高考理科数学江苏卷含答案与解析.docx

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高考理科数学江苏卷含答案与解析

_

__

生 __

考 __3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数

__

_ _

_ _

_ _

_ _4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为.

_ _

_ _

名 __

姓 _

_

_

__

__

__

_题

校

学

-------------

绝

在

--------------------

本试卷共 160 分.考试时长 120 分钟.

参考公式：

此

一、填空题：

本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

1.已知集合 A = {0,1,2,8}, B = {-1,1,6,8} ,那么 A B =       .

2.若复

的平均数为       .

--------------------

--------------------

x2  y 2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

渐近线的距离为 3 .

9.函数 f （ x） 满足 f （ x + 4） = f （ x）（ x ∈ R） ,且在区间 （-2,2] 上,

⎧

则 f （ f （15）） 的值为       .

1

⎪⎩ 2

10.如图所示,正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为       .

11.若函数 f （ x） = 2 x3 - ax2 + 1（a ∈ R） 在 （0, +∞） 内有且只有一个零点 ,则 f （ x） 在 [-1,1]

上的最大值与最小值的和为       .

12.在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l :

 y = 2x 上在第一象限内的点 ,点 B（5,0） ,以

AB 为 直 径 的 圆 C 与 直 线 l 交 于 另 一 点 D . 若 AB CD = 0 , 则 点 A 的 横 坐 标

为       .

13.在 △ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , ∠ABC = 120 , ∠ABC 的平分

线交 AC 于点 D ,且 BD = 1 ,则 4a + c 的最小值为       .

14.已知集合 A = {x x = 2n - 1,n ∈ N*} , B = {x x = 2n , n ∈ N*} .将 A B 的所有元素从小

业

毕

5.函数 f （ x ） = log x - 1 的定义域为       .

2

6.某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选中 2 名

无 女生的概率为       .

--------------------

π

π

2 < ϕ < 2 ） 的 图 象 关 于 直 线 x =

3 对称 , 则 ϕ 的值

到大依次排列构成一个数列 {a } ,记 S 为数列 {a } 的前 n 项和,则使得 S ＞12a

n n n n n+1

立的 n 的最小值为       .

成

是.

效

数学试卷 第 1 页（共 26 页）

数学试卷 第 2 页（共 26 页）

二、解答题：

本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.（本小题满分 14 分）

在平行六面体 ABCD - A B C D 中, AA = AB , AB ⊥ B C .

11111111

求证：

（Ⅰ） AB ∥ 平面 A B C ；

11

16.（本小题满分 14 分）

已知 α , β 为锐角, tanα =

（Ⅰ）求 cos2 α 的值；

（Ⅱ）求 tan（α - β ） 的值.

4

3

5

5

（Ⅱ）平面 ABB A ⊥ 平面 A BC .

111

数学试卷第 3 页（共 26 页）数学试卷第 4 页（共 26 页）

_

__

__（Ⅰ）用θ 分别表示矩形 ABCD 和 △CDP的面积,并确定 sin θ 的取值范围；

_此

号

生 __

考 __

_

__ _

__

_ _

_ _

_

__

_

_

_

校

学

业

毕

-------------.（本小题满分 14 分）

----------------

在 点）和线段 MN 构成,已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在

--------------------农田上修建两个温室大棚 ,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD ,大棚Ⅱ内的地块

_ 成的角为θ .

-------------------- ）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面

卷

--------------------

_ 上

--------------------

_ --------------------

题

--------------------

18.（本小题满分 16 分）

1

圆 O 的直径为 F F .

1 2

（Ⅰ）求椭圆 C 及圆 O 的方程；

（Ⅱ）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P .

①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标；

②直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点.若 △OAB的面积为 2 6

1 2

无

--------------------

数学试卷第 5 页（共 26 页）

数学试卷 第 6 页（共 26 页）

效

19.（本小题满分 16 分）

记 f '（ x） , g '（ x） 分 别 为 函 数 f （ x） , g （ x） 的 导 函 数 . 若 存 在 x ∈ R , 满 足

0

f （ x ） = g （ x ） 且 f '（ x ） = g '（ x ） ,则称 x 为函数 f （ x） 与 g （ x） 的一个“ S 点”.

00000

20.（本小题满分 16 分）

设 {a } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列, {b } 是首项 b ,公比为 q 的等比数列.

n 1 n 1

（Ⅰ）设 a = 0 , b = 1 , q = 2 若 | a - b | ≤b 对 n = 1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范围；

1 1 n n 1

（Ⅰ）证明：

函数 f （ x） = x 与 g （ x） = x2 + 2x - 2 不存在“ S 点”；

11nn1

（Ⅱ）若函数 f （ x） = ax2 - 1 与 g （ x） = ln x 存在“ S 点”,求实数 a 的值；n = 2,3,…,m + 1均成立,并求 d 的取值范围（用 b , m , q 表示）.

