高中数学思想方法之反证法培优题库及详解高难度百题.docx

1、高中数学思想方法之反证法培优题库及详解高难度百题高中数学思想方法之反证法培优题库及详解（高难度百题） 一、解答题（共100小题；共1300分）1. 求证：质数共有无穷多个 2. 已知 与 是异面直线求证：过 且平行于 的平面只有一个 3. 如图，正方体 中， 、 分别是 、 的中点问： （1） 和 是否是异面直线?请说明理由；（2） 和 是否是异面直线?请说明理由 4. 已知等差数列中三个相邻的数 、 、 都是正数，且公差不为零求证：它们的倒数所组成的数列 、 、 不可能成等差数列 5. 如图，已知直线 ，求证： 与 中至少有一条与 相交 6. 已知 为实数，证明：， 中至少有一个不小于 7.

2、 设 ，且 求证：（1）；（2） 与 不可能同时成立 8. 求证：任意三角形中，必有两个内角的和大于 9. 设 在 上为单调函数，试证方程 在 上至多有一个实根 10. 求证：形如 的正整数（ 为自然数数）不能写成两个整数的平方和 11. 用反证法证明：若 ，则 且 12. 用反证法证明：如果一个三角形的两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等 13. （1）已知命题“， 都是奇数，则 是奇数”，试写出该命题的逆命题，否命题及逆否命题，并判断其真假；（2）若 ， 都是实数，且 ，求证： 和 中至少有一个成立 14. 已知 ，若 ，则 ， 中至少有一个不小于 15. 设平面四边形 的内角分别为

3、 ，求证：， 中至少有一个角大于等于 16. 设函数 中， 均为整数，且 均为奇数 求证： 无整数根 17. 若 ，求证：， 不可能都是奇数 18. 已知 ，求证：， 中至少有一个不小于 19. 求证：方程 （ 为常数）的解唯一 20. 已知 ，且 ，求证： 与 中至少有一个小于 21. 设函数 中的系数 ， 均为整数，且 ， 均为奇数求证：方程 无整数根 22. 若函数 在区间 上是增函数，那么方程 在区间 上至多有一个实根 23. 已知 ， 且 ，求证：， 中至少有一个小于 24. 已知平面 和一点 ，求证：过点 与 垂直的直线只有一条 25. 已知 ，求证： 26. 求证：如果不在一个平

4、面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 27. 已知 ，且 ，求证：， 中至少有一个是负数 28. 在 中， 的对边分别为 ，若 ， 三边的倒数成等差数列，求证： 29. 已知下列三个方程：， 至少有一个方程有实数根，求实数 的取值范围 30. 已知 ，且 ，求证：， 中至少有一个小于 31. 设 为实系数二次函数，证明：， 中至少有一个不小于 32. 若 ，且 ，求证： 与 中，至少有一个成立 33. 用反证法证明：在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等 34. 设 ， 均为奇数，求证： 无整数根 35. 已知向量 ， 为非零向量，且向量 ， 不平行，求证

5、：向量 与向量 不平行 36. 推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题 已知 ，求证： 全为正数 37. 设 与 是定义在 上的函数，求证：存在 、 ，使 38. 已知 ， 为夹在两个平行平面 ， 间的线段， 分别为线段 ， 中点，求证： 39. 已知数列 和 是公比不相等的两个等比数列，求证：数列 不是等比数列 40. 设 ，求证：， 不可能同时大于 41. 已知 ，且 ，求证：， 为异面直线 42. ，求证：， 中至少有一个大于 43. 已知 的三边长 ， 的倒数成等差数列，求证： 44. 平面内有四个点，任意三个点都不共线，证

