线性代数必考知识点归纳.docx

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线性代数必考知识点归纳

线性代数必考的知识点

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!

项，可分解为2n行列式;

2.代数余子式的性质：

①、Aij和aSj的大小无关；

2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3.代数余子式和余子式的关系：

Mij=（_1）「jAjAj二（-1）「jMj

4.设n行列式D:

n（n_1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则Dt=（-1）^D；

n（n」）

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2=（-1）FD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3二D；

5.

行列式的重要公式：

主对角行列式：

主对角元素的乘积;

④、

副对角行列式：

畐U对角元素的乘积

上、下三角行列式（|）

匚和丄：

副对角元素的乘积

n（n

（-厂；

:

主对角元素的乘积;

n（n丄）

（-1厂；

A

O

——

A

C

=a||b|、

C

A=O

A

C

B

O

B

B

OB

C

=（-1）mnAIb

拉普拉斯展开式:

范德蒙行列式：

大指标减小指标的连乘积;特征值；

n

6.对于n阶行列式A，恒有：

■E-A=，n…'二（-1）kSk■n*，其中Sk为k阶主子式;

k±

7.证明A=0的方法：

1、A—A;

2、反证法；

3、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解；

4、利用秩，证明r（A）:

:

n;

5、证明0是其特征值;

2、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

=r（A）=n（是满秩矩阵）

二A的行（列）向量组线性无关；

二齐次方程组Ax二0有非零解；

~bRn,Ax=b总有唯一解;

=A与E等价；

二A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

二A的特征值全不为0；

ata是正定矩阵；

二A的行（列）向量组是Rn的一组基；

二A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.对于n阶矩阵A:

AA*二A*A=AE无条件恒成立；

1**11TT1*TT*

3.（A-）=（A）1（A-）=（A）-（A）=（A）

111

（AB）二BA（AB）二BA（AB）~=B-A-

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

久、

若A=A2.，则：

［、

n、

②、

③、

④、

⑤、

A

0

0

B

A

0

A

C

A5」

-AiA2l|IAs;

（主对角分块）

AocB

二1

oA-AO

（副对角分块）

—A七B丄

（拉普拉斯）

丄器］（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

（Ex0】

1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

F=；

2o扁

等价类：

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r（A）二r但）二ALB；

2.行最简形矩阵：

1、只能通过初等行变换获得；

2、每行首个非0元素必须为1；

3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3.初等行变换的应用：

（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

r

1、若（A,E）（E,X），则A可逆，且X=A丄；

c

2、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A°B，即：

（AB）、（E,A，B）；

r

3、求解线形方程组：

对于n个未知数n个方程Ax=b，如果（A,b［|（E,x），则A可逆，且x=A°b；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：

左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

5.

6.

③、对调两行或两列,

④、倍乘某行或某列，

⑤、倍加某行或某列，

矩阵秩的基本性质:

①、

②、

⑤、

⑥、

⑦、

符号

符号

符号

r1、

A

r1'

，且E（i,j）-=E（i,j），例如：

1

=

1

1

E（i,j）

1彳

「11

E（i（k）），且E（i（k））-二E（i（—）），例如:

k

E（ij（k）），且e（ij（k））匕二E（ij（—k））,如:

>气一1

1ki

‘1-k、

1

=

1

I1丿

<1」

1

1

（k=0）;

0_r（Amn）_min（m,n）

r（At）=r（A）；

若ALB，则r（A）=r（B）；

若P、Q可逆，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）;（可逆矩阵不影响矩阵的秩

max（r（A）,r（B））_r（A,B）_r（A）r（B）；（^）

r（A-B）_r（A）r（B）;（探）

r（AB）_min（r（A）,r（B））;（探）

如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB=0」U:

（探）

B的列向量全部是齐次方程组AX=0解（转置运算后的结论）；

n、r（A）-r（B）_n

若A、B均为n阶方阵，则r（AB）_r（A）r（B）-n;

三种特殊矩阵的方幕：

①、秩为1的矩阵：

一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）彳a

01

少0

的形式，再采用结合律;

②、型如

二项展开式:

c

b的矩阵：

利用二项展开式;

（a+b）nYan+C；af1

incmanjnb^|lC：

」a1b

n

丄cnbn八；

m-0

注：

I、（ab）n展开后有n1项;

nmn（n—1）1111）1（n—m+1）

n、Cn

12左

n!

m!

（n_m）!

0n

Cn二Cn

=1

川、组合的性质：

cnm=cr

mm

Cn1一Cn

■cm"

rC；=nC；j；

③、利用特征值和相似对角化:

伴随矩阵：

ln

①、伴随矩阵的秩：

r（A*）二1

I0

A‘

r（A）r（A）r（A）

=n

=n-1；

:

:

n-1

②、伴随矩阵的特征值：

.（AX

A=|A

8.