1

（Ⅲ）已知函数 f （ x） = - x2 + a , g （ x） =

bex

数 f （ x） 与 g （ x） 在区间 （0, +∞） 内存在“ S 点”,并说明理由.

数学试卷第 7 页（共 26 页）数学试卷第 8 页（共 26 页）

-------------

数学Ⅱ（附加题）

----------------C.[选修 4—4：

坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）

在π

--------------------

．．．．．．．．．．．

的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

_此的直径, P 为 AB 延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,若 PC = 2 3 ,

_--------------------

__求 BC 的长.

__

__

_

生 _卷

考 _--------------------

_

_ _

_ _

__

_上

_ _--------------------

_ _

_ _

_

_

__--------------------选修 4—2：

矩阵与变换]（本小题满分 10 分）

__

__

校（Ⅱ）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（31） 求点 P 的坐标。

业

毕

A.[选修 4—1：

几何证明选讲]（本小题满分 10 分）如图,圆 O 的半径为 2, AB 为圆 O

（I）求 A 的逆矩阵 A-1 ；

D.[选修 4-5：

不等式选讲]（本小题满分 10 分）

若 x，y，z 为实数,且 x + 2 y + 2z = 6 ,求 x2 + y2 + z 2 的最小值.

无

--------------------

数学试卷第 9 页（共 26 页）

数学试卷 第 10 页（共 26 页）

效

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

22.（本小题满分 10 分）如图,在正三棱柱 ABC - A B C 中, AB = AA = 2 ,点 P，Q 分别

1111

为 A B , BC 的中点.

11

（I）求异面直线 BP 与 AC 所成角的余弦值；

1

（Ⅱ）求直线 CC ,与平面 AQC 所成角的正弦值.

11

23.（本小题满分 10 分）

设 n ∈ N*,对 1,2,…, n 的一个排列 i i i ,如果当 s < t 时,有 i > i ,则称（i ，i ）是

1 2 n s t s t

排列 i i i 的一个逆序 ,排列 i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数 .例如：

对

1 2 n 1 2 n

n

为1,2,  ,n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数。

（I）求 f 

（2）, f 

（2） 的值；

3 4

（Ⅱ）求 f

（2）n ≥ 5） 的表达式（用 n 表示）。

n

数学试卷第 11 页（共 26 页）数学试卷第 12 页（共 26 页）

江苏省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案解析

一、填空题

1.【答案】{1,8}

【解析】观察两个集合即可求解。

【考点】集合的交集运算

2.【答案】2

【解析】 i （a + bi） = ai + bi2 = ai - b = 1 + 2i ，故 a = 2,b = -1, z = 2 - i .

【考点】复数的运算

3.【答案】90

【解析】 89 + 89 + 90 + 91 + 91

【考点】茎叶图，数据的平均数

4.【答案】8

⎧ I = 1

【解析】代入程序前 ⎨

⎩

6.【答案】 3

10

【解析】假设 3 名女生为 a, b, c ，男生为 d , e ，恰好选中 2 名女生的情况有：

选 a 和 b ，a

和 c ， b 和 c 三种。

总情况有 a 和 b ， a 和 c ， a 和 d ， a 和 e ， b 和 c ， b 和 d ， b 和 e ， c 和 d ， c 和 e ，

d 和 e 这10 种，两者相比即为答案 3

10

【考点】古典概型

7.【答案】：

 - π

6

π

2 +kπ

2π π π

3 代入得 3 + ϕ = 2 + kπ ,ϕ = - 6 + kπ

π π

2 < ϕ < 2 ，所以 k = 0,ϕ = - 6 .

【考点】正弦函数的图像和性质

8.【答案】2

⎧ I = 3

第一次代入后 ⎨

⎩S = 2

，符合 I < 6 ，继续代入；

【解析】由题意画图可知，渐近线 y = b

⎧ I = 5

第二次代入后 ⎨

⎩ S = 4

⎧ I = 7

第三次代入后 ⎨

⎩ S = 8

故最后输出 S 的值为 8 .

c

a a = 2 .

【考点】双曲线的几何性质

9.【答案】 2

2

【解析】因为 f （ x + 4） = f （ x） ，函数的周期为 4 ，

所以 f （15） = f （-1）, f （-1） = -1 + 1

1

2

【考点】伪代码

5.【答案】 [2, +∞）

⎛ 1 ⎫    π   2

⎝ 2 ⎭ 4 = 2 .

【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解

10.【答案】 4

3

【解析】平面 ABCD 将多面体分成了两个以 2 为底面边长，高为1的正四棱锥，

1

3    3 .

2

⎩x > 0

，解之得 x≥2 ，即 [2, +∞） .

