勾股定理教学设计.docx

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勾股定理教学设计

《14．1勾股定理》教学设计（第1课时）

一、内容和内容解析

1．内容

勾股定理的探究、证明及简单应用．

2．内容解析

勾股定理的内容是：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明．

本节课是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，通过2002年国际数学家大会的会徽图案，引入勾股定理，进而探索直角三角形三边的数量关系，并应用它解决问题。

学好本节不仅为下节勾股定理的逆定理打下良好基础，而且为今后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切地联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要的地位。

教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心．基于以上分析，确定本节课的教学重点：

探索并证明勾股定理．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）经历勾股定理的探究过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．

（2）能用勾股定理解决一些简单问题．

2．目标解析

（1）学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．

（2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．

三、教学问题诊断分析

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积．因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理．

本节课的教学难点是：

勾股定理的探究和证明．

四、教学支持条件分析

通过学案设计的图形、准备的教具等，引导学生自主探究、小组讨论等获得勾股定理的生成从而突破教学难点。

在观察图形是结合多媒体、学案两者结合，让学生自己动手来完成任务。

使用多媒体辅助教学提高课堂效率。

五、教学过程设计

1．创设情境复习引入

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．右图就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？

它由哪些我们学过的基本图形组成？

为什么用这个图案呢?

到底它蕴含了什么奥妙呢？

这节课我们就要揭开它的神秘面纱。

2．观察思考，探究定理

问题1

师生活动学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：

小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．

追问由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？

师生活动教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：

等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三

问题2

在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C师生活动学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系．

追问正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？

师生活动学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法．可求得C的面积，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法．

问题3通过前面的探究活动，思考：

直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动教师引导学生表述：

如果直角三角形的三边长分别为a,b,c,则又有什么关系呢？

学生总结得出a2+b2=c2

【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的．

【活动】做一做：

师生共同概括：

分别以3厘米，4厘米为直角边做一个直角三角形，并测量斜边的长度，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。

【设计意图】（培养学生的动手能力，加深学生对数学严密性了解）

由此可以得到，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有

a2+b2=c2

这种关系我们就称为勾股定理。

外国人称它为“毕达哥拉斯定理”

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

【设计意图】从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论．培养学生应用数学语言的能力。

问题4历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理．

师生活动现在就让我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！

教师展示“弦图”，并介绍：

这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：

四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形（黄实）．

S正方形=c2

S正方形=2ab+（a+b）2

从而c2=2ab+（a-b）2

即c2=a2+b2

教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．

【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．学会用面积恒等变形法证明一些几何问题。

通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心．

证明勾股定理的方法好几百种，以下是其中两种。

如图所示：

大家讨论一下应该怎样证明？

【设计意图】让学生进一步学会用面积恒等变形法证明一些几何问题

3．初步应用，巩固新知

练习1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则AB=　　　　; 

师生活动学生操作，教师个别指导．

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题．

练习2在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=17,AC=8,则BC=　　　　; 

师生活动学生计算，教师检验．

【设计意图】让全体学生感受勾股定理的数形结合思想,并复习平方根和算数平方根的定义．通过对勾股定理理解，可以得出已知直角三角形两边求第三边。

应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．

练习3在Rt△ABC中,∠C=90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是　　　　; 

师生活动学生观察、思考、计算，教师检验．

【设计意图】设计易错问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．

4．归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）勾股定理具体表达是什么数量关系？

（2）勾股定理有什么作用？

（3）阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．

【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信。

5．布置作业

（1）教科书第111页第1,2题；

（2）通过互联网收集定理的多种证法．自主探究定理的证明．

五、目标检测设计

1.在Rt△ABC中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,求AC.

解:

由勾股定理,可得AB2+BC2=AC2

所以AC===10.

2.如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC长为6cm,求AC的长.

解:

由已知AB=（AC-2）cm,BC=6cm,根据勾股定理,可得AB2+BC2=（AC-2）2+62=AC2.

解得AC=10（cm）.

【设计意图】考察学生动手能力，自我解决问题能力。

学会自己画图，真正学会利用勾股定理建立方程，解决问题

《直角三角形三边的关系》课例点评

这节课从整体上看，知识脉络条理清晰，课堂程序循序渐进，符合学生认知规律。

在知识的探究过程中，能很好的启发和引领学生，学生参与状态积极。

整节课学习兴趣浓厚，师生合作效果明显，目标达成和评价反馈比较及时，是一节很成功的授课。

我们教研组全体成员一致认为这节课有以下几个亮点值得肯定：

第一，导课趣味性强，激发了学生的求知欲望。

第二，吃透了教材，变“教书”为用“书教”。

第三，宋老师本人数学素养比较高，能把枯燥的数学知识生动有趣的传授给学生，充分把学生的求知欲望激发出来，让每个学生参与到课堂中来。

第四、特别注重知识的生成过程，能遵循学生的认知规律。

从特殊直角三角形到一般直角三角形。

通过观察、计算到证明，让学生真正地了解到勾股定理的生成过程。

第五，教学方法手段灵活多样。

比如让学生观察，动手拼图，计算，小组讨论，个人展示，全班分享等。

值得注意的地方，语言需要更精确。

老师思想可以更解放一点，让不同程度的学生都能参与进来。