对角互补模型+培优练习.docx
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对角互补模型+培优练习
对角互补+角平分线模型
已知，四边形ABCD,ZB+ZD=180°,AC平分二BCD
结论二AB=AD
结论二的证明有三种方法
1四点共圆2双垂法3旋补法
其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。
下面,我介绍双垂法和旋补法。
方法一：
双垂法
A
证明：
分别过A作CD和CB得垂线AM和AN
ZAC平分二BCDZAM=AN
B+ZD=180°
ABN=ZD
ABNZZADM
AB=AD
方法二：
旋补法
证明：
延长CD到E,作等腰二ACE
CAC=AE,ZAEC=ZACE=ZACB又口ZB+rD=180°
□二B二匚ADE
匚二ABCZZADE
匚AB=AD
其实匚二B-二D=180。
二AC平分二BCD二AB=AD只要给岀其中任意俩个条件，必泄能推出第三个，大家可以自己用双垂法试试。
已知，四边形ABCD,匚B+二D=180。
，AC平分匚BCD
结论二BC+CD=2ACcose
证明：
过A作AFZCD
由结论匚可知：
二ACE为等腰三角形，且BC=DE
匚BC+CD=CE=2CF
又二CF=ACcos9
二BC+CD=2CF=2ACcos0
已知，四边形ABCD,ZB+ZD=180°,AC平分二BCD结论二四边形ABCD的面积二等腰三角形ACE的面积=AC2sin0cose
•••黄丝绿，把黄割补到绿的位置
・••四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积
VACE的面积二AF*CF
（其中AF=ACsin0,CF=ACcos0）
•••四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC2sinecosG
特別地，当二BCD=120°时，BC+CD=2ACcos60°=AC
四边形ABCD而积=正三角形ACE面积
特别地，当二BCD=90°时，BC+CD=2ACcos45°=AC
四边形ABCD而积=等腰直角三角形ACE而积
C
对角互补专题探究
（一）
基本图形：
如图1，在四边形FBDE中，：
lEQF+r£EF=1800,旋转ZFBE得到ZHBI,求证：
、FBHsHEBI;
如图2,在四边形FEDE中，二EDF+二EBF=\8$,连接BD,ZDBE=ZCBF,若HBCD为等边三角形，探究：
线段DE、DF、肋之间的数量关系:
如图3,在四边形FBDE中，二EDF+匚£BF=180。
，连接BD.ZDBE=ZCBF,若BD丄DC上DCB=32
探究：
线段DE、DF、肋之间的数量关系:
例L已知直角梯形.4BCD..1DZBC,ZJ=90°,二EBF=H
⑴当.1D:
J5=1：
V3,ZC=6O°时，如图1所示，求证：
DE+DF=BC;
⑵.当.Wl£8=1:
1XC=45°时，如图2所示，则线段DE、DF、BC之间的数量关系
■
⑶.在⑵的条件，如图3所示，若AB=2时，3BVQMC,连接AT、F胚若AF与BE交于点N,当二密Af=45。
时,求线段NF的长度.
变式训练:
1.已知直角梯形ABCD,AD二BC吕二i=9g二C=6FJDH二BC于HJP为BC上一点,作二£PF=60°Jt角的两边分别交于E,交CD于F.
（1）.如图1，当点P在点E处时，求证：
2AE+CF=2CH-
⑵•如图2,当点P在点H处时，线段J£、CF、CH的数量关系为;
⑶.在
（2）的条件下，连接FB、EEFB与FH交于点K、若AB=2羽廿=何，求线段広的
2.已知平行四边形ABCD二C=60。
点E、F分别为拡）、CQ上两点二EBF=H
（1）.如图1,当AB=BC时，求证：
CF+AE=BC；
（2）.如图2,当.1B=-BC时，线段：
CF—4E、EC三者之间有何数量关系:
7
例2.已知：
二ABC中，匚〃CB=900,二5=30。
，点P为边.15上的一点，匚EPF=9gPF与边FC交于点、FfE与边BC交于点E.设AP.PB=k
⑴如图1,当£=丄时，贝lj：
AF+BE丄返
32
（2）•如图2,当"1时，线段JF、BE.AB的数量关系为:
（3）
⑶.在⑵的条件下，如图3,连接CPNF交于点K,将FP沿着对称，对称后与CP交于点连接血，若JC=3,当MEZFP时，求tanZCEM的值.
变式训练:
1.等边二ABC中，BH为4C边上的高，点P为JB边中点,匚EPF=90\此角的两边与/C边交于点、F,与高BH交于点E.
（1）如图1,求uE:
FH+yi3BE=-.lB;
2
（2）如图2,则线段阳、BE.AB之间满足的关系式为:
（3）如图3,在
（2）的条件下，连接EF,直线EF与EC交于点N,将FV沿着FP对称，对称后与肿交于点胚若,」C=4朽丿胚时，求长度.
对角互补专题探究
（二）
1.直线m//7i,点/、B分别在直线加、n上，且点/在点E的右侧.点P在直线加上，出迁-拐.连接BP、
以PB为一边在PB右侧作等边△BPC,连接2C.过点P作加丄"于点D.