【考点】函数的定义域，对数函数

数学试卷第 13 页（共 26 页）

数学试卷 第 14 页（共 26 页）

【考点】空间几何体的结构，体积的计算

11.【答案】 -3

【解析】 f （ x） = 2x3 - ax2 + 1 ⇒ a = 2x + 1

x2

令 g （ x） = 2x + 1 , g ' （ x） = 2 - 2 > 0 ⇒ 2x3 - 3x2 + 1

x2x3

在 （0,1） 上单调递减，在 （1,+∞） 上单调递增

∵有唯一零点∴ a = g 

（1）= 2 + 1 = 3 ⇒ f （ x） = 2x3 - 3x2 + 1

求导可知在 [-1,1]上， f （ x）= f （-1） = -4, f （ x）= f （0） = 1

minmax

∴ f （ x）+ f （ x）= -3

minmax

【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用

12.【答案】3

【解析】∵ AB为直径∴ AD ⊥ BD

∴ BD即 B 到直线 l 的距离。

BD = 0 - 2 ⨯ 5

∵ CD = AC = BC = r ，又 CD ⊥ AB

∴ AB = 2BC = 2 10

设 A（a,2 a）

AB = （a - 5）2 + 4a2 = 2 10 ⇒ a = 1或 3 （舍去）.

【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系

13.【答案】9

11

22 a sin60 ︒ + 2 c sin60 ︒

化简得 a + c = ac ⇒ c =a

1

a - 1 + 1 = 4（a - 1） + （a - 1） + 5

≥2 4（a - -1） ⋅1

3

a - 1 ，即 a = 2 , c = 3 时取等号。

【考点】三点共线，基本不等式的应用

14.【答案】27

【解析】 B = {2,4,8,16,32,64,128 ⋅⋅⋅} 与 A相比，元素间隔大。

所以从S 中加了几个 B 中

n

元素考虑。

1个：

 n = 1 + 1 = 2, S = 3,12a = 24

23

2 个：

 n = 2 + 2 = 4, S = 10,12a = 60

45

3 个：

 n = 4 + 3 = 7, S = 30,12a = 108

78

4 个：

 n = 8 + 4 = 12, S = 94,12a = 204

1213

数学试卷第 15 页（共 26 页）

5 个：

 n = 16 + 5 = 21,S = 318,12a = 396

21 22

6 个：

 n = 32 + 6 = 38, S = 1150,12a = 780

38 39

发现 21≤n≤38 时 S = 12a

n

S = 687,12a = 612 ，所以所求 n 应在 22 ~ 29之间.

30 31

S = 462,12a = 492 ，所以所求 n 应在 25 ~ 29 之间.

25 26

S = 546,12a = 540 ，所以所求 n 应在 25 ~ 27 之间.

27 28

a = 503,12a = 516.

26 27

∵ S > 12a ，而 a < 12a ，所以答案为 27 .

27 28 26 27

【考点】等差数列，等比数列

二、解答题

15.【答案】（Ⅰ）∵平行六面体 ABCD - A B C D

1 1 1 1

∴面 ABCD / / 面 A B C D

1 1 1 1

∵ AB ⊂ 面 ABCD

∴ AB / / 面 A B C D

1 1 1 1

又面 ABA B 面 A B C D = A B

1 1 1 1 1 1 1 1

且 AB ⊂ 面 ABA B

1 1

∴ AB / / A B

1 1

又 A B ⊂ 面 A B C, AB ⊄ 面 A B C

1 1 1 1 1 1

∴ AB / / 面 A B C

1 1

（Ⅱ）由1 可知：

 BC / / B C

1 1

∵ AB ⊥ B C

1 1 1

∴ AB ⊥ BC

1

∵平行六面体 ABCD - A B C D

1 1 1 1

∴ AB = A B

1 1

又由1得 AB / / A B

1 1

∴四边形 ABB A 为平行四边形

1 1

∵ AA = AB

1 1

∴平行四边形 ABB A 为菱形

1 1

∴ AB ⊥ A B

1 1

又 A B  BC = C

1

∴ AB ⊥ 面 A BC

1 1

∵ AB ⊂ 面 ABB A

1 1 1

∴面 ABB A ⊥ 面 A BC

1 1 1

【考点】空间直线与平面平行、垂直的正面

16.【答案】（Ⅰ）方法一：

sin α 4

3 ∴ cosα = 3

又 sin 2 α + cos2 α = 1

数学试卷 第 16 页（共 26 页）

9

25 ,cos 2 α = 25

∴ cos2α = cos2 α - sin2 α = - 7

25

- 7

⎛ 7 ⎫ =-

⎝ 25 ⎭

2

11

方法二：

cos2α = cos2 α + sin 2 α

1 - tan2 α

cos2 α + sin 2 α = 1 + tan2 α

⎛ 4 ⎫2

=⎝ 3 ⎭ =- 7

25

⎝ 3 ⎭

（Ⅱ）方法一：

ππ24

25 ,α 为锐角 ⇒ 4 < α < 2 ⇒ sin 2α > 0 ⇒ sin 2α = 25

π

5 ,α , β 均为锐角， 2 < α + β < π

∴ sin（α + β ） = 2 5

5

∴ cos（α - β ） = cos（2α - （α + β ）） = cos2α cos（α - β ） + sin 2α sin（α + β ） = 11 5

