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

　　对于定义域为

的函数

，如果存在区间

（

），同时满足：

①

在

内是单调函数；②当定义域是

时，

的值域也是

．

则称函数

是区间

上的“保值函数”．

（1）求证：

函数

不是定义域

上的“保值函数”；

（2）已知

（

）是区间

上的“保值函数”，求

的取值范围．

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

　　数列

中，已知

对任意

都成立，数列

的前

项和为

．（这里

均为实数）

（1）若

是等差数列，求

的值；

（2）若

，求

；

（3）是否存在实数

，使数列

是公比不为

的等比数列，且任意相邻三项

按某顺序排列后成等差数列？

若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

设

，若存在常数

，使得对任意

，均有

，则称

为有界集合，同时称

为集合

的上界．

（1）设

、

，试判断

、

是否为有界集合，并说明理由；

（2）已知

，记

（

）．若

，

，且

为有界集合，求

的值及

的取值范围；

（3）设

均为正数，将

中的最小数记为

．是否存在正数

，使得

为有界集合

，

均为正数

的上界，若存在，试求

的最小值；若不存在，请说明理由．

　宝山区2016-2017学年第二学期期中高三数学教学质量监测试

参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.解：

（1）方法一：

设正方体棱长为

，以

为原点，直线

，

，

为

，

，

轴，建立空间直角坐

标系，则

，

，

，

，故

，

，

，

，………………………………………………4/

设异面直线

与

所成角的大小为

，向量

与

所成角为

，则

……6/

，……7/

注意到

，故

，即异面直线

与

所成角的大小为

．…………………8/

（2）由

（1）可知，平面

的一个法向量是

，…………………10/

设直线

与平面

所成角的大小是

，向量

与

所成角为

，则

………12/

……13/

又

，

，即直线

与平面

所成角的大小为

．………………14/

方法二：

设正方体棱长为

．

（1）在面

内，作

于

，联结

．因为正方体

，所以

∥

；在面

内，有

∥

，故异面直线

与

所成的角就是

（或其补角）．………………………4/

由已知及作图可知，

为

的中点，于是，在

中，易得

，

，故

，…………………………………………6/

，……………………………………………7/

又

，所以

，从而异面直线

与

所成角的大小为

．…………8/

（2）因为正方体

，所以平面

∥平面

，故直线

与平面

所成角的大小就是直线

与平面

所成角．注意到

平面

，即

平面

，所以

直线

与平面

所成角的大小即为

．　………………………………10/

在

中，易得

，故

　…………………………12/

，　………………………13/

又

，故

，即直线

与平面

所成角的大小为

．　……14/

18.解：

（1）方法一：

由题意，

，所以抛物线的方程为

．…………………2/

当直线

的斜率不存在时，直线

的方程为

，则

，

，

．…………3/

当直线

的斜率

存在时，则

，设

的方程为

，

，

，由

消去

，得

，故

，所以，

．……………5/

综上，

的值与直线

倾斜角的大小无关．…………………………………………6/

方法二：

由题意，

，所以抛物线的方程为

．………………………………2/

依题意，可设直线

的方程为

（

），

，

，由

得

，

故

，所以，

…………5/

综上，

的值与直线

倾斜角的大小无关．…………………………6/

（2）设

，则

，

，……………8/

注意到

，所以，

若

，即

，则当

时，

取得最小值，即

；………10/

若

，即有

，则当

时，

取得最小值，即

；………12/

综上所述，

…………………………………………………14/

19.解：

（1）函数

在

时的值域为

，…………………………4/

不满足“保值函数”的定义，因此函数

不是定义域

上的“保值函数”．………………………6/

（2）因

在

内是单调增函数，故

，……………………8/

这说明

是方程

的两个不相等的实根，……………………………………10/

其等价于方程

有两个不相等的实根，……………………………11/

由

解得

或

．………………………………………13/

故

的取值范围为

．………………………………………………14/

20.解：

（1）若

是等差数列，则对任意

，有

，……………………2/

即

，…………………………………………………………………………3/

故

．……………………………………………………………………………………………4/

（2）当

时，

，即

，

，

故

．…………………………………………5/

所以，当

是偶数时，

；………………………7/

当

是奇数时，

，

．………………9/

综上，

（

）．　……………………………………………10/

（3）若

是等比数列，则公比

，由题意

，故

，

，

．……11/

1若

为等差中项，则

，即

，解得

（舍去）；……12/

2若

为等差中项，则

，即

，因

，故解得，

，

；………………………………………14/

3若

为等差中项，则

，即

，

因为

，解得

．………………………………………………………15/

综上，存在实数

满足题意，

．…………………………………………………………………16/

21.解：

（1）对于

，由

得

，解得

，…………………………………………2/

为有界集合；…………………………………………3/

显然

不是有界集合．………………………4/

（2）记

，则

．

若

，则

，

，即

，且

，从而

．

（ⅰ）当

时，

，所以

，从而

为有界集合．……………………5/

（ⅱ）当

时，由

，

，显然，此时

，利用数学归纳法可得

，故

为有界集合．……………………………………………………………………………6/

（ⅲ）当

时，

，

，即

，由累加法得

，故

不是有界集合．因此，当

，且

时，

为有界集合；当

，且

时，

不是有界集合；

若

，则

，即

，又

（

），

即

（

）．于是，对任意

，均有

，即

（

），再由累加法得

，故

不是有界集合．………8/

综上，当

，且

时，

为有界集合；当

，且

时，

不是有界集合；

当

（

）时，

不是有界集合．

故，满足题设的实数

的值为

，且实数

的取值范围是

．………………10/

（3）存在．………………………………………………………………………11/

　　不妨设

．

若

，则

，且

．故

，

即

；…………13/

若

，则

，即

，又

，故

，又

，

即

，因此，

是有界集合

的一个上界．……………………………………15/

　　下证：

上界

不可能出现．

假设正数

出现，取

，

，则

，此时，

（*）…17/

由式（*）可得

，与

是

的