6、明：以其中任意三个点为定点的三角形不可能都是锐角三角形 45. 已知 ，且 ，求证： 46. 已知 ，求证：方程 ， 中至少有一个方程有实数解 47. 已知 ，证明：， 都大于零 48. 实数 ， 满足 ，求证：， 中至少有一个是负数 49. 已知函数 ，证明方程 没有负数根 50. 已知直线 与直线 和 分别交于 ， 且 ，求证：过 ， 有且只有一个平面 51. 证明：， 不可能是同一等差数列中的三项 52. 巳知函数 在 上是增函数，（1）求证：如果 ，那么 （2）判断（1）中命题逆命题是否成立?并证明你的结论 53. 设 是公比为 的等比数列（1）推导 的前 项和公式；（2）设 ，证明数

7、列 不是等比数列 54. 设 ， 为实数，记集合 ，若 ， 分别为集合元素 ， 的元素个数（1）当 ， 时，求 ，（2）试判断是否存在一组实数 ，使得 ，且 ? 若有，请写出实数 ， 的值；若无，请说明理由 55. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 （1）求数列 的通项公式；（2）求证：数列 中不存在三项按原来顺序成等差数列 56. 如果无穷数列 满足下列条件： ；存在实数 ，使 其中 ，那么我们称数列 为 数列（1）设数列 的通项为 ，且是 数列，求 的取值范围；（2）设 是各项为正数的等比数列， 是其前 项和，证明：数列 是 数列；（3）设数列 是各项均为正整数的 数列，求证： 57. 如

8、图，在四棱柱 中， （1）求证：；（2）求证：；（3）若 ，判断直线 与平面 是否垂直?并说明理由 58. 已知 .（1）求：；（2）求证：， 中至少有一个不小于 . 59. 过两条异面直线中一条上的各点，作另一条直线的平行线求证：这些平行线必在同一平面内 60. 在四边形 中，已知 求证： 是矩形 61. 如图所示， 垂直于圆 所在的平面， 是圆 的直径， 是圆 上的一点， 分别是点 在 ， 上的正投影，给出下列结论： ； ； ； 其中正确命题的序号是 62. 如图所示，在 中， 为垂足求证： 不可能是 的垂心 63. 求证：当关于 的方程 有两个不相等的非零实数根时， 64. 已知函数 （

9、1）证明 在 上为增函数；（2）用反证法证明 没有负根 65. 已知 ，求证：， 至少有一个小于 66. 已知数列 是公比为 的等比数列， 是它的前 项和，求证：数列 不是等比数列 67. 如图，已知三棱锥 求证：对角线 和 是异面直线 68. 如图，已知 为椭圆 的左焦点，过点 且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 ， 及 ， （1）求证： 为定值；（2）若直线 交直线 于点 ，试探究四边形 能否为平行四边形，并说明理由 69. 已知曲线 的方程为：（1）分别求出 时，曲线 所围成的图形的面积；（2）若 表示曲线 所围成的图形的面积，求证： 关于 是递增的；（3）若方程 ，没有正整数解，求证：曲

10、线 上任一点对应的坐标 ， 不能全是有理数 70. 已知 ， 是正有理数， 是无理数，证明： 必为无理数 71. 设数列 为单调递增的等差数列，且 ， 依次成等比数列（1）求数列 的通项公式 ；（2）若 ，求数列 的前 项和 ；（3）若 ，数列 的前 项和为 ，求同时满足下列两个条件的所有 的值： 对于任意正整数 ，都有 ； 对于任意的 ，均存在 ，使得 时， 72. 如图， 是等腰三角形，以 为圆心， 为半径作圆 （1）证明：直线 与 相切；（2）点 、 在 上，且 、 、 、 四点共圆，证明： 73. 设 ， 是公比不相等的两个等比数列，证明：数列 不是等比数列 74. 已知 ， 同时垂直

11、于平面 ，又同时平行于直线 求证：（1） ；（2） . 75. 已知 ，异面直线 ， 分别在 、 内（1）求证：， 中至少有一条与 相交；（2）若 ，在 内过 作异于 的直线 ，在 内过 作异于 的直线 求证：， 为异面直线 76. 如图，设椭圆 （1）求直线 被椭圆截得的线段长（用 ， 表示）；（2）若任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 77. 证明：对于直线 ，不存在这样的实数 ，使得直线 与双曲线 的交点 ， 关于直线 （ 为常数）对称 78. 若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称数列 为“等比源数列”（1）在数列 中，已知 ， 求数列 的