9.

10.

11.

4、

1.

2.

3.

4.

5.

6.

关于A矩阵秩的描述：

1、r（A）二n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;（两句话）

2、r（A）:

n，A中有n阶子式全部为0；

3、r（A）_n，A中有n阶子式不为0;

线性方程组：

Ax二b，其中A为mn矩阵，则：

1、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；

2、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；

线性方程组Ax=b的求解：

1、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

2、齐次解为对应齐次方程组的解；

3、特解：

自由变量赋初值后求得；

由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:

a11x1'a12X2HI*nxnJ

①、

a21X1’a22x2■III■a2nXn二b2•

III川川川川川III川川III川

am1x1■'am2X2

③、

a1

&'

）X2

_P（全部按列分块，其中

P=

b2

）；

a?

川an

a2X2PnXn=：

（线性表出）

有解的充要条件：

r（A）=r（AJ_n（n为未知数的个数或维数）

向量组的线性相关性

m个n维列向量所组成的向量组A:

?

1^-2,川，：

•m构成nm矩阵A=（:

e〉m）；

m个n维行向量所组成的向量组B:

聲，胃，川，忙构成mx：

n矩阵B=.

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

1、向量组的线性相关、无关二Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）

2、向量的线性表出Ax二b是否有解；（线性方程组）

3、向量组的相互线性表示AX二B是否有解；（矩阵方程）

矩阵Ann与Bln行向量组等价的充分必要条件是：

齐次方程组Ax二0和Bx二0同解；（P101例14）

r（ATA）=r（A）；（P01例15）

n维向量线性相关的几何意义：

①、

:

-线性相关

二:

=0；

②、

:

■,'■线性相关

=:

■,-坐标成比例或共线（平仃）；

③、

:

■,\线性相关

=:

'-,共面；

线性相关与无关的两套定理：

若〉1,：

2,,:

s线性相关，则J,〉2,川=s,必线性相关；

若冷，：

2,川，:

s线性无关，则IL」"，〉s4必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B:

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：

无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r乞s;

向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）空r（B）；

向量组A能由向量组B线性表示

二AX=B有解；

r（A）二r（A,B）

向量组A能由向量组B等价=r（A）二r（B）二r（A,B）

8.方阵A可逆u存在有限个初等矩阵P,P2,|）|,R，使A=RP2川P；

1、矩阵行等价：

A~B：

=PA=B（左乘，P可逆）=Ax二0与Bx二0同解

c

2、矩阵列等价：

A-B：

=AQ二B（右乘，Q可逆）；

3、矩阵等价：

A-B=PAQ=B（P、Q可逆）；

9.对于矩阵Amn与Bln:

1、若A与B行等价，贝UA与B的行秩相等；

2、若A与B行等价，则Ax=0与Bx二0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

4、矩阵A的行秩等于列秩；

10.若AmsBsn—Cmn，则:

1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11.齐次方程组Bx=0的解一定是ABx二0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

1、ABx=0只有零解=Bx=0只有零解；

2、Bx二0有非零解=ABx0一定存在非零解；

12.设向量组Bnr:

bl,b,||l,br可由向量组Ans:

a,a2,',Ss线性表示为：

（b,6,1）1,br）=佝，a2JII,as）K（B=AK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r（K）=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：

：

'r二r但）=r（AK）

反证法）

注：

当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；

13.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQ=Emr（A）=m、Q的列向量线性无关；

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PA=E.=r（A）F、P的行向量线性无关；

14・j,>2,l|l,〉s线性相关

存在一组不全为0的数蛤，Hl,ks,使得k1\*「2J"k^0成立；（定义）

V（ag川心）x2=0有非零解，即Ax=0有非零解；

=r（：

1,：

-2JH/'s）;:

：

s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.设mn的矩阵A的秩为r，贝Un元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：

r（S）=n-r；

16.若*为Ax=b的一个解，1,2,,2为Ax=0的一个基础解系，则*,「2,—线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵=ATA=E或A=AT（定义），性质：

Hj=j

1、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即a：

aj=〈J（j,j=1,2,l||n）；

0i式j

2、若A为正交矩阵，则A〜At也为正交阵，且A='1；

3、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：

求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.施密特正交化：

（a,a2,,ar）

b二內；

b二a2

b>"也

.]

‘也仝2—_r；1

[hbilb[2b，于]br_厲_一，厂

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.①、A与B等价A经过初等变换得到B；

PAQ=B，P、Q可逆；

r（A）二r（B），A、B同型；

2、A与B合同二CTAC=B，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

3、A与B相似=p^AP二B；

5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC=B=ALB,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

二A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC二E；

二A的所有特征值均为正数；

=A的各阶顺序主子式均大于0；

-■aii0,A0；（必要条件）