人教版初中数学九年级上册期中测试题学年吉林省长春市.docx

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人教版初中数学九年级上册期中测试题学年吉林省长春市

2019-2020学年吉林省长春市名校调研（省命题A）

九年级（上）期中数学试题

一、选择题（每小题2分，共12分）

1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2分）若把方程x2﹣4x﹣1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是（　　）

A．5B．2C．﹣2D．﹣5

3．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

4．（2分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位，得到的新抛物线顶点坐标是（　　）

A．（4，1）B．（0，1）C．（2，3）D．（2，﹣1）

5．（2分）如图所示，在Rt△ABC中∠A＝25°，∠ACB＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于一点D，交AC于点E，则∠DCE的度数为（　　）

A．30°B．25°C．40°D．50°

6．（2分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是

上的点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（　　）

A．105°B．115°C．125°D．85°

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为　　．

8．（3分）如图，将此图案绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小为　　度．

9．（3分）二次函数y＝﹣

+1的最大值是　　．

10．（3分）二次函数y＝x2﹣2mx+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是　　．

11．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝112°，则∠AOB＝　　度．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为　　．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径．点C、D、E在⊙O上，且点C、D与点E在AB的异侧，连接BC、DC、DE、AE．若∠C＝100°，则∠AED＝　　度．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+2与y轴的交点为A，将该抛物线绕着点A旋转180°后得到的抛物线所对应的函数解析式为　　．

三、解答题（每小题5分，共20分）

15．（5分）解方程：

3x2﹣x﹣1＝0．

16．（5分）求抛物线y＝x2﹣3x﹣1与直线y＝2的交点坐标．

17．（5分）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长．

18．（5分）如图，在矩形ABCD中．AD＝3．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转．得到矩形AEFG．点B的对应点E落在CD上．且∠DAG＝60°．若EC＝

，求AB的长．

四、解答题（每小题7分，共28分）

19．（7分）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点．图中各点均在格点上．仅用无刻度的直尺完成如下作图，保留作图痕迹．

（1）在图①中画△A'B'C'，使A'B'C与△ABC关于点O成中心对称．点A、B的对应点分别是点A'、B'；

（2）在图②中画出一个以点A、B、C、D为顶点的四边形．并使其是中心对称图形，且点D在格点上．

20．（7分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣3）和点B（2，3）．

（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点M（x1，y1）、N（x2，y2）在这条抛物线上，当1＜x2＜x1时，比较y1与y2的大小．

21．（7分）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为a（m），求步道的宽．

22．（7分）如图．以△ABC的一边AB为直径的半圆O与其他两边AC、BC的交点分别为点D、E．且

＝

．

（1）求证：

AB＝AC；

（2）连接BD，若半圆O的半径为5，BC＝12，则BD的长为　　．

五、解答题（每小题8分，共16分）

23．（8分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．

（1）求水柱所在抛物线的函数解析式：

（2）求水管AB的长，

24．（8分）已知点C在⊙O上．AC＝

AB，点P与点C位于直径AB的异侧（点P不与A．B两点重合），连接BP．过点C作直线PB的垂线CD，交直线PB于点D．连接CP．

（1）如图①，求∠CPD的度数；

（2）如图②，当CP⊥AB，AC＝2时，求△BPC的周长．

六、解答题（每小题10分，共20分）

25．（10分）如图①，在Rt△ABC中．∠ABC＝90°．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC．连接AD、BE．并延长BE交AD于点F．

（1）求证：

∠DEF＝∠ABF；

（2）求证：

AF＝DF；

（3）当EC⊥BC时，如图②，若AC＝5，BC＝3．求EF的长．

26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ的长为d．

（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）求d与m之间的函数关系式；

（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：

2时，求m的值；

（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．

2019-2020学年吉林省长春市名校调研（省命题A）九年级（上）期中数学试题

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题2分，共12分）

1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：

B．

【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是掌握轴对称和中心对称图形的概念．

2．（2分）若把方程x2﹣4x﹣1＝0化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是（　　）

A．5B．2C．﹣2D．﹣5

【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．

【解答】解：

∵x2﹣4x﹣1＝0，

∴x2﹣4x＝1，

∴x2﹣4x+4＝5，

∴（x﹣2）2＝5，

∴n＝5，

故选：

A．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

3．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠DCE＝80°，AC＝CE，由等腰三角形的性质可求∠CAE的度数．

【解答】解：

∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．

∴∠ACB＝∠DCE＝80°，AC＝CE，

∴∠CAE＝50°

故选：

C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．

4．（2分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移2个单位，得到的新抛物线顶点坐标是（　　）

A．（4，1）B．（0，1）C．（2，3）D．（2，﹣1）

【分析】首先根据二次函数解析式写出顶点坐标，再利用平移的特点写出新的抛物线的顶点坐标．

【解答】解：

∵二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+1，

∴顶点坐标（2，1）

向左平移2个单位，得到的点是（0，1），

故选：

B．

【点评】此题主要考查的是函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．

5．（2分）如图所示，在Rt△ABC中∠A＝25°，∠ACB＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于一点D，交AC于点E，则∠DCE的度数为（　　）

