江苏省宿迁市届高三上学期第一次模拟考试数学试题Word版含答案.docx

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江苏省宿迁市届高三上学期第一次模拟考试数学试题Word版含答案

江苏省宿迁市2019届上学期第一次模拟考试

高三数学试题

参考公式：

1.柱体的体积公式：

，其中

是柱体的底面面积，

是高.

2.圆锥的侧面积公式：

，其中

是圆锥底面的周长，

是母线长.

一、填空题：

本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.

1.已知集合

，则

___________．

2.已知复数

（

为虚数单位），则

的模为___________．

3.函数

的定义域为__________．

4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出

的值为___________．

5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在

内的学生共有__________人．

6.在平面直角坐标系

中，已知双曲线

的一条渐近线方程为

，则该双曲线的离心率为____________．

7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为___________．

8.已知正四棱柱的底面边长为

，侧面的对角线长是

，则这个正四棱柱的体积是_________

9.若函数

的图象与直线

的三个相邻交点的横坐标分别是

，则实数

的值为__________．

10.在平面直角坐标系

中，曲线

上任意一点

到直线

的距离的最小值为__________．

11.已知等差数列

满足

，则

的值为___________．

12.在平面直角坐标系

中，若圆

上存在点

，且点

关于直线

的对称点

在圆

上，则

的取值范围是__________．

13.已知函数

，函数

，则不等式

的解集为_______.

14.如图，在

中，已知

为边

的中点.若

，垂足为

，则

的值为____________.

第Ⅱ卷（共90分）

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.

15.在

中，角

所对的边分别为

，且

.

（1）求

的值；

（2）若

，求

的面积.

16.如图，在直三棱柱

中，

分别是

的中点．

求证：

（1）

平面

；

（2）

.

17.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆

及其内接等腰三角形

绕底边

上的高所在直线

旋转180°而成，如图2.已知圆

的半径为

，设

，圆锥的侧面积为

.

（1）求

关于

的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积

最大.求

取得最大值时腰

的长度.

18.如图，在平面直角坐标系

，已知椭圆

的离心率为

，且过点

.

为椭圆的右焦点，

为椭圆上关于原点对称的两点，连接

分别交椭圆于

两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若

，求

的值；

（3）设直线

的斜率分别为

，是否存在实数

，使得

，若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由.

19.已知函数

.

（1）当

时，求函数

的极值；

（2）若存在与函数

的图象都相切的直线，求实数

的取值范围.

20.已知数列

，其前

项和为

，满足

，其中

，

.

（1）若

，求证：

数列

是等比数列；

（2）若数列

是等比数列，求

的值；

（3）若

，且

，求证：

数列

是等差数列.

江苏省宿迁市2019届高三上学期第一次模拟考试

数学试题参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．

1．

2．

3．

4．

5．7506．

7．

8．

9．

10．

11．

12．

13．

14．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

15．

（1）在

中，由

，得

为锐角，所以

，

所以

，

所以

.

（2）在三角形

中,由

，

所以

，由

，

由正弦定理

得

，

所以

的面积

.

16．

（1）证明：

取

的中点

，连结

因为

分别是

的中点，

所以

且

在直三棱柱

中，

，

，

又因为

是

的中点，

所以

且

.

所以四边形

是平行四边形，

所以

，

而

平面

，

平面

，

所以

平面

.

（2）证明：

因为三棱柱

为直三棱柱，所以

面

，

又因为

面

，

所以面

面

，

又因为

，所以

，

面

面

，

，

所以

面

，

又因为

面

，

所以

，即

，

连结

，因为在平行四边形

中，

，

所以

，

又因为

，且

，

面

，

所以

面

，

而

面

，

所以

.

17．

（1）设

交

于点

，过

作

，垂足为

，

在

中，

，

，

在

中，

，

所以

，

（2）要使侧面积最大，由

（1）得：

设

则

，由

得：

当

时，

，当

时，

所以

在区间

上单调递增，在区间

上单调递减，

所以

在

时取得极大值，也是最大值；

所以当

时，侧面积

取得最大值，

此时等腰三角形的腰长

答：

侧面积

取得最大值时，等腰三角形的腰

的长度为

18．

（1）设椭圆方程为

，由题意知：

解之得：

，所以椭圆方程为：

（2）若

，由椭圆对称性，知

，所以

，

此时直线

方程为

，

由

，得

，解得

（

舍去），

故

．

（3）设

，则

，

直线

的方程为

，代入椭圆方程

，得

，

因为

是该方程的一个解，所以

点的横坐标

，

又

在直线

上，所以

，

同理，

点坐标为

，

，

所以

，

即存在

，使得

．

19．

（1）函数

的定义域为

当

时，

，

所以

所以当

时，

，当

时，

，

所以函数

在区间

单调递减，在区间

单调递增，

所以当

时，函数

取得极小值为

，无极大值；

（2）设函数

上点

与函数

上点

处切线相同，

则

所以

所以

，代入

得：

设

，则

不妨设

则当

时，

，当

时，

所以

在区间

上单调递减，在区间

上单调递增，

代入

可得：

设

，则

对

恒成立，

所以

在区间

上单调递增，又

所以当

时

，即当

时

又当

时

因此当

时，函数

必有零点；即当

时，必存在

使得

成立；

即存在

使得函数

上点

与函数

上点

处切线相同．

又由

得：

所以

单调递减，因此

所以实数

的取值范围是

．

20．

（1）证明：

若

，则当

（

）,

所以

，

即

，

所以

，

又由

，

，

得

，

，即

，

所以

，

故数列

是等比数列．

（2）若

是等比数列，设其公比为

（

），

当

时，

，即

，得

，　　　　　　　　　　　①

当

时，

，即

，得

，　　　　　　　　　②

当

时，

，即

，得

，　　　　　　　　③

②①

，得

，

③②

，得

，

解得

．

代入①式，得

．此时

（

），

所以

，

是公比为１的等比数列，

故

．

（3）证明：

若

，由

，得

，

　　又

，解得

．

由

，

，

，

，代入

得

，

所以

，

，

成等差数列，

由

，得

，

两式相减得：

即

所以

相减得：

所以

所以

，

因为

，所以

，

即数列

是等差数列.