中考数学总复习 专题训练 二次函数共7节.docx

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中考数学总复习专题训练二次函数共7节

二次函数y=ax

（a≠0）与y=ax

+c（a≠0）的图象与性质

一、最简单的二次函数

1．画出二次函数

的图象——画图步骤？

如何列表？

解：

在

中，自变量x为任意实数．

列表如下：

描点，用平滑曲线顺次连接各点．

1．画出二次函数

的图象：

2．归纳二次函数

的图象性质：

形状、大小和位置．

（1）这条曲线叫做抛物线

．

一般地，二次函数

的图象叫

做抛物线

．

（2）开口方向：

_________．

（3）对称轴：

____________________；

对称轴方程：

．思考如何进行证明？

（

，y）和（－x，y）都在同一条抛物线上．

（4）顶点：

抛物线

与其对称轴的交点（0，0），即原点．顶点是抛

物线的最_____点；即当

时，y取________值．

（5）图象位于第________象限．

形：

在y轴左侧，抛物线呈________趋势；在y轴右侧，抛物线呈________趋势．

数：

当

时，y随x的增大

而________；当

时，y随x的增大而_____

___．

探究：

分别在同一平面直角坐标系中，画出下列两组函数：

（1）

;

（2）

的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．

3．归纳二次函数

的图象及其性质：

一般地，抛物线

的对称轴是______轴，顶点是________．

（1）当

时，抛物线的开口________，

顶点（0，0）是抛物线的最低点．

抛物线位于第________象限．

在y轴左侧，抛物线呈________趋势；

在y轴右侧，抛物线呈________趋势．

当

时，y最小=________．

当

时，y随x增大而________；

当

时，y随x增大而________．

a越大，抛物线的开口越________；

（2）当

时，抛物线的开口_______，

顶点（0，0）是抛物线的最______点．

当

时，y最大=______．

当

时，y随x增大而________；

当

时，y随x增大而________．

抛物线位于

第________象限．

在y轴左侧，抛物线呈________趋势；

在y轴右侧，抛物线呈________趋势．

a越大，抛物线的开口越________．

（3）

大，抛物线的开口越________；

越小，抛物线的开口越________．

二、二次函数

的图象和性质

在同一平面直角坐标系中，画出

，

的图象．

解：

列表

利用平移变换，描点画图，得到

和

的图象．

把抛物线

向上平移1个单位，就得到抛物线

；

把抛物线向下平移1个单位，就得到抛物线

．

1．二次函数

的图象是抛物线，其性质是：

（1）当

时，开口方向、对称轴、增减性与

相同，不同的是顶点坐标为（____，____），当

时，y最小=________．

（2）当

时，开口方向、对称轴、增减性与

相同，不同的是顶点坐标为（____，____），当

时，y最大=________．

2．抛物线

与

有何联系？

（1）抛物线

与

的形状完全_______，只是在坐标系中的_______不同．

（2）抛物线

向_______平移_______个单位长度得到抛物线

；

抛物线

向_______平移______个单位长度得到抛物线

；

练

习：

1.

（1）二次函数

与

的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则

．

（2）不计算比较大小：

函数

的图象左侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则ab．

2.

