高中数学思想方法之反证法培优题库及详解高难度百题.docx
《高中数学思想方法之反证法培优题库及详解高难度百题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学思想方法之反证法培优题库及详解高难度百题.docx（60页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学思想方法之反证法培优题库及详解高难度百题
高中数学思想方法之反证法培优题库及详解（高难度百题）
一、解答题（共100小题；共1300分）
1.求证：
质数共有无穷多个．
2.已知与是异面直线．求证：
过且平行于的平面只有一个．
3.如图，正方体中，、分别是、的中点．问：
（1）和是否是异面直线?
请说明理由；
（2）和是否是异面直线?
请说明理由．
4.已知等差数列中三个相邻的数、、都是正数，且公差不为零．求证：
它们的倒数所组成的数列、、不可能成等差数列．
5.如图，已知直线，，，，，．求证：
与中至少有一条与相交．
6.已知为实数，，，，证明：
，，中至少有一个不小于．
7.设，，且．求证：
（1）；
（2）与不可能同时成立．
8.求证：
任意三角形中，必有两个内角的和大于．
9.设在上为单调函数，试证方程在上至多有一个实根．
10.求证：
形如的正整数（为自然数数）不能写成两个整数的平方和．
11.用反证法证明：
若，则且．
12.用反证法证明：
如果一个三角形的两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等．
13.
（1）已知命题“，都是奇数，则是奇数”，试写出该命题的逆命题，否命题及逆否命题，并判断其真假；
（2）若，都是实数，且，求证：
和中至少有一个成立．
14.已知，若，则，中至少有一个不小于．
15.设平面四边形的内角分别为，，，．求证：
，，，中至少有一个角大于等于．
16.设函数中，，，均为整数，且均为奇数．
求证：
无整数根．
17.若，求证：
，，不可能都是奇数．
18.已知，，．求证：
，中至少有一个不小于．
19.求证：
方程（为常数）的解唯一．
20.已知，且，求证：
与中至少有一个小于．
21.设函数中的系数，，均为整数，且，均为奇数．求证：
方程无整数根．
22.若函数在区间上是增函数，那么方程在区间上至多有一个实根．
23.已知，且，求证：
，中至少有一个小于．
24.已知平面和一点，求证：
过点与垂直的直线只有一条．
25.已知，，，，．求证：
26.求证：
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
27.已知，且，．求证：
，，，中至少有一个是负数．
28.在中，，，的对边分别为，，，若，，三边的倒数成等差数列，求证：
．
29.已知下列三个方程：
，，至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．
30.已知，，且，求证：
，中至少有一个小于．
31.设为实系数二次函数，证明：
，，中至少有一个不小于．
32.若，且，求证：
与中，至少有一个成立．
33.用反证法证明：
"在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．"
34.设，，均为奇数，求证：
无整数根．
35.已知向量，为非零向量，且向量，不平行，求证：
向量与向量不平行．
36.推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功．请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题．
已知，，，．求证：
全为正数．
37.设与是定义在上的函数，求证：
存在、，使．
38.已知，为夹在两个平行平面，间的线段，，分别为线段，中点，求证：
．
39.已知数列和是公比不相等的两个等比数列，．求证：
数列不是等比数列．
40.设，求证：
，，不可能同时大于．
41.已知，，，且，，求证：
，为异面直线．
42.，，，，，求证：
，，中至少有一个大于．
43.已知的三边长，，的倒数成等差数列，求证：
．
44.平面内有四个点，，，，，任意三个点都不共线，证明：
以其中任意三个点为定点的三角形不可能都是锐角三角形．
45.已知，且，求证：
．
46.已知，求证：
方程，，中至少有一个方程有实数解．
47.已知，，，证明：
，，都大于零．
48.实数，，，满足，．求证：
，，，中至少有一个是负数．
49.已知函数，证明方程没有负数根．
50.已知直线与直线和分别交于，且，求证：
过，，有且只有一个平面．
51.证明：
，，不可能是同一等差数列中的三项．
52.巳知函数在上是增函数，，．
（1）求证：
如果，那么．
（2）判断
（1）中命题逆命题是否成立?