A．30°B．25°C．40°D．50°

【分析】求出∠BCD即可解决问题．

【解答】解：

∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，

∴∠B＝90°﹣25°＝65°，

∵CB＝CD，

∴∠B＝∠CDB＝65°，

∴∠BCD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，

∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，

故选：

C．

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

6．（2分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是

上的点．若∠BOC＝50°，则∠D的度数（　　）

A．105°B．115°C．125°D．85°

【分析】连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝

∠BOC＝25°，然后计算∠ADB+∠CDB即可．

【解答】解：

连接BD，如图，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠BDC＝

∠BOC＝

×50°＝25°，

∴∠ADC＝90°+25°＝115°．

故选：

B．

【点评】本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为　（2，﹣5）　．

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

【解答】解：

点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5），

故答案为：

（2，﹣5）．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

8．（3分）如图，将此图案绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小为　120　度．

【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．

【解答】解：

该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，

故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为120°．

故答案为：

120．

【点评】本题考查旋转对称图形的概念：

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

9．（3分）二次函数y＝﹣

+1的最大值是　1　．

【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（0，1），由k＝﹣3＜0，即可得出函数有最大值1．

【解答】解：

∵y＝﹣

+1，

∴此函数的顶点坐标是（0，1），

∵k＝﹣3＜0，

∴函数有最大值1．

故答案为1．

【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．

10．（3分）二次函数y＝x2﹣2mx+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是　m≥1　．

【分析】可求二次函数的对称轴，由于抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，然后根据对称轴和“在x≤1时y随x增大而减小”做出判断，得出答案．

【解答】解：

二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝m，

∵a＝1＞0，

∴在对称轴的左侧（即当x≤m），y随x的增大而减小，

又∵在x≤1时y随x增大而减小，

∴m的取值范围为m≥1．

故答案为：

m≥1．

【点评】考查二次函数的图象和性质、一元一次不等式等知识，掌握二次函数的性质，特别增减性是解决问题的关键，

11．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝112°，则∠AOB＝　136　度．

【分析】作

对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠ADB＝68°，然后根据圆周角定理可得到出∠AOB的度数．

【解答】解：

作

对的圆周角∠ADB，如图，

∵∠ACB+∠ADB＝180°，

∴∠ADB＝180°﹣112°＝68°，

∴∠AOB＝2∠ADB＝2×68°＝136°．

故答案为：

136．

【点评】本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为　（1，2）　．

【分析】对应顶点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．

【解答】解：

连接AA′，CC′，线段AA′，CC′的垂直平分线的交点即为旋转中心．P（1，2），

故答案为（1，2）．

【点评】本题考查坐标与图形的变化，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径．点C、D、E在⊙O上，且点C、D与点E在AB的异侧，连接BC、DC、DE、AE．若∠C＝100°，则∠AED＝　10　度．

【分析】连接BE，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．

【解答】解：

连接BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵∠C＝100°，

∴∠BED＝180°﹣100°＝80°，

∴∠AED＝∠AEB﹣∠BED＝10°，

故答案为：

10．

【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据直径所对的圆周角是90°和平行线的性质解答．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+2与y轴的交点为A，将该抛物线绕着点A旋转180°后得到的抛物线所对应的函数解析式为　y＝x2+2x+2　．

【分析】求出旋转前的函数图象的顶点坐标，再求出旋转后的图象的顶点坐标，然后利用顶点式函数解析式写出即可．

【解答】解：

∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，

∴顶点坐标为（1，3），

当x＝0时，y＝2，

∴与y轴的交点A坐标为（0，2），

∴旋转180°后的对应顶点的坐标为（﹣1，1），

∴旋转后的抛物线解析式为y＝（x+1）2+1＝x2+2x+2，

即y＝x2+2x+2；

故答案为y＝x2+2x+2．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，利用点的变化确定函数图象的变化是解题的关键．