（1）抛物线

的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．

（2）抛物线

与

的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．

（3）抛物线

向平移个单位后，得到抛物线

3.在同一平面直角坐标系中，一次函数

与二次函数

的图象大致为（）．

A．B．C．D．

二次函数y=a（x-h）

（a≠0）与

y=a（x-h）

+k（a≠0）的图象与性质

一、二次函数

的图象和性质

1．画出二次函数

、

的图象，并考虑它们的图象的性质．

解：

列表

抛物线

的开口向下，对称轴是直线

，

顶点（

，0）是最高点；当

时，y随x增大而减小．当

时，y随x增大而增大．当

时，y最大

．

2．抛物线

，

与抛物线

有什么关系？

由此归纳二次函数

与

的关系．

它们的形状都________，把抛物线

向_____平移1个单位，就得到抛物线

；

把抛物线

向______平移1个单位，就得到抛物线

．

3．归纳：

二次函数

的图象及其性质

（1）二次函数

与

的最

值相同，都是______；

（2）抛物线

与抛物线

形状相同，开口方向相同，最高点（或最低点）的______坐标相同；

抛物线

的顶点（h，0）可以由抛物线

的顶点（0，0）向左（或向右）平移______个单

位得到，抛物线和对称轴也随之改变．

（3）开口

看a；平移看顶点，_____加_____减．

二、猜想并验证二次函数

的图象和性质

1．画出函数

的图象，

指出它的开口方向

、对称轴和顶点坐标．

解：

用平移的方法画出图象，把抛物线

向左平移1个

单位，得到抛物线

，

再向下平移2个单

位，得到抛物线

．

开口向下，对称轴是直线

，顶点是（

，

）．

2．归纳：

（1）抛物线

和

形状相同，把抛物线

向上（下）平移_____个单位向左（右）平移______个单位，得到抛物线

．____加___减，___加___减．

（2）当

时，开口向_____；顶点坐标是_________；对称轴是直线_______；当

时，y有最小值_____；当

时，y随x的增大而________；当

时，y随x的增大而_____

___．

（3）当

时，开口向_____；顶点坐标是________；对称轴是直线________；当

时，

y有最大值______；当

时，y随x的增大而________；当

时，y随x的增大而________．

【小结】

之前三种二次函数的解析式形式实质都是顶点式．

练习：

1、填写下表

2.

（1）将抛物线

向右平移2个单位，

再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．

（2）二次函数

的图象可以看作是二次函数

的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．

3.把二次函数

的图象先向左平移2个单位，再向

上平移4个单位，得到二次函数

的图象．

试确定a、h、k的值；

画出抛物线

的示意图，指出二次函数

的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．

二次函数

y=ax

+bx+c（a≠0）的图象与性质

一、二次函数

的图象

和性质

1．如何画

的图象？

2．用配方法推导顶点坐标公式

二次函数

的图象是抛物线，其顶点坐标是（

，

），对称轴是平行于y轴的一条直线

．

列表小结y=ax2+bx+c（a0）的图象和性质

示意图

a>0

a<0

开口方向

a>0时，开口向上

a<0时，开口向下

形状

①

相同

抛物线的形状、大小相同；

②

越大，开口越小；

越小，开口越大．

二次函数

的图像与性质：

顶点坐标

，是抛物线最高（或最低）点

对称轴

直线

函数最值

若a>0，当

时，y最小值=

．

若a<0，当

时，

y最大值

．

增减性

若a>0，当

时，y随x的增大而减小；当

时，y随x的增大而增大．

若a<0，当

时，y随x的增大而增大；

当

时，y随x的增大而减小．

例1．把一般式

化为顶点式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标．

（2）分别求出它与y轴的交点C、和x轴的交点A、B的坐标，并画出函数的图象．

（3）说出它的图象与抛物线

的位置关系．

（4）描述它的最值和增减性．

（5）当

取何值时，y<0？

（6）当

时，y取值如何？

例2．用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当

L是多少时，矩形场地的面积S最大？

二、过特殊位置的抛物线：

对于抛物线

，

（1）若顶点是原点，则

（2）若经过原点，则

（3）若顶点在y轴上，则

（4）若顶点在x轴上，则

（5）若经过（1，0）点，则

若经过（－1，0）点，则

练习

（1）抛物线

的顶点坐标是，

对称轴是

．

（2）

若二次函数

（

）的图象如图所示，则

的值是．

（3）二次函数

的顶点坐标是（1，－2），则b=，c=．

（4）已知二次函数

（其中a>0

，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说

法：

①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x

轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）

A．0B．1

C．2D．3

待定系数法求二次函数的解析式

自主学习

求一个二次函数的解析式，就是确定

中各项的系数a、b、c的值．

应掌握利用“待

定系数法”求二次函数的解析式．

有三种形式：

（1）一般式y=__________________；

（2）顶点式y=___________________；

（3）双根式（或称截距式）y=___________________．

无论上述哪种形式，显然，确定一个二次函数的解析式需要三个独立条件．

例1．已知：

抛物线

经过A（0，

），B（1，

），C（

，

）三点，求它的顶点坐标及对称轴．

例

2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为

，且过点

.

（1）求该二次函

数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？

并

直接写出平移后所得图象与

轴的另一个交点的坐标.

例3、已知一抛

物线与x轴的交点是

，B（1，0），且经过点C（2，8）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标.

例4、已知二次函数图象的顶点是

，且过点

．

（

1）求二次函数的表达式；

（2）求证：

对任意实数

，点

都不在这个二次函数的图象上.

例5、已知二次函数

（

）中自变量

和函数值

的部分

对应值如下表：

则该二次函数的解析式为．

例6、已知：

抛

物线y=x

+bx+c与直线y=-x-1有唯一的公共点P，并且P

点在y轴上，试求b、c.

例7、已知：

抛物线

与y轴交于C点，顶点为M，直线

CM的解析式为

，并且线段CM的长为

，求此抛物线的解析式．

用函数观点看一元二次方程

自主学习

在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.

二次函数

，令y=0，则得

，这是一个关于x的一元二次方程，它们的联系表现在：

方程实根的个数、抛物线与x轴交点的个数的讨论，都可转化为由根