立体几何大题专练学生版.docx

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立体几何大题专练学生版

立体几何中的高考热点问题

[命题解读]　立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题．客观题主要考查空间概念，点、线、面位置关系的判定、三视图．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证能力．考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出了转化化归思想与数形结合的思想方法．

知识点一（空间点、线、面间的位置关系）

【知识梳理】

空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．

【例题精讲】

例1.如图1所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

图1

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥EABC的体积．

[规律方法]　1.

（1）证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．

（2）证明C1F∥平面ABE：

①利用判定定理，关键是在平面ABE中找（作）出直线EG，且满足C1F∥EG.②利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行、面面平行的转化．

2．计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时，注意进行体积的转化．

【课堂练习】

1.（天津联考）如图2，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD＝BC＝

AB＝1，点P为CE的中点．

图2

（1）求证：

AB⊥DE；

（2）求DE与平面ABCD所成角的大小；

（3）求三棱锥DABP的体积．

知识点二（平面图形折叠成空间几何体）

【知识梳理】

将平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查点、线、面间的位置关系及有关几何量的计算是近年高考的热点，考查学生的空间想象能力、知识迁移能力和转化思想．试题以解答题为主要呈现形式，中档难度．

【例题精讲】

例1.（全国卷Ⅱ）如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝

.

图3

（1）证明：

D′H⊥平面ABCD；

（2）求二面角BD′AC的正弦值．

【课堂练习】

1.（西安调研）如图4①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝

，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图4②.

图4

（1）证明：

CD⊥平面A1OC;

（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

知识点三（立体几何中的探索开放问题）

【知识梳理】

此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行与垂直位置关系的探索或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式：

（1）根据条件作出判断，再进一步论证；

（2）利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在．

【例题精讲】

例1.（北京高考）如图5，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝

.

图5

（1）求证：

PD⊥平面PAB；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？

若存在，求

的值；若不存在，说明理由．

[规律方法]　1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．

2．对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．

【课堂练习】

1.如图6，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．

图6

（1）求证：

DE∥平面BPC；

（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？

若存在，试求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，请说明理由．

1．如图9所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：

图9

（1）DE∥平面ABC；

（2）B1F⊥平面AEF.

2．如图10，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.

图10

（1）求证：

EG⊥DF；

（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值.

3．如图11，直角三角形ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，AB＝2，E为线段BC上一点，且BE＝

BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．

图11

（1）求证：

BD⊥PE；

（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角CPBD的余弦值．

4．在如图12所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的—条母线.

图12

（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（2）已知EF＝FB＝

AC＝2

，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值．

5．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是线段AB，BC的中点．

图13

（1）求证：

PF⊥FD；

（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；

（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角APDF的余弦值．

6．（全国卷Ⅰ）如图14，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

图14

（1）证明：

平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．