并证明你的结论．
53.设是公比为的等比数列．
（1）推导的前项和公式；
（2）设，证明数列不是等比数列．
54.设，，为实数，，．记集合，，若，分别为集合元素，的元素个数．
（1）当，，时，求，．
（2）试判断是否存在一组实数，，，使得，且?
若有，请写出实数，，的值；若无，请说明理由．
55.已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：
数列中不存在三项按原来顺序成等差数列．
56.如果无穷数列满足下列条件：
①；②存在实数，使．其中，那么我们称数列为数列．
（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；
（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，，．证明：
数列是数列；
（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：
．
57.如图，在四棱柱中，，，，．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）若，判断直线与平面是否垂直?
并说明理由．
58.已知.
（1）求：
；
（2）求证：
，，中至少有一个不小于.
59.过两条异面直线中一条上的各点，作另一条直线的平行线．求证：
这些平行线必在同一平面内．
60.在四边形中，已知．求证：
是矩形．
61.如图所示，垂直于圆所在的平面，是圆的直径，是圆上的一点，，分别是点在，上的正投影，给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确命题的序号是 ．
62.如图所示，在中，，，，为垂足．求证：
不可能是的垂心．
63.求证：
当关于的方程有两个不相等的非零实数根时，．
64.已知函数．
（1）证明在上为增函数；
（2）用反证法证明没有负根．
65.已知，，，求证：
，至少有一个小于．
66.已知数列是公比为的等比数列，是它的前项和，求证：
数列不是等比数列．
67.如图，已知三棱锥．求证：
对角线和是异面直线．
68.如图，已知为椭圆的左焦点，过点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于，及，．
（1）求证：
为定值；
（2）若直线交直线于点，试探究四边形能否为平行四边形，并说明理由．
69.已知曲线的方程为：
．
（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积；
（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：
关于是递增的；
（3）若方程，，没有正整数解，求证：
曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数．
70.已知，是正有理数，，是无理数，证明：
必为无理数．
71.设数列为单调递增的等差数列，，且，，依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，数列的前项和为，求同时满足下列两个条件的所有的值：
①对于任意正整数，都有；
②对于任意的，均存在，使得时，．
72.如图，是等腰三角形，，以为圆心，为半径作圆．
（1）证明：
直线与相切；
（2）点、在上，且、、、四点共圆，证明：
．
73.设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：
数列不是等比数列．
74.已知，，同时垂直于平面，又同时平行于直线．
求证：
（1）；
（2）.
75.已知，异面直线，分别在、内．
（1）求证：
，中至少有一条与相交；
（2）若，，在内过作异于的直线，在内过作异于的直线．求证：
，为异面直线．
76.如图，设椭圆．
（1）求直线被椭圆截得的线段长（用，表示）；
（2）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
77.证明：
对于直线，不存在这样的实数，使得直线与双曲线的交点，关于直线（为常数）对称．
78.若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称数列为“等比源数列”．
（1）在数列中，已知，．
①求数列的通项公式；
②试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列为等差数列，且，，求证：
数列为“等比源数列”．
79.已知函数在处的切线经过点．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
80.已知数列满足：
，．
（1）求证：
；
（2）求证：
．
81.已知椭圆的离心率为，为的右焦点，为的上顶点，坐标原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过点?
若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
82.求证：
一元二次方程（）至多有两个不相等的实数根．
83.过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是的中点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点且与直线垂直的直线和坐标轴分别交于，两点，记的面积为，的面积为，试问：
是否存在直线，使得?
请说明理由．
84.已知椭圆的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的上顶点，问椭圆上是否存在两点，，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在，说明这样的三角形有几个，若不存在，请说明理由．
85.已知函数图象上一点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；
（3）令，如果图象与轴交于，，中点为，求证：
．
86.对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．
（1）若，且具有性质，求的值；
（2）若具有性质，求证：
，且当时，；
（3）若具有性质，且，（为常数），求有穷数列，，，的通项公式．
87.已知数列满足：
，，且记集合．
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是的倍数，证明：
的所有元素都是的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值．
88.已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，，的最小值记为，．
（1）若为，，，，，，，，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
（2）设为非负整数，证明：
的充分必要条件为为公差为的等差数列；
（3）证明：
若，，则的项只能是或，且有无穷多项为．
89.设数列满足，且对任意正整数，中小于等于的项数恰为，中小于等于的项数恰为．
（1）求；
（2）求数列的通项公式．
90.数列的各项均为正数，且，的前项和是．
（1）若是递增数列，求的取值范围；
（2）若，且对任意，都有，证明：
．
91.已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的前项和；
（2）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，，使得，，成等比数列?
