最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案.docx

1、最新试题资料初中数学第2章代数式竞赛专题复习人教版有答案初中数学第2章代数式竞赛专题复习（人教版有答案） 5 第2代数式21整式的运算211化简 ，其中 为大于1的事数解析原式 评注本例可推广为一个一般的形式212计算（1） ；（2） 解析（2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差式，分别把相同项结合，相反项结合原式 （2） 的结果是 ，这个结果与多项式 相乘时，不能直接应用式，但与前两个因式相乘的结果 相乘时就可以利用差的立方式了原式 213设 ， ，求用 去除 所得的商 及余式 解析1用普通的竖式除法因此，所求的商 ，余式 解析2用待定系数法由于 为3次多项式，首

2、项系数为1，而 为 次，首项系数为3，故商 必为1次，首项系数必为 ，而余式次数小于2，于是可设商式 ，余式 根据 ，得比较两端系数，得 解得 ， ， ，故商式 ，余式 214已知当 时，代数式 的值为4，求当 时，代数式 的值解析比较两个代数式，发现它们的相同与不同当 时，215若 ，且 ，试求 的值解析 ， ，代入得 ，故 ， ，所以 216试确定 和 ，使 能被 整除解析由于 ，因此，若设，假如 能被 整除，则 和 必是 的因式，因此，当 时， ，即，当 时， ，即，由，联立，则有217若 ，求 的值解析 ，所以 ， 218将 表示成 的形式解析 219已知 ，求 的值解析1由 ，有解析

3、2由 ，有评注解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法这两种方法在整式恒等变形中常用2110已知 ， ， ，求 的值解析因为 ，所以，所以 所以 2111若 ， ，求 的值解析把两个方程相加，得 ，于是有，故 或 2112已知 ， 求 的值解析因为 ，所以 ，从而 所以故 2113已知 ， ， ，求多项式 的值解析由 ，又因为 ， ， ，故原式 2114已知实数 、 、 、 满足 ， ，求 的值解析由 ，得因为 ，所以 因而， 2115已知 ，试求 的值解析多项式 的系数和，就是 2116求一个关于 的二次三项式 ，它被 除余2；被 除余8；并且被 整除解析设这个二次三项式为则 得代入、得 得

4、，代入得 所求二次三项式为 2117未知数 、 满足，其中 、 表示非零已知数，求 、 的值解析两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式将已知等式变形为，即 所以 因为 ，所以 ， 2118已知 、 、 满足 ，求证解析因为 ，所以左边 右边2119已知 ，证明 解析因为 ，所以，即 ，因此 ，即 2120证明解析此题看起很复杂，但仔细观察，可以使用换元法令，则要证的等式变为 因为，所以将，相加有，所以 ，所以 2121已知 ，且 、 、 、 都是正数，求证 解析由已知可得，所以因为， ， ，所以，所以 又因为 、 、 、 都为正数，所

5、以 ， ，所以， 所以，所以 故 成立2122已知 ，求证解析用作差法，注意利用 的条左 右所以等式成立22因式分解221分解因式（1） ；（2） ；（3） ；（4） 解析（1）原式 （2）原式 （3）原式 本小题可以稍加变形，解法如下原式 （4）原式 222分解因式 解析1原式 解析2原式 评注解析2中，是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的223分解因式解析原式中 与 的和等于 ，所以考虑用立方和式 变开后，再进行分解原式 224分解因式 解析原式 3评注 显然，当 时，则 ；当 时，则 ，即 ，而且，当且仅当 时，等号成立如果令 ， ， ，则有等号成立的充要条是 这也是一个

6、常用的结论225分解因式解析这个多项式的特点是有16项，从最高次项 开始， 的次数顺次递减到0，由此想到应用式 分解因为，所以原式 评注在本题分解过程中，用到先乘以 ，再除以 的技巧，这一技巧在等式变形中很常用226分解因式 解析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧方法1将常数项8拆成 原式 方法2将一次项 拆成 原式 方法3将三次项 拆成 原式 方法4添加两项 原式 评注由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种2

7、27分解因式（1） ；（2） ；（3） ；（4） 解析（1）将 拆成 原式 （2）将 拆成 原式 （3）将 拆成 原式 （4）添加两项 原式 评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加 ，而且添加项后分成的三项组又无因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在228分解因式 解析原式 229分解因式解析原式 2210分解因式解析原式 2211分解因式 解析原式 2212分解因式解析将原式展开，是关于 的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将 看作一个整体，并用字母 替代，于是原题转化为关于 的二次三项式的因式分解问

8、题了设 ，则原式 评注本题也可将 看作一个整体，比如令 ，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试2213分解因式解析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合原式 令 ，则原式 评注对多项式适当的恒等变形是我们找到新元 的基础解析令 ， ，则原式 ，所以，原式 2215分解因式解析令 ，则原式 所以，原式 2216分解因式 解析令 ，则原式 所以，原式 2217分解因式解析设 ，则原式 评注由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式2218分解因式 解析1原式 评注本解法实际上是

9、将 看作一个整体，但并没有设立新元代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元代替整体解析2原式 令 ，则 ，于是原式 2219分解因式解析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令 ， ，用换元法分解因式原式 令 ， ，则原式 2220分解因式 解析原式 其十字相乘图为评注凡是可以化成 或 形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成 或 的形式对于某些二元二次六项式 ，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法其因式分解的步骤是首先用十字相乘法分解 ，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数