12、通项公式； 试判断数列 是否为“等比源数列”，并证明你的结论（2）已知数列 为等差数列，且 ，求证：数列 为“等比源数列” 79. 已知函数 在 处的切线经过点 （1）讨论函数 的单调性；（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围 80. 已知数列 满足：，（1）求证：；（2）求证： 81. 已知椭圆 的离心率为 ， 为 的右焦点， 为 的上顶点，坐标原点 到直线 的距离为 （1）求椭圆 的方程；（2）过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过点 ?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 82. 求证：一元二次方程 （）至多有两个不相等的实

13、数根 83. 过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点， 是 的中点 （1）求动点 的轨迹方程；（2）过点 且与直线 垂直的直线和坐标轴分别交于 ， 两点，记 的面积为 ， 的面积为 ，试问：是否存在直线 ，使得 ?请说明理由 84. 已知椭圆 的焦距为 ，且经过点 （1）求椭圆 的方程；（2）若 是椭圆 的上顶点，问椭圆 上是否存在两点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，说明这样的三角形有几个，若不存在，请说明理由 85. 已知函数 图象上一点 处的切线方程为 （1）求 的值；（2）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中 为自然对数的底，）；（3）令 ，如果

14、图象与 轴交于 ， 中点为 ，求证： 86. 对于数集 ，其中 ，定义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称 具有性质 例如 具有性质 （1）若 ，且 具有性质 ，求 的值；（2）若 具有性质 ，求证：，且当 时，；（3）若 具有性质 ，且 ，（ 为常数），求有穷数列 ， 的通项公式 87. 已知数列 满足：，且 记集合 （1）若 ，写出集合 的所有元素；（2）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明： 的所有元素都是 的倍数；（3）求集合 的元素个数的最大值 88. 已知 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 ， 的最小值记为 ，（1）若 为 ， 是一个周期

15、为 的数列（即对任意 ，），写出 ， 的值；（2）设 为非负整数，证明： 的充分必要条件为 为公差为 的等差数列；（3）证明：若 ，则 的项只能是 或 ，且有无穷多项为 89. 设数列 满足 ，且对任意正整数 ， 中小于等于 的项数恰为 ， 中小于等于 的项数恰为 （1）求 ；（2）求数列 的通项公式 90. 数列 的各项均为正数，且 ， 的前 项和是 （1）若 是递增数列，求 的取值范围；（2）若 ，且对任意 ，都有 ，证明： 91. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，（1）求数列 的前 项和 ；（2）设 ，若对一切正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（3）是否存在正整数 ， ，

16、使得 ， 成等比数列?若存在，求出所有的 ，；若不存在，说明理由 92. 已知等差数列 的公差 ，等比数列 的公比为 ，且数列 的前 项和为 （1）若 ，求整数 的值；（2）若 ，试问数列 中是否存在一项 ，使得 恰好可以表示为该数列中连续 项的和?请说明理由；（3）若 ，（其中 ，且 是 的约数），证明数列 中每一项都是数列 中的项 93. 若无穷数列 满足：（i）对任意 ，；（ii）存在常数 ，对任意 ，则称数列 为“ 数列”（1）若数列 的通项为 （），证明：数列 为“ 数列”；（2）若数列 的各项均为正整数，且数列 为“ 数列”， 证明：对任意 ， 证明：存在 ，数列 ， 为等差数列

17、94. 设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列记 （1）求证：数列 为等比数列；（2）已知数列 的前 项分别为 ， （i）求数列 和 的通项公式； （ii）是否存在元素均为正整数的集合 ，使得数列 为等差数列?证明你的结论 95. 已知定义在 上的函数 总有导函数 ，定义 ， 是自然对数的底数（1）若 ，且 ，试分别判断函数 和 的单调性；（2）若 ， 当 时，求函数 的最小值； 设 ，是否存在 ，使得 ?若存在，请求出一组 ， 的值；若不存在，请说明理由 96. 对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，则称 为余弦周期函数，且称 为其余弦周期已知 是以 为