若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由．
92.已知等差数列的公差，等比数列的公比为，且数列的前项和为．
（1）若，，求整数的值；
（2）若，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和?
请说明理由；
（3）若，，（其中，且是的约数），证明数列中每一项都是数列中的项．
93.若无穷数列满足：
（i）对任意，；（ii）存在常数，对任意，，则称数列为“数列”．
（1）若数列的通项为（），证明：
数列为“数列”；
（2）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，
①证明：
对任意，，
②证明：
存在，数列，，，为等差数列．
94.设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．记．
（1）求证：
数列为等比数列；
（2）已知数列的前项分别为，，，．
（i）求数列和的通项公式；
（ii）是否存在元素均为正整数的集合，使得数列为等差数列?
证明你的结论．
95.已知定义在上的函数总有导函数，定义，，，是自然对数的底数．
（1）若，且，试分别判断函数和的单调性；
（2）若，．
①当时，求函数的最小值；
②设，是否存在，使得?
若存在，请求出一组，的值；若不存在，请说明理由．
96.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为．设单调递增，，．
（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设，证明对任意，存在，使得；
（3）证明：
“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．
97.如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中（）表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（1）对如下数表，求的值；
（2）证明：
存在，使得，其中；
（3）给定为奇数，对于所有的，证明：
．
98.设无穷等比数列的公比为，且，表示不超过实数的最大整数（如），记，数列的前项和为，数列的前项和为．
（1）若，，求；
（2）若对于任意不超过的正整数，都有，证明：
．
（3）证明：
的充分必要条件为，．
99.设个不全相等的正数，，，依次围成一个圆圈．
（1）若，且，，，是公差为的等差数列，而，，，，是公比为的等比数列；数列，，，的前项和满足：
，，求通项；
（2）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
．
100.已知集合，其中，，称为的第个坐标分量，若，且满足如下两条性质：
中元素个数不少于个；
，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；
则称为的一个好子集．
（1）为的一个好子集，且，，写出，；
（2）若为的一个好子集，求证：
中元素个数不超过；
（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：
一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．
答案
第一部分
1.假设共有有限个质数，设为个，分别记为，，，，则任何一个大于的整数均可以表示成这几个数中的一个或若干个的积，即任何一个大于的整数均能被其中的一个或若干个整除．构造一个整数，则它不能被，，，中的任何一个整除．这与上面的结论产生了矛盾，所以假设不成立，即质数有无穷多个．
2.
如图，假设过直线且平行于直线的平面有两个，分别为、．
在直线上取点，则过和确定一平面，
且与，分别交于过点的直线，．
因为，
所以．
同理，
所以．
这与，相交于点矛盾.
所以和重合，
故满足题设条件的平面是唯一的．
3.
（1）和不是异面直线．理由如下：
如图，连接，，．
因为、分别是、的中点，
所以．
又因为，，
所以为平行四边形，
所以，
所以，
所以，，，在同一平面内，
故和不是异面直线．
（2）和是异面直线．理由如下：
因为是正方体，所以，，，不共面．
假设与不是异面直线，
则存在平面，使，，
所以，，，，与，，，不共面矛盾．
所以假设不成立，
即与是异面直线．
4.假设、、成等差数列，则=+．
由题意知，即．
把②代入①，得，所以，整理，得，即．
这与数列的公差不为零相矛盾，所以假设不成立，故、、不可能成等差数列．
5.假设与都不与相交，
因为，，
所以，．
又，，，
所以，，所以．
这与已知，是相交直线矛盾，因此假设不成立，
故与中至少有一条与相交．
6.假设，，都小于，则有．
又因为，
这与矛盾．
故，，中至少有一个不小于．
7.