10、项 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 2221分解因式解析原式 其十字相乘图为2222分解因式解析原式 其十字相乘图为2223分解因式解析原式 对于形如 （ 、 、 、 、 、 为常数），当 时，则把 与 分别相乘后，构成有相同部分 的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解2224分解因式解析原式 对地形如 （ 、 、 、 、 、 为常数），当 时，则把 与 分别先作法，构成具有相同部分 的项，再用十字相乘法进行分解2225分解因式解析由于 若原式可以分解因式，那么它一定是 的形式应用待定系数法

11、即可求出 和 ，使问题得到解决设 比较两边对应项的系数，则有解之，得 ， 所以，原式 2226分解因式 解析这是关于 的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于 的两个二次式之积可用待定系数法求之设 比较两边对应项的系数，则有解之，得 ， 所以，原式 如果设原式 ，那么由待定系数法解题后知关于 与 的方程组无解，所以设原式 2227 为何值时， 可以分解成两个一次因式的乘积？解析因为 ，所以如果 可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是 与 的形式，其中 、 都是待定系数设 ，比较两边对应项的系数，得解之，得 因此，当 时， 可以分解成两个一次因式的乘积 2228分解因式 解析

12、因为 ，所以，原式 2229分解因式 解析这个式子是关于 、 、 的五次齐次对称式，令 ，则原式 故原式有因式 同理，亦有因式 ， 这样原式还有一个二次齐次对称式所以，可设原式 当 ， 时，得当 ， ， 时，得由式与式可解得， 所以，原式 2230分解因式 解析当 时，易知原式 ，所以原式有因式 同理， 与 也都是原式的因式但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为 ，故可设令 ， ， ，得 解得 所以，原式 2231分解因式 解析所给的式子是一个四次对称式若令 ，则原式 所以，原式含有因式 同理，原式含有因式 ， 于是，原式含有因式 由于原式为四次对称式，故还有因式 ，其中

13、为待定系数所以，原式 比较等式两边 的系数，得 所以，原式 23分式231计算（1） ；（2） 解析（1） （2） 232计算（1） ；（2） 解析（1） （2） 233化简分式解析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多原式 评注本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式234求分式当 时的值解析先化简再求值直接通分较复杂，注意到平方差式，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项原式 235计算解析本题如果直接通分化为同分母，去处较繁而通过分子拆项，分母分解之后，利用 ，比较简洁由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过运用，把一个

14、分式拆成几个分式的和差原式 236已知 求 的值解析由已知 得 且 可得 ，即 ，所以评注这里利用 与 互为倒数的特点巧妙地运用乘法式加以变形，使问题变得较简单同样地，237已知 求 的值解析由 可得 故评注本题同样通过将已知的条作适当变形，代入所求的分式中由此可看出，在已知条与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值238计算 解析直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及 ， ， 三个式子，不妨用换元法使所求式子的形式变得简单一些设 ， ， ，则 ，所以原式 239已知 ， ， 求 的值解析因为 ，两边平方得 已知 ，所以， 又 ，所以 同理， ，

15、故原式 2310若 ，求的值解析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂下面介绍几种简单的解法方法1因为 ，所以 、 、 都不为零原式 方法2因为 ，所以 ， ， 原式 方法3由 ，得 ，将之代入原式原式 2311化简分式解析三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简原式 评注本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有 的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成 与 两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧2312若实数 、 、 满足 ， ， ，求 的值解析因为 ，所以，故 从

16、而 ， 所以 2313已知 （ ，且 、 、 不全相等），求的值解析本题字母多，分式复杂若把条写成 ，那么题目只与 ， ， 有关，为简化计算，可用换元法求解令 ， ， ，则分式变为 ，且由已知有 将 两边平方得由于 、 、 不全相等，所以 、 、 不全为零，所以 ，从而有，即所求分式的值为 评注从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化2314已知 ，求 的值解析本题的已知条是以连比形式出现，可引入参数 ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式设 ，于是有， ， 所以2315已知 ， ，求 的值解析令 ， ， ，于是条变为，由有，所以 把两边平方得，所以 ，即 2316已知

17、实数 、 、 满足 ， ， ，求 的值解析因为，所以 同理可得，结合可得，所以 结合 ， ，可得 因此，实际上，满足条的 、 、 可以分别为 、 、 2317已知 ，求下面代数式的值解析根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变利用已知条，可将前三个分式的分母变为与第四个相同，同理，所以原式 2318若 ，求分式的值解析 ，所以 ，所以 ，即原式分子 ，原式分母 ，所以原式 评注本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化2319若 ，求 的值解析1利用比例的性质解决分式问题（1）若 ，由等比定理有，所以， ， ，于是有（2）若 ，则， ， ，于是有评注比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解解析2设参数法令，则， 有，所以 ，故有 或 当 时，当 时，评注引进一个参数 表示以连比形式出现的已知条，可使已知条便于使用2320一列数 ， ， ，满足对于任意正整数 ，都有，求 的值解析当 时，有，两式相减，得 ，所以 ， ，故 5