竞赛数学试题二次函数典型题目.docx
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竞赛数学试题二次函数典型题目
高中数学试题：
二次函数典型题目
班级姓名
1．求满足下列条件的二次函数的解析式：
（1）图象经过A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）;
（2）图象经过A（-1,0）、B（3,0）,函数有最小值-8;（3）图象顶点坐标是（-1,9）,与x轴两交点间的距离是6.解:
（1）设解析式为y=ax2+bx+c,把A（-1,3）、B（1,3）、C（2,6）各点代入上式得
解得
∴解析式为y=x2+2.
（2）解法1:
由A（-1,0）、B（3,0）得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为（1,-8）.
设解析式为y=a（x-h）2+k,即y=a（x-1）2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a（-2）2-8,∴a=2.
即解析式为y=2（x-1）2-8,即y=2x2-4x-6.
解法2:
设解析式为y=a（x+1）（x-3）,确定顶点为（1,-8）同上,
把x=1,y=-8代入上式得-8=a（1+1）（1-3）.解得a=2,∴解析式为y=2x2-4x-6.
解法3:
∵图象过A（-1,0）,B（3,0）两点,可设解析式为:
y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴
=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为y=2（x+1）（x-3）=2x2-4x-6.
（3）解:
由顶点坐标（-1,9）可知抛物线对称轴方程是x=-1,
又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A（-4,0）,B（2,0）,
设y=a（x-x1）·（x-x2）,将A（-4,0）,B（2,0）代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.
2．已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k,
（1）求证:
此抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（2）设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点P（m1,n1）、Q（m2,n2）是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值.
分析:
（1）欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.
（2）①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即（m1-m2）（m1+m2+1）=0可求得m1+m2=-1.
解:
（1）证明:
△=（2k+1）2-4（-k2+k）=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.
∵8k2+1>0,即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（2）①由题意得x1+x2=-（2k+1）,x1·x2=-k2+k.
∵x12+x22=-2k2+2k+1,∴（x1+x2）2-2x1x2=-2k2+2k+1,
即（2k+1）2-2（-k2+k）=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.
∴8k2=0,∴k=0,∴抛物线的解析式是y=x2+x.
②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,∴n1=n2.
又n1=m12+m1,n2=m22+m2.∴m12+m1=m22+m2,即（m1-m2）（m1+m2+1）=0.
∵P、Q是抛物上不同的点,∴m1≠m2,即m1-m2≠0.∴m1+m2+1=0，即m1+m2=-1.
3.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?
若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：
（1）设抛物线的解析式
， ∴
．∴
．
∴
． 其顶点M的坐标是
．
（2）设线段BM所在的直线的解析式为
，点N的坐标为N（t，h），
∴
．解得
，
．
∴线段BM所在的直线的解析式为
．
∴
，其中
．∴
．
∴s与t间的函数关系式是
，自变量t的取值范围是
．
（3）存在符合条件的点P，且坐标是
，
．
设点P的坐标为P
，则
．
，
．
分以下几种情况讨论：
i）若∠PAC＝90°，则
．∴
解得：
，
（舍去）． ∴点
．
ii）若∠PCA＝90°，则
．∴
解得：
（舍去）．∴点
．
iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，
，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），
以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E
，F
．
图a图b
4.如图，直线
分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．
解：
（1）连结EC交x轴于点N（如图）．
∵A、B是直线
分别与x轴、y轴的交点．∴A（3，0），B
．
又∠COD＝∠CBO． ∴∠CBO＝∠ABC．∴C是
的中点． ∴EC⊥OA．
∴
．
连结OE．∴
． ∴
．∴C点的坐标为（
）．
（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为
．
∵C（
）． ∴
．∴
．∴
为所求．
（3）∵
， ∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．
由
（1）知∠OBD＝∠ABD．∴
．
∴OD＝OB·tan30°－1．∴DA＝2．
∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．
∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．
∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即 PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．
5.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝
，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.
解:
（1）Ａ（x1，0）,B（x2，0）.则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根.
∵x1＋x2＝m,x1·x2=m－2＜0即m＜2;
又AB＝∣x1—x2∣＝
∴m2－4m＋3=0.
解得：
m=1或m=3（舍去）,∴m的值为1.
（2）M（a，b），则N（－a，－b）.
∵M、N是抛物线上的两点,
∴
①＋②得：
－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.∴
.
这时M、N到y轴的距离均为
又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2×
×（2－m）×
=27.
∴解得m=－7.
6．（2005年大连）甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时）
0
5
10
15
20
25
…
刹车距离y（米）
0
2
6
…
（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。
事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数
，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。
分析：
利用收集的数据，通过描点可以看出y与x的关系图象近似于二次函数图象，因此取三点求出二次函数的解析式，再利用解析式解决实际问题。
本题涉及的题目并不难，关键是读懂题目，理解每个点所表示的含义。
解：
（1）如图，画图正确。
设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c。
∵图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6），∴c＝0。
∴
解得
∴函数的解析式为
（2）∵y＝12，∴
＝12，解得x1＝30，x2＝－40（不符合题意，舍去）又∵y乙＝10.5，∴
，x＝42。
因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，所以，就速度方面原因，乙车超速，导致两车相撞。
归纳：
1．本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点的二次函数解析式及利用函数值求自变量取值的应用问题。
2．对于这类开放性综合性问题，要求同学们撇开现象看本质，将其转化、抽象成为数学问题，也就是建构数学模型的过程。
练习
1.（2005年重庆）如图,五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形,AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米．
（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求
与
的函数关系式，并求当
为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？
（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？
并说明理由．
2．（2005年丽水）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；
（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）
参考答案：
1解：
（１）延长MP交AF于点H，则△BHP为等腰直角三角形．
BH＝PH＝130－x
DM＝HF＝10－BH＝10－（130－x）＝x－120
则 y＝PM·EM＝x·[100-（x-120）]＝－
＋220x
由 0≤PH≤10
得 120≤x≤130 因为抛物线y＝－
＋220x的对称轴为x＝110，开口向下．
所以，在120≤x≤130内，当x＝120时，y＝－
＋220x取得最大值．
其最大值为 y＝12000（㎡）
（２）设有a户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置
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