25

∴ sin（α - β ） = sin（2α - （α + β ）） = sin 2α cos（α + β ） - cos2α sin（α + β ） = - 2 5

25

2

cos（α - β ） =- 11

方法二：

∵ α 为锐角 cos2α = - 7

∴ sin 2α = 1 - cos2 2α = 24

25

∴ tan 2α = - 24

7

【考点】同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换

17.【答案】（Ⅰ）过 N 作 MN 垂直于交圆弧 MPN 于，设 PO 交 CD 于 H

BC = 40sinθ + 10, AB = 2 ⨯ 40cosθ = 80cosθ , PH = 40 - 40sin θ

S

1           1

∆CDP

当 C 点落在劣弧 MN 上时， AB > MN ，与题意矛盾。

所以点 C 只能落在劣弧上.

1

4

（Ⅱ）设甲种蔬菜年产值为 4k （k > 0） ，则乙种蔬菜年产值为 3k ，设总年产值为 y

则 y = 4k S = 8000（sinθ cos θ + cos θ）

△CDP

设 f （θ ） = sinθ cosθ + cosθ , f '（θ ） = cos2 θ - sin2 θ - sinθ = -2sin 2 θ - sinθ + 1

1    ⎛ π ⎫

0 0

⎪ ⎪

⎝

f '（θ ）       +         0         -

f （θ ）    单调递增   极大值   单调递减

单调递增   极大值   单调递减

答：

当 θ = π

【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用

x2

18.【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）① （ 2,1） ② y = - 5x + 3 2

∵ α , β 为锐角∴ α + β ∈ （0,π ） 又∵ cos（α + β ） = -5

5

∴ sin（α + β ） = 2 5

5

∴ tan（α + β ） = -2

∴ tan（α - β ） = tan（2α - （α + β ）） = tan 2α - tan（α + β ）

1 + tan 2α tan（α + β ）

⎧     c2 = a2 - b2 = 3

⎪

⎛ 1 ⎫

2

解得 a2 = 4 ， b2 = 1

即椭圆标准方程为 x2

（Ⅱ）设 P（m, n） ，则 m2 + n2 = 3

2

= 1

数学试卷第 17 页（共 26 页）

数学试卷 第 18 页（共 26 页）

显然 l 斜率存在，设， l :

 y = kx + p, k = n

OP

m

n + p

3

n = n

3

n x + n 与椭圆方程联立

得 （4 m 2 + n2 ） y 2 - -6ny + 9 - 4m 2 = 0

①与椭圆相切，则 ∆ = 0 ，即 36n2 - 4（4 m 2 + n2 ）（9 - 4 - 4m 2 ） = 0

⎧m2 = 0⎧m2 = 2

将 m2 + n2 = 3 代入，解得 ⎨

由于 P 在第一象限，则 m =2 ， n = 1

即 P（ 2,1）

②设 l 与轴交点为 M

33⎛ 3⎫

n x + n 中令 y = 0 ，得 x = n ，即 M = ç n ,0 ⎪

假设 A 的纵坐标大于 B 的纵坐标

1 3

OAB = 

OAM - 

OBM = 2 m | yA - yB |

而 | y - y |= （y + y ）2 - 4 y y

ABABAB

6n9 - 4m2

y + y =

ABAB

⎛6n⎫24（9 - 4m2 ）2 6

⎪

将 m2 + n2 = 3 代入

16

2 6

2mm2 + 1= 7

1

2

由于 P 在第一象限，则 m =10

2

3

n x + n ，得 l :

 - 5 x + 3 2

【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置

关系

19.【答案】（Ⅰ） f '（ x） = 1 ， g '（ x） = 2 x + 2

数学试卷第 19 页（共 26 页）

⎧⎪ x 2 + 2x - 2 = x …

（1）

0

⎪  1 = 2x0 +2…

（2）

1

根据 2 得到 x = - 代入 1 不符合，因此不存在

0

（Ⅱ） f '（ x） = 2ax ， g '（ x） = 1

x

⎧ax - 1 = ln x …

（1）

0

根据题意有 ⎨ 1       且有 x > 0

0

0

1 e

根据 2 得到 x =

0 2

（Ⅲ） f '（ x） = -2 x ， g '（ x） = bex （ x - 1）

x2