高中数学竞赛平面几何定理证明大全.docx

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高中数学竞赛平面几何定理证明大全

Gerrald加油坚持住

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莫利定理：

将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。

設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P,D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD,CD正好是∠CBP,∠BCP的角平分线。

莫利三角形的另两个頂点E,F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP,BP上找到E,F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了

为此，先把DP连起來，在CP,BP上分別取两点E,F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。

为什么它是一个正三角形呢？

因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。

于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。

接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE,AF的确会三等分∠BAC。

如图2所示，在AB,AC上各取一点G,H,使得BG＝BD,CH＝CD，把G、F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF＝FD＝FE＝ED＝EH。

下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF,FE,EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。

为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。

看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。

△PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF≌△PDE，（PD是公用边，∠DPF＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），所以PF=PE。

等腰三角形△PFE的顶角大小为：

∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠BAC……………………………

（1）

∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC……………………

（2）

∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠BAC…………………………（3）

最后得到：

∠FGE=∠FEG=1/2（π-∠GFE）=1/3∠BAC…（4）同理可证：

∠FHE=∠HFE=1/3∠BAC……………（5）

至此可知G,H,E,F，A五点共圓。

因GF=FE=EH，所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC…（6）

即AE和AF恰好是∠BAC的三等分线，所以△DEF是莫利三角形。

蝴蝶定理：

AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF,ED分别交AB于点M、N，求证：

MS=NS。

证明

（一）

过O作OL⊥AD，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST

容易证明△ESD∽△CSF所以ES/CS＝ED/FC

根据垂径定理得：

LD＝ED/2，FT＝FC/2所以ES/CS＝EL/CT

又因为∠E＝∠C所以△ESL∽△CST所以∠SLN＝∠STM

因为S是AB的中点所以OS⊥AB所以∠OSN＝∠OSN＝90°所以∠OSN+∠OSN＝180°

所以O，S，N，L四点共圆同理O，T，M，S四点共圆

所以∠STM＝∠SOM，∠SLN＝∠SON所以∠SON＝∠SOM，

因为OS⊥AB所以MS＝NS

证明

（二）

从

向

和

作垂线，设垂足分别为

和

。

类似地，从

向

和

作垂线，设垂足分别为

和

。

现在，由于

从这些等式，可以很容易看出：

由于PM=MQ现在，

因此，我们得出结论：

，也就是说，

是

的中点。

清宫定理：

设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

证明　设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F

　　这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系：

　　将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点

　　从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。

于是，如果P、Q两点重合，清宫定理就成为西摩松定理。

　　我们决定将证明清宫定理的方针确定如下：

因为D、E、F三点中，有两点在△ABC的边上，其余一点在边的延长线上，

　　如证明（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）=1，

　　则根据梅涅劳斯定理的逆定理，就可证明DEF三点在同一直线上。

　　首先，A、B、P、C四点在同一圆周上，因此∠PCE=∠ABP

　　但是，点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE

　　又因为P和Ｗ关于AB对称，所以∠PBW=2∠ABP

　　从这三个式子，有∠PCV=∠PBW

　　另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，所以∠PCQ=∠PBQ

　　两式相加，有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ

　　即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此

　　S（△QCV）/S（△QBW）=（CV·CQ）/（BW·BQ）

　　但是CV=CP，BW=BP，所以S（△QCV）/S（△QBW）=（CP·CQ）/（BP·BQ）

　　同理S（△QAW）/Ｓ（△QCU）=（AP·AQ）/（CP·CQ）

　　S（△QBU）/S（△QAV）=（BP·BQ）/（AP·AQ）

　　于是（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）

　=[S（△QBU）/S（△QCU）]·[S（△QCV）/S（△QAV）]·[S（△QAW）/S（△QBW）]

　=[S（△QBU）/S（△QAV）]·[S（△QCV）/S（△QBW）]·[S（△QAW）/S（△QCU）]

　=[（BP·BQ）/（AP·AQ）]·[（CP·CQ）/（BP·BQ）]·[（AP·AQ）/（CP·CQ）]=1

　　根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上

牛顿定理1：

四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。

这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

证明四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N

牛顿定理1

取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=QR,L,Q共线

　　QL/LR=EA/AB

　　M,R,P共线

　　RM/MP=CD/DE

　　N,P,Q共线

　　PN/NQ=BF/FC

　　三式相乘得:

　　QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC

　　由梅涅劳斯定理

　　QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1

　　由梅涅劳斯定理的逆定理知:

L,M,N三点共

　　证毕

　　故牛顿定理1成立

牛顿定理2：

圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

　　证明：

　　设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

牛顿定理2图

显然，S△BEI=-S△BIC+S△CEI+S△BCE，而S△DEI=-S△ADE+S△AIE+S△AID。

注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD

即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。

　　证毕。

（共边比例定理：

平行四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E

  则有BE/DE=S△ABC/S△ADC）

牛顿定理3：

圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

　　证明

　　设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI'=∠BFI'

　　因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S（AI'H）/S（CI'F）=AH*HI'/CF*FI'

　　故AI'/CI'=AH/CF.

　　同样可证:

AI/CI=AE/CG

　　又AE=AH,CF=CG.

　　故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.

　　从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.

　　同理可证:

直线BD,EG,FH交于一点.

　　因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.

证毕。

燕尾定理

燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB上的中点，AD、BE、CF交于O点）。

图2

S△ABC中，S△AOB：

S△AOC=S△BDO：

S△CDO=BD：

CD；

　同理，S△AOC：

S△BOC=S△AFO：

S△BFO=AF：

BF；

　　S△BOC：

S△BOA=S△CEO：

S△AEO=EC：

EA。

证法1

下面的是第一种方法：

利用合比性质

∵△ABD与△ACD同高∴S△ABD：

S△ACD=BD：

CD

同理，S△OBD：

S△OCD=BD：

CD利用合比性质，得

S△ABD-S△OBD：

S△ACD-S△OCD=BD：

CD

即S△AOB：

S△AOC=BD：

CD

命题得证。

证法2

下面的是第二种方法：

相似三角形法

已知：

△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：

AE=CE

证明：

如图2，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

∵MN∥BC∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD∴MO：

BD=AO：

AD，NO：

CD=AO：

AD

∴MO：

BD=NO：

CD∵AD是△ABC的一条中线∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥AB

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF∴PO：

BF=CO：

CF，QO：

AF=CO：

CF

∴PO：

BF=QO：

AF∵CF是△ABC的一条中线∴AF=BF∴PO=QO

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO∴△MOP≌△NOQ（SAS）∴∠MPO=∠NQO

∴MP∥AC（错角相等，两条直线平行）

∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE

∴MR：

AE=BR：

BE，PR：

CE=BR：

BE∴MR：

AE=PR：

CE∵MN∥BC，PQ∥AB

∴四边形BMOP是平行四边形∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）

∴AE=CE

命题得证。