（1）由，，，得．
由基本不等式及，有，即．
（2）假设与同时成立，则由及得．
同理，，
从而，这与矛盾，
故与不可能同时成立．
8.（用反证法）
假设中任意两个内角的和都不大于，
即有
则得，
则有，与三角形内角和等于矛盾，
所以假设错误，原命题正确．
9.（反证法）假设在上至少有两个实根，，且．
不妨设，则．
因为在上是单调函数，
所以当时，或，与矛盾．
所以方程在上至多有一个实根．
10.假设某一正整数可以写成两个整数的平方和：
．
易知奇偶性不同，不妨设，
则，
化简后为．
左右奇偶性不一致，故上式不可能成立，因此假设错误，原命题成立．
11.假设或，
（1）当时，则；
（2）当时，则均与已知矛盾．
且
12.假设这两边所对的角相等，那么这两条边就相等．这与已知矛盾．故原命题成立；
13.
（1）逆命题：
若是奇数，则，都是奇数，假命题；
否命题：
若，不都是奇数，则不是奇数，假命题；
逆否命题：
若不是奇数，则，不都是奇数，假命题．
（2）若，中有一个小于，不妨设，则，，
若，均大于，假设，，
与已知条件矛盾，所以假设不成立．
综上，和中至少有一个成立．
14.假设，都小于，即，，则，这与矛盾，故原命题成立．
15.假设，，，四个角均小于．则．这与四边形内角和等于矛盾．
所以，，，中至少有一个角大于等于．
16.假设有整数根，则．
而，均为奇数，即为奇数，为偶数．则同时为奇数或同时为偶数，为奇数．
当为奇数时，为偶数；
当为偶数时，也为偶数．
即为奇数，与矛盾．
所以无整数根．
17.假设，，都是奇数，则，，都是奇数，因此为偶数，而为奇数．
即，与矛盾，所以假设不成立．原命题成立．
18.假设，都小于，即，，则有．
而．
这与假设得出的结论相矛盾，故假设不成立．所以原结论成立．
19.法一：
原方程可变形为．设，则，
所以函数在上单调递增，所以方程的解唯一．
法二：
设该方程的解不唯一，则至少有两个解，，于是，．
两式相减、化简，得．
因为，所以，
即．
又因为，所以，这是不可能的．
故方程的解唯一．
20.假设与均不小于，即，．
所以，．
将两式相加得，与已知矛盾．
故与中至少有一个小于．
21.假设有整数根，则．
又，，
因为，均为奇数，
所以为奇数，且为偶数，
因此，同为奇数或同为偶数．
当为奇数时，无论，同为奇数或同为偶数，均为偶数；
当为偶数时，必为偶数，因此恒为奇数．
这与为偶矛盾．
所以无整数根．
22.假设方程在区间上至少有个实根，，不妨设，
因为函数在区间上是增函数，
所以，这与矛盾，
所以方程在区间上至多只有个实根．
23.假设，都不小于，即，，
所以，，
所以，
所以，这与已知矛盾，故假设不成立，原命题得证．
24.不论点在内或外，
设直线，垂足为（或），
假设这样的直线不止一条，还有一条直线．
设，确定的平面为，且．
于是在平面内过点有两条直线，垂直于，这是不可能的，
所以过点与垂直的直线只有一条．
25.假设，
因为，，
所以．
同理．
于是在平面内过点有两条直线与平行，这和平行公理矛盾，假设不成立，
所以．
26.已知：
直线，，．
求证：
．
证明：
证法一：
如图（）所示，
因为，
所以，确定一个平面，设为，
所以，．
又因为，，
所以和是两个不同的平面．
因为且，
所以．
假设与有公共点，则，即是与的公共点，这与已知矛盾．
所以假设不成立，故．
证法二：
假设直线与平面有公共点，则或．若点，则，这与矛盾；若点，又，，且与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线，
所以，异面，这与矛盾．
综上所述，假设错误，故．
证法三：
如图（）所示．
假设，
因为，
所以．
在平面内过点作直线，则，这与矛盾．
所以假设错误，故．
升级会员 