最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案.docx
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最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案
初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习（人教版有答案）
5
第2代数式
21整式的运算
211★化简，其中为大于1的事数．
解析原式．
评注本例可推广为一个一般的形式
．
212★计算
（1）；
（2）．
解析
（2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差式，分别把相同项结合，相反项结合．
原式
．
（2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用式，但
与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方式了．
原式
．
213★设，，求用去除所得的商及余式．
解析1用普通的竖式除法
因此，所求的商，余式．
解析2用待定系数法
由于为3次多项式，首项系数为1，而为次，首项系数为3，故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式，余式．
根据，得
．
比较两端系数，得
解得，，，故商式，余式．
214★已知当时，代数式的值为4，求当时，代数式的值．
解析比较两个代数式，发现它们的相同与不同．
当时，
．
215★若，且，试求的值．
解析，，代入
得，故，，所以．
216★★试确定和，使能被整除．
解析由于，因此，若设
，
假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即
，①
当时，，即
，②
由①，②联立，则有
217★若，求的值．
解析，
所以，．
．
218★将表示成的形式．
解析
．
219★已知，求的值．
解析1由，有
．
解析2由，有
．
评注解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．
这两种方法在整式恒等变形中常用．
2110★★已知，，，求的值．
解析因为，所以
，
所以．
所以
．
2111★★若，，求的值．
解析把两个方程相加，得，于是有
，
故或．
2112★★★已知，．求的值．
解析因为，所以，从而．所以
．
．
故．
2113★★已知，，，求多项式的值．
解析由
，
又因为，，，故
原式．
2114★★已知实数、、、满足，，求的值．
解析由，得
．
因为，所以．
因而，
．
2115★★已知，试求的值．
解析多项式的系数和，就是．
．
2116★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除．
解析设这个二次三项式为
．
则
①③得
代入②、③得
④⑤得，
代入⑤得．
所求二次三项式为．
2117★未知数、满足
，
其中、表示非零已知数，求、的值．
解析两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
，
，
即．
所以
因为，所以，．
2118★★已知、、满足，求证
．
解析因为，所以
左边
右边．
2119★已知，证明．
解析因为，所以
，
即，
因此，
即．
2120★证明
．
解析此题看起很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令
，①
，②
，③
则要证的等式变为．
因为
，
所以将①，②，③相加有
，
所以，
所以
．
2121★★已知，且、、、都是正数，求证．
解析由已知可得
，
，
所以
．
因为
，，，所以
，
所以．
又因为、、、都为正数，所以，，所以
，．
所以
，
所以．故成立．
2122★★已知，求证
．
解析用作差法，注意利用的条．
左右
．
所以等式成立．
22因式分解
221★分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解析
（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式．
本小题可以稍加变形，解法如下
原式．
（4）原式
．
222★分解因式．
解析1
原式
．
解析2
原式
．
评注解析2中，
是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．
223★★分解因式
．
解析原式中与的和等于，所以考虑用立方和式变开后，再进行分解．
原式
．
224★★分解因式．
解析
原式
3
评注
．
显然，当时，则；当时，则，即，而且，当且仅当时，等号成立．
如果令，，，则有
．
等号成立的充要条是．这也是一个常用的结论．
225★★分解因式
．
解析这个多项式的特点是有16项，从最高次项开始，的次数顺次递减到0，由此想到应用式分解．因为
，
所以
原式
．
评注在本题分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
226★分解因式．
解析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
方法1将常数项8拆成．
原式
．
方法2将一次项拆成．
原式
．
方法3将三次项拆成．
原式
方法4添加两项．
原式．
评注由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
227★★分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解析
（1）将拆成．
原式
．
（2）将拆成．
原式
．
（3）将拆成．
原式
．
（4）添加两项．
原式
评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加，而且添加项后分成的三项组又无因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．
228★分解因式．
解析原式
229★★分解因式
．
解析
原式
．
2210★★分解因式
．
解析
原式
．
2211★★分解因式．
解析
原式
．
2212★★分解因式
．
解析将原式展开，是关于的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将看作一个整体，并用字母替代，于是原题转化为关于的二次三项式的因式分解问题了．
设，则
原式
．
评注本题也可将看作一个整体，比如令，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
2213★★分解因式
．
解析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
原式
．
令，则
原式
．
评注对多项式适当的恒等变形是我们找到新元的基础．
．
解析令，，则
原式
，
所以，原式．
2215★★分解因式
．
解析令，则
．
原式
．
所以，原式
．
2216★★分解因式．
解析令，则
原式
．
所以，原式．
2217★★分解因式
．
解析设，则
原式
．
评注由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
2218★★分解因式．
解析1
原式
．
评注本解法实际上是将看作一个整体，但并没有设立新元代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元代替整体．
解析2原式
．
令，则，于是
原式
＝
．
2219★★分解因式
．
解析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令，，用换元法分解因式．
