三角形截长补短证明全等专题辅导与练习.docx

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三角形截长补短证明全等专题辅导与练习

全等三角形提优训练

一．倍长“中线”问题

例1.如图，已知点D是BC边上的一点，CD=AB，

∠ADB=∠BAD，AE是△ABD中线，试说明AC=2AE

练习1.已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE

猜想AB与CD数量关系，并说明理由.

练习2．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上

的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：

AF＝EF．

二．形变质“不变”问题

例2.

（1）如图，在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点F，

求∠AFE的大小.

（2）在等边△ABC中，分别延长CB和AC，在CB和AC的

延长线上分别取点D和点E，使得BD＝CE，AD与BE所在直线

相交于点F，问第

（1）题的结论是否仍然成立？

并说明理由.

（2）在等边△ABC中，分别延长BC和CA，在BC和CA的

延长线上分别取点D和点E，使得BD＝CE，AD与BE所在直线

相交于点F，问第

（1）题的结论是否仍然成立？

并说明理由.

练习.如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E为OC上一点，AG⊥BE于点G，直线AG交直线BD于点F．

（1）试问线段OE、OF存在什么关系？

写出你的结论并证明.

（2）若E为OC延长线上一点，其它条件不变，

（1）中的结论是否仍然成立？

画图并证明你的结论．

三．动中求“定”问题

例3.如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？

证明你的结论．

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，点E在边AB

上，且BE=BC，过点E作EF//AC，交CD于F点，连接BF．

（1）若BC=10,BD=6，线段EF的长；

（2）求证：

∠CBF=45°-

∠DCB.

2.（10分）如图，在正方形

中，

是正方形一点，

是正方形外一点，且

（1）求证：

；

（2）试判断

的形状，并证明你的结论；

（3）当

时，求

的值.

24．如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G，DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.

（1）若DG=2，求DH的长；

（2）求证：

BH+DH=

CH.

24.如图,

中,AD为BC边中线，作

交AD延长线于点E,过点

作

∥

交AD于点F.

（1）

求证:

（2）若AD=DE+2BD,

求证：

1.如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使

得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF.

（1）求证：

AB=CE；

（2）求证：

BF+EF=

FD

（第1题图）（第2题图）

2.如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．

（1）若BC=

，求△BDE的周长；

（2）求证：

NE－ME=CM．

（第3题图）（第4题图）

3、如图正方形ABCD的边长为6, 点E在边AB上，连接ED过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F, 连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．

（1）若BD＝BF，求BE的长；

（2）若∠2＝2∠1,求证：

HF＝HE＋HD．

4、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.

在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC

（1）求证：

BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.

求证：

①ME⊥BC；②DE=DN.

5、在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE的延长线于点F，连接DF，过点

D作DG⊥DF交AE于点G．

（1）求证：

△AGD≌△CFD；

（2）若E为CD的中点，求证：

CF+EF=GE．

6、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。

（1）若DE＝10，求线段AB的长；

（2）求证：

DE－HG＝EG。

（第5题图）（第6题图）

一、选择题

1．下列三角形不一定全等的是（）

A．有两个角和一条边对应相等的三角形B．有两条边和一个角对应相等的三角形

C．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形D．三条边对应相等的两个三角形

2．下列说法：

①所有的等边三角形都全等②斜边相等的直角三角形全等③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等

④有两个锐角相等的直角三角形全等其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC=AD，则下列结论错误的是（）

A.BC=BDB.CE=DEC.BA平分∠CBDD.图中有两对全等三角形

4.AD是△ABC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下

列结论中错误的是（）

A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF

5.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC中与这个

角对应的角是（）．

A．∠AB．∠BC．∠CD．∠B或∠C

6.如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=（）．

A．25°B．27°C．30°D．45°

7.如右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分

∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，且AB＝10cm，则△BED的周长为（）

A．5cmB．10cm;C．15cmD．20cm

8．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论有（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E

作EF∥AC交AB于F，则（）

A、AF=2BF;B、AF=BF;C、AF>BF;D、AF

二、填空题

1.如果△ABC≌△A’B’C’，若AB＝A’B’，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠A’＝°

2.如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DC=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________。

3.如图，△ABC中，E、F分别是AC、AB边上的点，连结BE、CF，若AB=AC，添加条件___________后，△ABE≌△ACF（请填写一个适合的条件即可）

11.如图，已知∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，AC=10，DC=6，则D点到BC的距离是__________．

三、解答题

1.如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC。

（1）若点D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD；

（2）若点D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？

试说明你的猜想。

2．已知：

如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

3．如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．

4.如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2.

求DE的长。

5．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，

可以得到BD平分EF，为什么？

若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为如图所示时，其余

条件不变，上述结论是否成立？

请说明理由．

6.如图，OE=OF，OC=OD，CF与DE交于点A，求证：

①∠E=∠F；②AC=AD。

7.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线

BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

（1）求证：

BG=CF;

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

8.已知：

如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

（1）求证：

∠ABE=∠C；

（2）若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

10.如图

（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？

请说明理由。

若过O点的直线旋转至图

（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图中的∠1与∠2的关系成立吗？

请说明理由。

11.

15.

一、选择题（每题３分，共１８分）

1．下列命题①同旁角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角.它们的逆命题是真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2．命题“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的结论是（）

（A）在这条线段的垂直平分线上（B）线段的垂直平分线上有个点

（C）这点在这条线段的垂直平分线上（D）这点在垂直平分线上

3．下列命题中，真命题是（）

A.相等的角是直角　B.不相交的两条线段平行　

C.两直线平行，同位角互补　D.经过两点有具只有一条直线

.4。

命题：

①对顶角相等；②平面垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

5．只用无刻度的直尺就能作出的图形是（　　　）

A.延长线段AB至C，使BC＝AB　　　　　B.过直线L上一点A作L的垂线

C.作已知角的平分线　　　　　　　　　　D.从点O再经过点P作射线OP

6．用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A.SAS　　　B.ASA　　C.AAS　　D.SSS

23．如图，直线

过正方形ABCD的顶点

，点

到

直线

的距离分别是1和2，则正方形的边长为.

24．如图，等边△ABC，B点在坐标原点，

C点的坐标为（6，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．

五、解答题（共24分）

25．如图，在□

中，

分别是边

和

上的点.

请你补充一个条件，使

，并给予证明.（９分）

26．“太湖明珠”要建特大城市,有人建议（

）、

江阴（

）、宜兴（

）三市共建一个国际机场，使飞

机场到江阴、宜兴两城市距离相等，且到市的距离

最近.请你设计机场的位置（要保留作图痕迹哦！

）.（８分）

27.

的三边分别为a,b,c且a=

b=2mn,c=

（m>n,m,n是正整数），

是直角三角形吗？

说明理由。

（８分）

28．如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E、F分别是AD、BC的中点.

（1）G点一定是AB的中点吗？

说明理由；

（2）钉这两块木条的作用是什么？

（９分）

六、实践与探究．在

中，

，

，直线

经过点

，且

于

，

于

.

（1）当直线

绕点

旋转到图1的位置时，求证：

①

≌

；②

；

（2）当直线

绕点

旋转到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（１３分）