三、解答题（每小题5分，共20分）

15．（5分）解方程：

3x2﹣x﹣1＝0．

【分析】利用求根公式x＝

进行解答即可．

【解答】解：

3x2﹣x﹣1＝0，

∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1

∴△＝b2﹣4ac＝13，

则x＝

，

解得x1＝

，x2＝

．

【点评】本题考查了公式法解一元二次方程．熟记求根公式即可解答该题．

16．（5分）求抛物线y＝x2﹣3x﹣1与直线y＝2的交点坐标．

【分析】函数图象的交点坐标对应的是两个函数解析式联立成方程组的解．

【解答】解：

联立y＝x2﹣3x﹣1和y＝2，可得x2﹣3x﹣1＝2，

化简可得x2﹣3x﹣3＝0

解方程，得x1＝3+

，x2＝3﹣

，

故抛物线y＝x2﹣3x﹣1与直线y＝2交点的坐标为（3+

，2），（3﹣

，2）．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象交点的意义和求法．

17．（5分）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长．

【分析】连接OC，由垂径定理得出OD⊥BC，BD＝CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．

【解答】解：

连接OC，如图所示．

∵点E是

的中点，

∴∠BOE＝∠COE，OD⊥BC，BD＝DC．

∵BC＝6，

∴BD＝3．

设⊙O的半径为r，则OB＝OE＝r．

∵DE＝1，

∴OD＝r﹣1．

∵OD⊥BC即∠BDO＝90°，

∴OB2＝BD2+OD2．

∵OB＝r，OD＝r﹣1，BD＝3，

∴r2＝32+（r﹣1）2．

解得：

r＝5．

∴OD＝4．

∵AO＝BO，BD＝CD，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD＝

AC．

∴AC＝8．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键．

18．（5分）如图，在矩形ABCD中．AD＝3．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转．得到矩形AEFG．点B的对应点E落在CD上．且∠DAG＝60°．若EC＝

，求AB的长．

【分析】根据旋转的性质和矩形的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转．得到矩形AEFG，

∴AB＝AE，∠GAE＝∠BAD＝90°，

∵∠DAG＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴AD＝

AE，

∵AD＝3，

∴AE＝2

，

∴AB＝AE＝2

．

【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

四、解答题（每小题7分，共28分）

19．（7分）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点．图中各点均在格点上．仅用无刻度的直尺完成如下作图，保留作图痕迹．

（1）在图①中画△A'B'C'，使A'B'C与△ABC关于点O成中心对称．点A、B的对应点分别是点A'、B'；

（2）在图②中画出一个以点A、B、C、D为顶点的四边形．并使其是中心对称图形，且点D在格点上．

【分析】

（1）如图①，利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B的对应点A'、B'即可；

（2）如图②，画以AB为对角线的矩形即可．

【解答】解：

（1）如图①，△A'B'C'为所作；

（2）如图②，四边形ACBD为所作．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：

根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

20．（7分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣3）和点B（2，3）．

（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点M（x1，y1）、N（x2，y2）在这条抛物线上，当1＜x2＜x1时，比较y1与y2的大小．

【分析】

（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出b、c，即可得出答案；

（2）根据二次函数的性质得出即可．

【解答】解：

（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式y＝﹣2x2+bx+c得：

，

解得：

b＝4，c＝3，

所以这条抛物线所对应的函数解析式是y＝﹣2x2+4x+3；

（2）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，

即抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，抛物线的开口向下，当x＞1时，y随x的增大而减小，

∵点M（x1，y1）、N（x2，y2）在这条抛物线上，1＜x2＜x1，

∴y1＜y2．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．

21．（7分）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为a（m），求步道的宽．

【分析】根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答．

【解答】解：

由题意，得：

100a+80a﹣a2＝（7a）2

化简，得a2＝3.6a．

∵a＞0．

∴a＝3.6．

答：

步道的宽为3.6m．

【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

22．（7分）如图．以△ABC的一边AB为直径的半圆O与其他两边AC、BC的交点分别为点D、E．且

＝

．

（1）求证：

AB＝AC；

（2）连接BD，若半圆O的半径为5，BC＝12，则BD的长为　

　．

【分析】

（1）结论：

△ABC为等腰三角形．证明∠C＝∠ABC即可解决问题．

（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法解决问题即可．

【解答】

（1）证明：

连结AE，如图，

∵

＝

，

∴∠BAE＝∠CAE，即AE平分∠BAC，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，

∴∠C＝∠ABC，

∴AC＝AB．

（2）解：

连接BD．

∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE＝CE＝

BC＝

×12＝6，

在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，

∴AE＝

＝

＝8，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴

AE•BC＝

BD•AC，

∴BD＝

＝

，

故答案为

．

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

五、解答题（每小题8分，共16分）

23．（8分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．

（1）求水柱所在抛物线的函数解析式：

（2）求水管AB的长，

【分析】

（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（3，0）代入求得a值；

（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．

【解答】解：

（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．

由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，

则设抛物线的解析式为：

y＝a（x﹣1）2+3，

代入（3，0）求得：

a＝﹣

（x﹣1）2+3．

将a值代入得到抛物线的解析式为：

y＝﹣

（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；

（2）令x＝0，则y＝

＝2.25．

故水管AB的长为2.25m．

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

24．（8分）已知点C在⊙O上．AC＝

AB，点P与点C位于直径AB的异侧（点P不与A．B两点重合），连接BP．过点C作直线PB的垂线CD，交直线PB于点D．连接CP．

（1）如图①，求∠CPD的度数；

（2）如图②，当CP⊥AB，AC＝2时，求△BPC的周长．

【分析】

（1）根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论；

（2）由

（1）知∠P＝∠A＝60°，推出△PBC是等边三角