⑴当点P在/的右侧时（如图1）,求证：
BD^AC
（2）当点P在/的左侧时（如图2）,线段加与2C之间的数量关系为.
⑶在⑵的条件下，设PD交肋于点MPC交血于点M（如图3）一若5PBC的面积为于，求线段MV的长.
图3
2.如图，直线尸十低伙＞0）与x轴交于2与y轴交于D点O与点C是关于直线肋
3
对称，连接EC,若JC=4^.
⑴求《的值：
（2）点P为OE的中点，动点E从点E出发，每秒1单位速度沿向点刃运动，过点P做PE的垂线交AC于点F.当点F与点O重合时点E停止运动.设运动时间为t秒，HPHF面积为S,写出S与r点函数关系式，并直接写出自变量f的取值范围.
（）连接是否存在『值，使得伽乙FPH=».若存在请求r值，若不存在，说明理由.
7
对角互补专题探究（三）
例1.已知：
四边形ABCD中，二BC,.15三Q=DC,匚BADVADC,点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），二匹P为直角三角形，ZJEP=90°,二P=30。
，过点E作EM二BC交,妒于点M
（1）若二AW=120°（如图1）,求证：
BF+DE=EM；
（2）若二BQ=90o（如图2）,则线段肿、DE、的数量关系为.
（3）在⑴的条件下，若.9：
BF=3：
2,EM=7.求CE的长.
变式训练：
1.已知：
矩形肿CD中=k，点E、F分别在3、CB上运动，且AEAF=a（角a为锐
角），过E作EM//BC交AF于点M探究BF、DE.ME之间的数量关系为
（1）当K=®a=45°时，
（2）当K=®a=60°时，
⑶当K=®a=30。
时，
2.如图：
已知四过形.1BCD中竺=心ZD.4B=ZBCD=9Q\点E、F分别在CD、CE上运AH一
动，且Z.EAF=a（角a为锐角），过£作EM//BC交2F于点M,探究肋'、DE、MEN间的数捲关系为.
对角互补专题探究（四）
例2.已知:
四边形ABCD.AB=1D.二5=匚2>90。
二E」F=30。
过F作加二BC交于
（1）当匚AlD=60°lM（如图1所示），求证：
BE+FD=FM：
（2）当匚B1E90。
时（如图2所示），则线段恥，DF,加的数量关系为:
（3）在
（1）的条件下（如图3所示），连接场交应于点G,交AF于点K,交于点N,若BG.DKR5,加=14时，KV的长.
变式训练:
1・已知四边形zLSCD中,.1DUBC,AB=DC.二BAD==ADC,点F在CD边上运动（点E与C、£＞两点不重合）
（1）若二AW=90°（如图I）、AD=2AB,Z£L1F=45°,求证：
DF十2BE=FG
（2）若二AW=150°（如图2）,AB=1D.ZEJF=30°,则DF、BE、FG的数量关系为.
（3）在
（1）的条件下（如图3）DF=4AB=6.^线4F交直线BG于点H求GH的长.
2.已知：
四边形ABCD中，AD二BC“lB=CD=kAD二BAIX二ADC,点E在CD边上运动（点£与C、Z）两点不重合），将AE绕点A顺时针旋转30。
后与BC边交于点F,过点E作EMZBC交于点M.
（1）若k=\.ZBAD=12QQ（如图1）,求证QE+BF=LmE.
2
（2）若rL,ZBAD=9Q\如图2）,则线段场、肿\宓的数量关系为・
2
（3）在
（1）的条件下，若CE=2,AE=2*,求ME的长.
对角互补专题探究（五）
例3.如图1,正方形ABCD中，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于交边BC于0交边的延长线于N
（1）求证
⑵若PC：
PB=1:
3,那么线段0E与0N的数量关系为:
（3）
如图2,连接绕着点P旋转JCPM,角的两边分别交边AB.-W于点H、K,交边CD于点凡当四边形的而积为24,NIR：
RC=1：
2时，求.
变式训练：
1.已知：
在正方形.133中，P为直线上一点，连接BP.以肿为底边作等腰直角三角形二PBE,
连接
（1）如图1，当点P在线段-Q上时，求证:
AB十AP=“E;
（2）如图2,当点P在线段加的延长线上时，线段肿、廿、M的数量关系是
（3）
在
（2）的条件下，过点/作AF二PE吕F交EC的延长线于F,过点C作二DCF的平分线，交AF于点H,若肋=4四边形的而积为5,求线段CH的长.
2.已知等边三角形MC,点D为EC的中点，：
:
NDM=120。
两边分别交直线AC..IB分別于点M、N.
（1）如图1,求证:
mc=Lab+bn；
2
（2）如图2,线段MC、肋、BN的数量关系是；
（3）在
（2）的条件下，将：
:
NDM的两边DM、ZW分别反向延长，交血、zlC的延长线分别于点E、F,连接EF若BN=\,CM=2,求EF的长.
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