对角互补模型+培优练习.docx

1、对角互补模型+培优练习对角互补+角平分线模型已知，四边形 ABCD, ZB+ZD=180, AC 平分二BCD结论二AB=AD结论二的证明有三种方法1四点共圆 2双垂法 3旋补法其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。下面, 我介绍双垂法和旋补法。方法一：双垂法A证明：分别过A作CD和CB得垂线AM和ANZAC 平分二BCD ZAM=ANB+ZD=180ABN=ZDABNZZADMAB=AD方法二：旋补法证明：延长CD到E,作等腰二ACEC AC=AE, ZAEC=ZACE=ZACB 又口 ZB+rD=180二 B二匚 ADE匚二ABCZZADE匚 AB=AD

2、其实 匚二B-二D=180。二AC 平分二BCD二AB=AD 只要给岀其中任意俩个条件，必泄能推出第三个， 大家可以自己用双垂法试试。已知，四边形ABCD,匚B+二D=180。，AC平分匚BCD结论二 BC+CD=2ACcose证明：过A作AFZCD由结论匚可知：二ACE为等腰三角形，且BC=DE匚 BC+CD=CE=2CF又二 CF=ACcos9二 BC+CD=2CF=2ACcos0已知，四边形 ABCD, ZB+ZD=180, AC 平分二BCD 结论二四边形ABCD的面积二等腰三角形ACE的面积=AC2sin0cose黄丝绿，把黄割补到绿的位置四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积

3、VACE 的面积二AF*CF(其中 AF=ACsin0,CF=ACcos0)四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC2sinecosG特別地，当二BCD=120时，BC+CD=2ACcos60=AC四边形ABCD而积=正三角形ACE面积特别地，当二BCD=90时，BC+CD=2ACcos45= AC四边形ABCD而积=等腰直角三角形ACE而积C对角互补专题探究（一）基本图形：如图1，在四边形FBDE中，：lEQF+rEF=1800,旋转ZFBE得到ZHBI,求证： 、FBHs HEBI;如图 2,在四边形 FEDE 中，二EDF+二EBF=8$,连接 BD, ZDBE=ZCBF,若H

4、BCD 为等边三角形，探究：线段DE、DF、肋之间的数量关系 :如图 3,在四边形 FBDE 中，二EDF+匚BF=180。，连接 BD. ZDBE=ZCBF,若 BD 丄 DC 上 DCB=32探究：线段DE、DF、肋之间的数量关系 :例 L已知直角梯形.4BCD.1DZBC, ZJ=90,二EBF=H当.1D:J5=1：V3,ZC=6O时，如图 1 所示，求证：DE+DF =BC;.当.Wl8=1:1 XC=45时，如图2所示，则线段DE、DF、BC之间的数量关系.在的条件，如图3所示，若AB=2时，3BVQMC,连接AT、F胚若AF与BE交于点N, 当二密Af=45。时,求线段NF的长度

5、.变式训练:1.已知直角梯形 ABCD, AD二BC吕二i=9g二C=6FJDH二BC 于 HJP 为 BC 上一点, 作二PF=60Jt角的两边分别交于E,交CD于F.(1).如图1，当点P在点E处时，求证：2 AE+CF=2CH-如图2,当点P在点H处时，线段J、CF、CH的数量关系为 ;.在(2)的条件下，连接FB、EEFB与FH交于点K、若AB=2羽廿=何，求线段広的2.已知平行四边形ABCD二C=60。,点E、F分别为拡)、CQ上两点二EBF=H(1).如图 1,当 AB=BC 时，求证：CF+AE=BC；(2).如图2,当.1B=-BC时，线段：CF4E、EC三者之间有何数量关系

6、:7例2.已知：二ABC中，匚CB=900,二5=30。，点P为边.15上的一点，匚EPF=9gPF与边FC 交于点、FfE与边BC交于点E.设AP.PB=k如图1,当=丄时，贝lj： AF+ BE丄返3 2(2)如图2,当1时，线段JF、BE. AB的数量关系为 :(3).在的条件下，如图3,连接CPNF交于点K,将FP沿着对称，对称后与CP交于点 连接血，若JC=3,当MEZFP时，求tanZCEM的值.变式训练:1.等边二ABC中，BH为4C边上的高，点P为JB边中点,匚EPF=90此角的两边与/C边 交于点、F,与高BH交于点E.(1)如图 1,求uE:FH+yi3BE=-.lB;2(

7、2)如图2,则线段阳、BE. AB之间满足的关系式为 :(3)如图3,在(2)的条件下，连接EF,直线EF与EC交于点N,将FV沿着FP对称，对称 后与肿交于点胚若,C=4朽丿胚时，求长度.对角互补专题探究（二）1.直线m/7i,点/、B分别在直线加、n上，且点/在点E的右侧.点P在直线加上，出迁 -拐.连接BP、以PB为一边在PB右侧作等边BPC,连接2C.过点P作加丄于点D.当点P在/的右侧时（如图1）,求证：BDAC（2）当点P在/的左侧时（如图2）,线段加与2C之间的数量关系为 .在的条件下，设PD交肋于点M PC交血于点M（如图3） 一若5PBC的面积为于， 求线段MV的长.图32.

