余弦定理练习 含答案.docx

余弦定理练习 含答案.docx

《余弦定理练习 含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《余弦定理练习 含答案.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

余弦定理练习含答案

课时作业2　余弦定理之马矢奏春创作

时间：

二O二一年七月二十九日

时间：

45分钟　　满分：

100分

教室演习

1．在△ABC中,已知a＝5,b＝4,∠C＝120°.则c为（　　）

A.B.

C.或D.

【答案】B

【解析】c＝

＝＝.

2．△ABC的内角A、B、C的对边辨别为a,b,c,若a,b,c知足b2＝ac,且c＝2a,则cosB＝（　　）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】由b2＝ac,又c＝2a,由余弦定理

cosB＝＝＝.

3．在△ABC中,三个角A、B、C的对边边长辨别为a＝3、b＝4、c＝6,则bccosA＋cacosB＋abcosC＝________.

【答案】

【解析】bccosA＋cacosB＋abcosC＝bc·＋ca·＋ab·＝（b2＋c2－a2）＋（c2＋a2－b2）＋（a2＋b2－c2）＝（a2＋b2＋c2）＝.

4．在△ABC中：

（1）a＝1,b＝1,∠C＝120°,求c；

（2）a＝3,b＝4,c＝,求最大角；

（3）a:

b:

c＝1:

:

2,求∠A、∠B、∠C.

【阐发】　

（1）直接应用余弦定理即可；

（2）在三角形中,大边对大角；

（3）可设三边为x,x,2x.

【解析】

（1）由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC

＝12＋12－2×1×1×（－）＝3,∴c＝.

（2）显然∠C最大,

∴cosC＝＝＝－.∴∠C＝120°.

（3）因为a:

b:

c＝1:

:

2,可设a＝x,b＝x,c＝2x（x>0）．

由余弦定理,得cosA＝＝＝,

∴∠A＝30°.

同理cosB＝,cosC＝0.∴∠B＝60°,∠C＝90°.

【规律方法】　

1．本题为余弦定理的最底子应用,应在此根本上闇练地掌握余弦定理的机关特色．

2．对于第（3）小题,按照已知前提,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角,别的也可推敲用正弦定理求∠B,但要留心谈论解的情况．

课后作业

一、选择题（每小题5分,共40分）

1．△ABC中,下列结论：

①a2>b2＋c2,则△ABC为钝角三角形；

②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A为60°；

③a2＋b2>c2,则△ABC为锐角三角形；

④若∠A:

∠B:

∠C＝1:

2:

3,则a:

b:

c＝1:

2:

3,

个中精确的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

【答案】A

【解析】①cosA＝<0,

∴∠A为钝角,精确；

②cosA＝＝－,

∴∠A＝120°,错误；

③cosC＝>0,

∴∠C为锐角,但∠A或∠B不必定为锐角,错误；

④∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°,

a:

b:

c＝1:

:

2,错误．故选A.

2．△ABC的三内角A、B、C所对边长辨别为a、b、c,设向量p＝（a＋c,b）,q＝（b－a,c－a）．若p∥q,则∠C的大小为（　　）

A.B.

C.D.π

【答案】B

【解析】∵p＝（a＋c,b）,q＝（b－a,c－a）且p∥q,

∴（a＋c）（c－a）－b（b－a）＝0

即a2＋b2－c2＝ab,∴cosC＝＝＝.

∴∠C＝.

3．△ABC中,角A,B,C的对边辨别为a,b,c,∠A＝,a＝,b＝1,则c等于（　　）

A．2B．3

C.＋1D．2

【答案】B

【解析】由余弦定理得,a2＝b2＋c2－2bccosA,

所以（）2＝1＋c2－2×1×c×cos,

即c2－c－6＝0,解得c＝3或c＝－2（舍）．故选B.

4．在不等边三角形ABC中,a为最大边,且a2

A．（,π）B．（,）

C．（,）D．（0,）

【答案】C

【解析】因为a为最大边,所以∠A为最大角,即∠A>∠B,∠A>∠C,故2∠A>∠B＋∠C.又因为∠B＋∠C＝π－∠A,所以2∠A>π－∠A,即∠A>.因为a20,所以0<∠A<.综上,<∠A<.

