高中数学几何证明题.doc
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新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点
（1）求证：
EFGH是平行四边形
A
H
G
F
E
D
C
B
（2）若BD=，AC=2，EG=2。
求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
证明：
在中，∵分别是的中点∴
同理，∴∴四边形是平行四边形。
（2）90°30°
考点：
证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
2、如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：
（1）平面CDE;
A
E
D
B
C
（2）平面平面。
证明：
（1）
同理，
又∵∴平面
（2）由
（1）有平面
又∵平面，∴平面平面
考点：
线面垂直，面面垂直的判定
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
3、如图，在正方体中，是的中点，
求证：
平面。
证明：
连接交于，连接，
∵为的中点，为的中点
∴为三角形的中位线∴
又在平面内，在平面外
∴平面。
考点：
线面平行的判定
4、已知中,面,,求证：
面．
证明：
°
又面
面
又面
考点：
线面垂直的判定
5、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：
（１）C1O∥面；
（2）面．
证明：
（1）连结，设，连结
∵是正方体是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是的中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面，面∴C1O∥面
（2）面
又，
同理可证，又
面
考点：
线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
6、正方体中，求证：
（1）；
（2）.
考点：
线面垂直的判定
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．
（1）求证：
平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：
平面EB1D1∥平面FBD．
证明：
（1）由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BDË平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
考点：
线面平行的判定（利用平行四边形）
8、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，
（1）求证：
；
（2）当，时，求的长。
证明：
（1）取的中点，连结，∵是的中点，
∴，∵平面，∴平面
∴是在平面内的射影，取的中点，连结，∵∴，又，∴[来源:
学§科§网]
∴，∴，由三垂线定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴
考点：
三垂线定理
10、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：
平面∥平面.
证明：
∵、分别是、的中点，∥
又平面，平面∥平面
∵四边形为平行四边形，∥
又平面，平面∥平面
，平面∥平面
考点：
线面平行的判定（利用三角形中位线）
11、如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求证：
平面平面.
证明：
（1）设，
∵、分别是、的中点，∥
又平面，平面，∥平面
（2）∵平面，平面，
又，，平面，平面，平面平面
考点：
线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12、已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求直线与平面所成的角．
证明：
在中，，
∵平面，平面，
又，平面
（2）为与平面所成的角
在，，在中，
在中，，
考点：
线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：
平面；
（2）求证：
；
（3）求二面角的大小．
证明：
（1）为等边三角形且为的中点，
又平面平面，平面
（2）是等边三角形且为的中点，
且，，平面，
平面，
（3）由，∥，
又，∥，
为二面角的平面角
在中，，
考点：
线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
14、如图1,在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：
平面MBD．
证明：
连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，
∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥．
设正方体棱长为，则，．
在Rt△中，．∵，∴．
∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD．
考点：
线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直
15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：
AH⊥平面BCD．
证明：
取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴平面CDF．
∵平面CDF，∴．
又，，
∴平面ABE，．
∵，，，
∴平面BCD．
考点：
线面垂直的判定
16、证明：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
证明：
连结AC
∴AC为A1C在平面AC上的射影
考点：
线面垂直的判定，三垂线定理
17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：
平面ABC⊥平面BSC．
证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=a，
AO2=AC2－OC2=a2－a2=a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．
考点：
面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
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