原式．
令，，则
原式
．
2220★分解因式．
解析原式
．
其十字相乘图为
评注凡是可以化成或形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成或的形式．
对于某些二元二次六项式，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是首先用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的．
2221★分解因式
．
解析原式
．
其十字相乘图为
2222★分解因式
．
解析原式
．
其十字相乘图为
2223★分解因式
．
解析原式
＝
．
对于形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别相乘后，构成有相同部分的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．
2224★★分解因式
．
解析
原式
．
对地形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别先作法，构成具有相同部分的项，再用十字相乘法进行分解．
2225★★分解因式
．
解析由于．
若原式可以分解因式，那么它一定是的形式．应用待定系数法即可求出和，使问题得到解决．
设
．
比较两边对应项的系数，则有
解之，得，．
所以，原式．
2226★★分解因式．
解析这是关于的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于的两个二次式之积．可用待定系数法求之．
设
．
比较两边对应项的系数，则有
解之，得，．
所以，原式．
如果设原式，那么由待定系数法解题后知关于与的方程组无解，所以设原式．
2227★★为何值时，可以分解成两个一次因式的乘积？
解析因为，所以如果可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是与的形式，其中、都是待定系数．
设
，
．
比较两边对应项的系数，得
解之，得
因此，当时，可以分解成两个一次因式的乘积．
2228★★分解因式．
解析因为
，
所以，原式
．
2229★★分解因式．
解析这个式子是关于、、的五次齐次对称式，令，则原式．故原式有因式．同理，亦有因式，．这样原式还有一个二次齐次对称式
．
所以，可设
原式．
当，时，得
．①
当，，时，得
．②
由①式与②式可解得
，．
所以，原式．
2230★★分解因式．
解析当时，易知原式，所以原式有因式．同理，与也都是原式的因式．
但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为，故可设
．
令，，，得．解得．
所以，原式＝．
2231★★分解因式．
解析所给的式子是一个四次对称式．若令，则
原式
．
所以，原式含有因式．
同理，原式含有因式，．
于是，原式含有因式．
由于原式为四次对称式，故还有因式，其中为待定系数．
所以，原式．
比较等式两边的系数，得．
所以，原式．
23分式
231★计算
（1）；
（2）．
解析
（1）．
（2）
．
232★计算
（1）；
（2）．
解析
（1）．
（2）
．
233★★化简分式
．
解析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．
原式
．
评注本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
234★★求分式
当时的值．
解析先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差式
，
可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
原式
．
235★计算
．
解析本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过运用，把一个分式拆成几个分式的和差．
原式
．
236★已知．求的值．
解析由已知得且可得，即，所以
．
评注这里利用与互为倒数的特点．巧妙地运用乘法式加以变形，使问题变得较简单．同样地，
，
．
237★已知．求的值．
解析由可得．故
．
评注本题同样通过将已知的条作适当变形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知条与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值．
238★计算．
解析直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及，，三个式子，不妨用换元法．使所求式子的形式变得简单一些．
设，，，则，所以
原式
．
239★★已知，，．
求的值．
解析因为，两边平方得．已知，所以，．又，所以．
同理，，．故
原式
．
2310★★若，求
的值．
解析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
方法1因为，所以、、都不为零．
原式
．
方法2因为，所以，，．
原式
．
方法3由，得，将之代入原式
原式
．
2311★化简分式
．
解析三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．
原式
．
评注本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成与两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．
2312★★若实数、、满足，，，求的值．
解析因为
，
所以
，
，
，
故．从而，．所以．
2313★★已知（，且、、不全相等），求
的值．
解析本题字母多，分式复杂．若把条写成，那么题目只与，，有关，为简化计算，可用换元法求解．
令，，，则分式变为，且由已知有．将两边平方得
．
由于、、不全相等，所以、、不全为零，所以，从而有
，
即所求分式的值为．
评注从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．
2314★★已知，求的值．
解析本题的已知条是以连比形式出现，可引入参数，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
设，于是有
，，．
所以
．
2315★★已知，，求的值．
解析令，，，于是条变为
，①
．②
由②有
，
所以．
把①两边平方得
，
所以，
即．
2316★★已知实数、、满足，，，求的值．
解析因为
，
所以．
同理可得
，
．
结合
可得
，
所以．
结合，，可得．因此，
．
实际上，满足条的、、可以分别为、、．
2317★★已知，求下面代数式的值
．
解析根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
，
同理
，
．
所以原式．
2318★★若，求分式
的值．
解析
，
所以，所以，即
．
原式分子
，
原式分母，
所以原式．
评注本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．
2319★★若，求的值．
解析1利用比例的性质解决分式问题．
（1）若，由等比定理有
，
所以
，，，
于是有
．
（2）若，则
，，，
于是有
．
评注比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．
解析2设参数法．令
，
则
，①
，②
．③
①②③有
，
所以，
故有或．
当时，
．
当时，
．
评注引进一个参数表示以连比形式出现的已知条，可使已知条便于使用．
2320★★一列数，，，…满足对于任意正整数，都有
，
求的值．
解析当时，有
，
，
两式相减，得，
所以，
，，…
故
5
升级会员 