届高中数学苏教版理科 空间几何体的三视图表面积和体积 单元测试 Word版 含答案.docx

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届高中数学苏教版理科空间几何体的三视图表面积和体积单元测试Word版含答案

专题五　立体几何

第1讲　空间几何体的三视图、表面积和体积

（限时:

45分钟）

【选题明细表】

知识点、方法

题号

空间几何体的三视图

1,3,5,11

空间几何体的表面积和体积

2,6,7,10,12,13,14

与球有关的问题

4,8,9

一、选择题

1.（2017·安徽亳州二中模拟）如图,网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面直角三角形的个数是（　C　）

（A）2（B）3（C）4（D）5

解析:

由三视图可知,该几何体为四棱锥P

ABCD,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,底面ABCD是正方形.有4个直角三角形（除了底面正方形）.故选C.

2.（2017·宁夏中卫二模）已知某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为（　B　）

（A）

（B）2（C）

（D）

解析:

根据三视图可知,该几何体是三棱柱截取一部分所得.如图,几何体的体积为三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥C-A1B1C1的体积,即V=S△ABC×BB1-

×S△ABC×BB1=2,故选B.

3.（2016·济南模拟）如图,多面体ABCD

EGF的底面ABCD为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如图所示,则其正视图和侧视图正确的是（　D　）

解析:

正视图的轮廓线是矩形DCFG,点E在平面DCFG上的投影为DG的中点,且边界BE,BG可视,故正视图为选项B或D中的正视图,侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE,且边界BF不可视,故侧视图为选项D中的侧视图,故选D.

4.（2017·河南平顶山一模）高为5,底面边长为4

的正三棱柱形容器（下有底）内,可放置最大球的半径是（　B　）

（A）

（B）2

（C）

（D）

解析:

由题意知,正三棱柱形容器内有一个球,其最大半径为r,

r即为底面正三角形内切圆的半径,

因为底面边长为4

所以r=2.故选B.

5.（2017·内蒙古鄂尔多斯一中模拟）某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则新工件的棱长为（　B　）

（A）

（B）1

（C）2（D）2-

解析:

依题意知该工件为圆锥,底面半径为

高为2,

要使加工成的正方体新工件体积最大,则该正方体为圆锥的内接正方体,设棱长为2x,则有

=

解得x=

故2x=1,即新工件棱长为1.

故选B.

6.（2017·安徽合肥六中模拟）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为（　B　）

（A）

（B）

（C）

（D）

解析:

几何体为三棱锥P-OBD,其中P,B,D为正方体的顶点,O为正方形ABCD的中心,正方体的棱长为4,

所以

=

S△OBD·PA=

×

×4×2×4=

.

故选B.

7.（2017·吉林白山二模）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于（　C　）

（A）

（B）2（C）

（D）3

解析:

由三视图可知,该几何体是一个底面是直角梯形的直四棱柱,其体积V=

×（2+3）×1×1=

故选C.

8.（2017·江西赣中南五校联考）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为

AB=2,AC=1,

∠BAC=60°,则此球的表面积是（　C　）

（A）2π（B）4π（C）8π（D）10π

解析:

由题意得

×2×1×sin60°×AA1=

所以AA1=2,

又BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=4+1-2=3,所以BC=

所以△ABC为直角三角形.

将三棱柱补成长方体,外接球的半径为

所以球的表面积等

于4π×（

）2=8π.

故选C.

9.（2017·山西临汾二模）已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上,且AB=BC=AC=2

DA=DB=DC=2,过AD作相互垂直的平面α,β,若平面α,β截球O所得截面分别为圆M,N,则（　A　）

（A）MN的长度是定值

（B）MN长度的最小值是2

（C）圆M面积的最小值是2π

（D）圆M,N的面积和是定值8π

解析:

因为AB=BC=AC=2

DA=DB=DC=2,

所以DA,DB,DC两两互相垂直,

M,N分别是AB,AC的中点,MN=

BC=

故选A.

10.（2017·辽宁沈阳三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）,平面ABCD为矩形,棱EF∥AB.若此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为（　B　）

（A）8

（B）8+8

（C）6

+2

（D）8+6

+2

解析:

过F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,OP,

过F作FQ⊥AB,垂足为Q,连接OQ.

因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,

所以OP=

（AB-EF）=1,PF=

OQ=

BC=1,

所以OF=

=

FQ=

=

所以S梯形EFBA=S梯形EFCD=

×（2+4）×

=3

又S△BCF=S△ADE=

×22=

S矩形ABCD=4×2=8,

所以几何体的表面积S=3

×2+

×2+8=8+8

.

故选B.

二、填空题

11.（2017·山西祁县模拟）如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E为线段A1B1的中点,点F,G分别是线段A1D与BC1上的动点,当三棱锥E-FGC的俯视图的面积最大时,该三棱锥的正视图的面积是　　　　. 

解析:

因为E在底面ABCD上的投影为AB中点E′,C′在底面ABCD上的投影为C点,F的投影在边AD上,G的投影在边BC上,如图1:

要使三棱锥E-FGC的俯视图的面积最大,则F与D重合,G与B重合.

此时三棱锥E-FGC的正视图为等腰三角形EAB如图2,底边长为2,底边上的高为2.

所以面积S=

×2×2=2.

答案:

2

12.（2017·山东卷）由一个长方体和两个

圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为　　　　. 

解析:

该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1,高为1的四分之一圆柱体构成,

所以V=2×1×1+2×

×π×12×1=2+

.

答案:

2+

13.（2017·山西太原五中二模）鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为　　　　.（容器壁的厚度忽略不计） 

解析:

由题意,该球形容器的半径的最小值为

=

所以该球形容器的表面积的最小值为4π·

=41π.

答案:

41π

14.（2017·宁夏中卫市二模）在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,∠C=45°,AB=AD=1,沿对角线BD折成四面体A′

BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′

BCD顶点在同一球面上,则该球的表面积为　　　　. 

解析:

设H为梯形对角线的交点,O为DC中点,依题意有AH=OH=

四面体A′-BCD中,平面A′BD⊥平面BCD,所以A′H⊥平面BCD,

所以A′O=

=1,

又因为OD=OC=OB=1,所以O为四面体A′-BCD外接球的球心,故半径R=1.

则该球的表面积为4πR2=4π,

答案:

4π