18、余弦周期的余弦周期函数，其值域为 设 单调递增，（1）验证 是以 为余弦周期的余弦周期函数；（2）设 ，证明对任意 ，存在 ，使得 ；（3）证明：“ 为方程 在 上的解”的充要条件是“ 为方程 在 上的解”，并证明对任意 都有 97. 如图，设 是由 个实数组成的 行 列的数表，其中 （）表示位于第 行第 列的实数，且 记 为所有这样的数表构成的集合对于 ，记 为 的第 行各数之积， 为 的第 列各数之积令 （1）对如下数表 ，求 的值；（2）证明：存在 ，使得 ，其中 ；（3）给定 为奇数，对于所有的 ，证明： 98. 设无穷等比数列 的公比为 ，且 ， 表示不超过实数 的最大整数（如 ），

19、记 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 （1）若 ，求 ；（2）若对于任意不超过 的正整数 ，都有 ，证明：（3）证明： 的充分必要条件为 ， 99. 设 个不全相等的正数 ， 依次围成一个圆圈（1）若 ，且 ， 是公差为 的等差数列，而 ， 是公比为 的等比数列；数列 ， 的前 项和 满足：，求通项 ；（2）若每个数 是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： 100. 已知集合 ，其中 ， ，称 为 的第 个坐标分量，若 ，且满足如下两条性质： 中元素个数不少于 个； ，存在 ，使得 ， 的第 个坐标分量是 ； 则称 为 的一个好子集（1） 为 的一个好子集，且 ，写出 ， ；（2）若

20、 为 的一个好子集，求证： 中元素个数不超过 ；（3）若 为 的一个好子集，且 中恰有 个元素，求证：一定存在唯一一个 ，使得 中所有元素的第 个坐标分量都是 答案第一部分1. 假设共有有限个质数，设为 个，分别记为 ，则任何一个大于 的整数均可以表示成这几个数中的一个或若干个的积，即任何一个大于 的整数均能被其中的一个或若干个整除构造一个整数 ，则它不能被 ， 中的任何一个整除这与上面的结论产生了矛盾，所以假设不成立，即质数有无穷多个2. 如图，假设过直线 且平行于直线 的平面有两个，分别为 、 在直线 上取点 ，则过 和 确定一平面 ，且 与 ， 分别交于过 点的直线 ，因为 ，所以 同理

21、 ，所以 这与 ， 相交于点 矛盾. 所以 和 重合，故满足题设条件的平面是唯一的3. （1） 和 不是异面直线理由如下：如图，连接 ，因为 、 分别是 、 的中点，所以 又因为 ，所以 为平行四边形，所以 ，所以 ，所以 ， 在同一平面内，故 和 不是异面直线（2） 和 是异面直线理由如下：因为 是正方体，所以 ， 不共面假设 与 不是异面直线，则存在平面 ，使 ，所以 ，与 ， 不共面矛盾所以假设不成立，即 与 是异面直线4. 假设 、 、 成等差数列，则 = + 由题意知 ，即 把代入，得 ，所以 ，整理，得 ，即 这与数列的公差不为零相矛盾，所以假设不成立，故 、 、 不可能成等差数列

22、5. 假设 与 都不与 相交， 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 这与已知 ， 是相交直线矛盾，因此假设不成立， 故 与 中至少有一条与 相交6. 假设 ， 都小于 ，则有 又因为 ，这与 矛盾故 ， 中至少有一个不小于 7. （1） 由 ，得 由基本不等式及 ，有 ，即 （2） 假设 与 同时成立，则由 及 得 同理，从而 ，这与 矛盾，故 与 不可能同时成立8. （用反证法）假设 中任意两个内角的和都不大于 ，即有 则 得 ，则有 ，与三角形内角和等于 矛盾，所以假设错误，原命题正确9. （反证法）假设 在 上至少有两个实根 ，且 不妨设 ，则 因为 在 上是单调函数，所以当 时， 或