8、如图，直线尸十低伙0)与x轴交于2与y轴交于D点O与点C是关于直线肋3对称，连接EC,若JC=4.求的值：(2)点P为OE的中点，动点E从点E出发，每秒1单位速度沿向点刃运动，过点P做 PE的垂线交AC于点F.当点F与点O重合时点E停止运动.设运动时间为t秒，HPHF 面积为S,写出S与r点函数关系式，并直接写出自变量f的取值范围.()连接是否存在值，使得 伽乙FPH=.若存在请求r值，若不存在，说明理由.7对角互补专题探究（三）例1.已知：四边形ABCD中，二BC, .15三Q=DC,匚BADVADC,点E在CD边上运 动（点E与C、D两点不重合），二匹P为直角三角形，ZJEP=90,二P=

9、30。，过点E作 EM二BC交,妒于点M（1） 若二AW=120（如图 1）,求证：BF+DE=EM；（2） 若二BQ=90o（如图2）,则线段肿、DE、的数量关系为 .（3） 在的条件下，若.9： BF=3： 2, EM=7.求CE的长.变式训练：1.已知：矩形肿CD中= k，点E、F分别在 3、CB上运动，且AEAF = a（角a为锐角），过E作EM/BC交AF于点M探究BF、DE. ME之间的数量关系为(1)当 K= a =45时， (2)当 K= a =60时， 当 K= a =30。时， 2.如图：已知四过形.1BCD中竺=心 ZD.4B=ZBCD=9Q点E、F分别在CD、CE上运

10、AH 一动，且Z.EAF=a （角a为锐角），过作EM/BC交2F于点M,探究肋、DE、MEN 间的数捲关系为 .对角互补专题探究（四）例2.已知:四边形ABCD. AB=1D.二5=匚290。,二EF=30。,过F作加二BC交于（1） 当匚AlD=60lM（如图 1 所示），求证：BE+FD=FM：（2） 当匚B1E90。时（如图2所示），则线段恥，DF,加的数量关系为 :（3） 在（1）的条件下（如图3所示），连接场交应于点G,交AF于点K,交于点N, 若BG.DKR5,加=14时，KV的长.变式训练:1已知四边形zLSCD中,.1DUBC, AB=DC.二BAD=ADC,点F在CD边上运

11、动（点E与 C、两点不重合）（1）若二AW=90（如图 I）、AD=2AB, ZL1F=45,求证：DF十2BE=FG（2 ）若二 AW=150（如图 2）, AB=1D. ZEJF=30,则 DF、BE、FG 的数量关系 为 .（3）在（1）的条件下（如图3） DF=4AB=6.线4F交直线BG于点H 求GH的长.2.已知：四边形ABCD中，AD二BC“lB=CD=kAD二BAIX二ADC,点E在CD边上运动（点 与C、Z）两点不重合），将AE绕点A顺时针旋转30。后与BC边交于点F,过点E作EMZBC 交于点M.（1） 若 k=. ZBAD=12QQ（如图 1）,求证QE+BF=LmE.2

12、（2） 若rL, ZBAD=9Q如图2）,则线段场、肿宓的数量关系为 2（3） 在（1）的条件下，若CE=2, AE=2*,求ME的长.对角互补专题探究(五)例3.如图1,正方形ABCD中，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平 分线交边DC于交边BC于0 交边的延长线于N(1)求证若PC： PB=1:3,那么线段0E与0N的数量关系为 :(3)如图2,连接绕着点P旋转JCPM,角的两边分别交边AB. -W于点H、K, 交边CD于点凡当四边形的而积为24, NIR： RC=1： 2时，求.变式训练：1.已知：在正方形.133中，P为直线上一点，连接BP.以肿为底边作等腰直角三角形

13、二 PBE,连接(1)如图1，当点P在线段-Q上时，求证:AB十AP=“E;(2)如图2,当点P在线段加的延长线上时，线段肿、廿、M的数量关系是 (3)在(2)的条件下，过点/作AF二PE吕F交EC的延长线于F,过点C作二DCF的平分 线，交AF于点H,若肋=4四边形的而积为5,求线段CH的长.2.已知等边三角形MC,点D为EC的中点，：:NDM=120。两边分别交直线AC. .IB分別于 点 M、N.(1)如图 1,求证:mc= Lab+bn；2(2)如图2,线段MC、肋、BN的数量关系是 ；(3)在(2)的条件下，将：:NDM的两边DM、ZW分别反向延长，交血、zlC的延长线分 别于点E、F,连接EF若BN=, CM=2,求EF的长.