5．在△ABC中,已知a＝4,b＝6,∠C＝120°,则sinA的值为（　　）

A.B.

C.D．－

【答案】A

【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝42＋62－2×4×6（－）＝76,

∴c＝.由正弦定理得＝,即＝,

∴sinA＝＝.

6．△ABC中,a、b、c辨别为∠A、∠B、∠C的对边,且2b＝a＋c,∠B＝30°,△ABC的面积为,那么b等于（　　）

A.B．1＋

C.D．2＋

【答案】B

【解析】∵2b＝a＋c,又因为∠B＝30°,

∴S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝,解得ac＝6,

由余弦定理：

b2＝a2＋c2－2accosB

＝（a＋c）2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6,

即b2＝4＋2,由b>0解得b＝1＋.

7．在△ABC中,若acosA＋bcosB＝ccosC,则这个三角形必定是（）

A．锐角三角形或钝角三角形

B．以a或b为斜边的直角三角形

C．以c为斜边的直角三角形

D．等边三角形

【答案】B

【解析】由余弦定理acosA＋bcosB＝ccosC可变成a·＋b·＝c·,

a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＝c2（a2＋b2－c2）

a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4

2a2b2－a4－b4＋c4＝0,

（c2－a2＋b2）（c2＋a2－b2）＝0,

∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2,

∴以a或b为斜边的直角三角形．

8．若△ABC的周长等于20,面积是10,∠A＝60°,则BC边的长是（　　）

A．5B．6

C．7D．8

【答案】C

【解析】依题意及面积公式S＝bcsinA,

得10＝bc×sin60°,即bc＝40.

又周长为20,故a＋b＋c＝20,b＋c＝20－a.

由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc,

故a2＝（20－a）2－120,解得a＝7.

二、填空题（每小题10分,共20分）

9．在△ABC中,三边长AB＝7,BC＝5,AC＝6,则·的值为________．

【答案】－19

【解析】由余弦定理可求得cosB＝,∴·＝||·||·cos（π－B）＝－||·||·cosB＝－19.

10．已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________．

【答案】a

【解析】如图,AB＝AC＝2a,BC＝a,BD为腰AC的中线,过A作AE⊥BC于E,在△AEC中,cosC＝＝,在△BCD中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC,即BD2＝a2＋a2－2×a×a×＝a2,∴BD＝a.

三、解答题（每小题20分,共40分．解答应写出需要的文字说明、证实过程或演算步调）

11．在△ABC中,已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC,试判断三角形的外形．

【阐发】　解决本题,可辨别应用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边的关系求解．

【解析】方法一：

由正弦定理＝＝＝2R,R为△ABC外接圆的半径,将原式化为

8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC.

∵sinBsinC≠0,sinBsinC＝cosBcosC,

即cos（B＋C）＝0,∴∠B＋∠C＝90°,∠A＝90°,故△ABC为直角三角形．

方法二：

将已知等式变成b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccosBcosC.

由余弦定理可得：

b2＋c2－b2·（）2－c2（）2＝2bc··.

即b2＋c2＝

也即b2＋c2＝a2,故△ABC为直角三角形．

【规律方法】　在应用正弦定理实施边角转化时,等式两边a,b,c及角的正弦值的次数必须相同,不然不克不及互相转化．

12．（2013·全国新课标Ⅰ,理）如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝,BC＝1,P为△ABC内一点,∠BPC＝90°.

（1）若PB＝,求PA；

（2）若∠APB＝150°,求tan∠PBA.

【解析】

（1）由已知得,∠PBC＝60°,∴∠PBA＝30°,

在△PBA中,由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝,∴PA＝.

（2）设∠PBA＝α,由已知得,PB＝sinα,

在△PBA中,由正弦定理得＝,化简得,cosα＝4sinα,

∴tanα＝,∴tan∠PBA＝.

时间：

二O二一年七月二十九日