23、，与 矛盾所以方程 在 上至多有一个实根10. 假设某一正整数 可以写成两个整数的平方和： 易知 奇偶性不同，不妨设 ，则 ，化简后为 左右奇偶性不一致，故上式不可能成立，因此假设错误，原命题成立11. 假设 或 ，（1）当 时，则 ；（2）当 时，则 均 与已知矛盾 且 12. 假设这两边所对的角相等，那么这两条边就相等这与已知矛盾故原命题成立；13. （1） 逆命题：若 是奇数，则 ， 都是奇数 ，假命题；否命题：若 ， 不都是奇数，则 不是奇数 ，假命题；逆否命题：若 不是奇数，则 ， 不都是奇数，假命题（2） 若 ， 中有一个小于 ，不妨设 ，则 ，若 ， 均大于 ，假设 ， 与已知条

24、件矛盾，所以假设不成立综上， 和 中至少有一个成立14. 假设 ， 都小于 ，即 ，则 ，这与 矛盾，故原命题成立15. 假设 ， 四个角均小于 则 这与四边形内角和等于 矛盾所以 ， 中至少有一个角大于等于 16. 假设 有整数根 ，则 而 ， 均为奇数，即 为奇数， 为偶数则 同时为奇数或 同时为偶数， 为奇数当 为奇数时， 为偶数；当 为偶数时， 也为偶数即 为奇数，与 矛盾所以 无整数根17. 假设 ， 都是奇数，则 ， 都是奇数，因此 为偶数，而 为奇数即 ，与 矛盾，所以假设不成立原命题成立18. 假设 ， 都小于 ，即 ，则有 而 这与假设得出的结论相矛盾，故假设不成立所以原结论

25、成立19. 法一：原方程可变形为 设 ，则 ，所以函数在 上单调递增，所以方程的解唯一法二：设该方程的解不唯一，则至少有两个解 ，于是 ，两式相减、化简，得 因为 ，所以 ，即 又因为 ，所以 ，这是不可能的故方程 的解唯一20. 假设 与 均不小于 ，即 ，所以 ，将两式相加得 ，与已知 矛盾故 与 中至少有一个小于 21. 假设 有整数根 ，则 又 ，因为 ， 均为奇数，所以 为奇数，且 为偶数，因此 ， 同为奇数或同为偶数当 为奇数时，无论 ， 同为奇数或同为偶数， 均为偶数；当 为偶数时， 必为偶数，因此 恒为奇数这与 为偶矛盾所以 无整数根22. 假设方程 在区间 上至少有 个实根

26、，不妨设 ，因为函数 在区间 上是增函数，所以 ，这与 矛盾，所以方程 在区间 上至多只有 个实根23. 假设 ， 都不小于 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，这与已知矛盾，故假设不成立，原命题得证24. 不论点 在 内或 外，设直线 ，垂足为 （或 ），假设这样的直线不止一条，还有一条直线 设 ， 确定的平面 为 ，且 于是在平面 内过点 有两条直线 ， 垂直于 ，这是不可能的，所以过点 与 垂直的直线只有一条25. 假设 ，因为 ，所以 同理 于是在平面 内过点 有两条直线与 平行，这和平行公理矛盾，假设不成立，所以 26. 已知：直线 ，求证：证明：证法一：如图（）所示，因为 ，所以 ， 确定一个平面，设为 ，所以 ，又因为 ，所以 和 是两个不同的平面因为 且 ，所以 假设 与 有公共点 ，则 ，即 是 与 的公共点，这与已知 矛盾所以假设不成立，故 证法二：假设直线 与平面 有公共点 ，则 或 若点 ，则 ，这与 矛盾；若点 ，又 ，且与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线，所以 ， 异面，这与 矛盾综上所述，假设错误，故 证法三：如图（）所示假设 ，因为 ，所以 在平面 内过 点作直线 ，则 ，这与 矛盾所以假设错误，故