四年级奥数有余除法的应用.docx

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四年级奥数有余除法的应用

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：

（1）当

时：

我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

（2）当

时：

我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:

如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

（一）余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

（二）余数的减法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：

23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

（三）余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：

如果a与b除以m的余数相同，那么

与

除以m的余数也相同．

模块一、简单的有余数除法

【例1】在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数。

（1）17÷（）=（）······2

（2）（）÷4=8······（）

（3）（）÷（）=3······5，（除数小于9）

【巩固】在下列每个算式中的两个括号内，填上所有可能的数．

（1）62÷（）=5······（）

（2）（）÷3=6······（）

（3）38÷（）=（）······3

（4）（）÷（）=5······2，被除数小于35．

【例2】已知57除以8，商为（），余数为（），被除数与除数同时扩大675倍，则商为（），余数为（）．

【巩固】已知255510除以3003，商为（），余数为（），被除数与除数同时缩小255倍，则商为（），余数为（）．

【例3】1992年1月1日是星期三，阳历2004年1月1日是星期几？

【巩固】1998年元旦是星期五，1999年元旦是星期几？

2000年元旦是星期几？

2001年元旦是星期几？

【例4】节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共有2013盏，从第1盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3

【例5】盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去．问：

（1）第1982盏灯是什么颜色？

（2）蓝灯共有多少盏？

【巩固】下面写了一组自然数：

1，10，11，20，21，30，31，40，41……如果按照这个规律写下去，那么第2003个位置的数被13除余几？

【例6】电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。

现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里。

一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。

问：

这两个圆圈里数字的乘积是多少？

【巩固】如图是一钟面共分成12格，设时针刚好对正12，若将时针按顺时针方向向前拨动365格，再按逆时针方向向前拨动263格，再按顺时针方向向前拨动462格，再按逆时针方向向前拨动392格，这时时针应指向多少点？

【例7】甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从1起按下面顺序进行：

甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、丙报5、乙报6、甲报7、乙报8、丙报9……这样，报2003这个数的是谁？

【巩固】把自然数中的单数1、3、5、7、9，……，如右表所示依此排成列，把最左边的一列叫做第1列，从左到右依此叫做第2列，……，第5列。

问数“2003”出现在第几列？

【例8】582除以一个数所得的不完全商是11，并且除数与余数的差是6，除数、余数各是多少？

【巩固】两个数相除商5余3。

如果被除数、除数都扩大到原来的2倍，则被除数、除数、商、余数之和为101。

求原来的被除数和除数。

模块二、有余数除法三大定理

【例9】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．

【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

【例10】求

的余数．

【巩固】求

除以17的余数．

【例11】【例10】

与

的和除以7的余数是________．

【巩固】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【例12】有一个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？

【巩固】有一个数，除以3余1，除以5余2，除以7余3，求适合条件的最小数是多少？

【例13】有一类自然数，其中每个数与3的和都是5的倍数，与4的差都是7的倍数。

这类自然数中最小的是多少？

【巩固】50以内被5除余2，被6除余5的数是什么？

（以下内容选讲）

【例14】有一个大于1的整数，除

所得的余数相同，求这个数．

【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数．

【例15】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为

，

，

，则这个自然数是多少？

【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？

【例16】【例15】两位自然数

与

除以7都余1，并且

，求

．

【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【随练1】用一个两位数除709，余数为44，这个两位数是多少？

【随练2】有李子一堆，按甲、乙、丙、丁、甲、乙······的顺序轮流分派，每次每人一个，如果丙分得最后一个，这堆李子有个。

【随练3】6100被300除，得（）

A.商2余10B.商20余1C.商20余10D.商20余100E.商200余100

【随练4】有这样的整数，它除以6所得的商与余数相同，所有这样的数之和是。

【随练5】被除数是431，余数是11，那么商最大是（）。

A.35B.70C.105D.210E.420

【随练6】某数除以17，商是5，余数是2，这个数除以10，余数是．

【随练7】在两位数中，除以8的商和余数都相等的数有个．

【随练8】566除以一个数所得的商是12，并且除数与余数的差是6，余数是．

【随练9】求

除以9的余数．

【随练10】求

的个位数字．

【作业1】甲数除以9，商12余7；乙数除以9，商28余8；丙数除以9，商3余6．甲数、乙数、丙数之和除以9，余数是多少?

【作业2】阳历1999年1月1日是星期五,阳历2002年6月1日是星期几？

【作业3】有红、黄、蓝珠共298个，按着先摆红珠4个，再摆黄珠5个，后摆蓝珠6个，这样依次顺序排列．问:

：

（1）第201珠是什么颜色？

（2）蓝珠共有多少个？

【作业4】

】有a、b、c、d四条射线（如右图）,从射线a开始按箭头方向从1开始依次在上a、b、c、d上写上整数1，2，3，4，5……

（1）整数303在a、b、c、d中哪条射线上？

（2）直线a上第99个整数是什么？

【作业5】某班学生列队时，排成三路纵队多1人，排成四路纵队多2人，排成五路纵队多3人．那么这班学生至少有多少人？

【作业6】三个数：

23、51、72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是．

【作业7】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是

、

、

，求这个自然数和

的值．

【作业8】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？

【作业9】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人．那么一起做游戏的小朋友至少有人．

【作业10】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是．