向量法证明不等式.docx

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向量法证明不等式

向量法证明不等式（精选多篇）

　　向量法证明不等式　　高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.假设在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，那么高中时期的向量即为n=2，3时的情形.　　设a，b是欧氏空间的两向量，且a=，b=　　规定a·b=·=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.　　，表示两向量的内积），有　　由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.　　一、利用向量模的和与和向量的模的不等式≤++≤.　　证明：

先证左边，设m=，n=，p=，　　则由　　综上，原不等式成立.　　点评：

利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.　　作单位向量j⊥ac　　j=jab　　jac+jcb=jab　　jcb=jab　　|cb|cos=|ab|cos　　即|cb|sinc=|ab|sina　　a/sina=c/sinc　　其余边同理　　在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i得i*ba+i*ac=0①依照向量内积概念，i*ba=c*cos=c*sinb,同理i*ac=bcos=b=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0因此b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,因此a/sina=b/sinb=c/sinc　　步骤1　　记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c　　∴a+b+c=0　　则i　　=i·a+i·b+i·c　　=a·cos）+b·0+c·cos　　=-asinc+csina=0　　接着得到正弦定理　　其他　　步骤2.　　在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。

作ch⊥ab垂足为点h　　ch=a·sinb　　ch=b·sina　　∴a·sinb=b·sina　　得到a/sina=b/sinb　　同理，在△abc中，　　b/sinb=c/sinc　　步骤3.　　证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

　　任意三角形abc,作abc的外接圆o.　　作直径bd交⊙o于d.连接da.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.　　所以c/sinc=c/sind=bd=2r　　类似可证其余两个等式。

　　运用向量可以证明不等式　　向量一章中有两处涉及到不等式，其一，　　?

a+?

b或-?

b；其二，?

b。

前者的几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，后者是数量积的性质，这两个结论用于证明不等式，可以使证明思路清晰明快，过程简单明了之功效。

　　一、利用a-b?

b证明不等式　　例1　　、函数f?

，a?

b，求证：

b　　解析：

b　　即?

b　　?

　　构造两个向量a?

，?

可?

以理解为两个向量的模的差a?

b，那么a?

b表示向量?

的模，其中a?

。

　　因此，原不等式等价于证明a?

b，其中a?

b，向量?

a和b不可能同向，不取等号。

　　二利用a?

ab证明不等式　　2222例2、已知实数mnxy满足m?

a,x?

b　　，求mx?

ny得最大值　　?

解析：

构造向量a?

，　　则a?

mx?

ny?

，因为a?

ab，所以mx?

ny　　?

my　　?

nx取最大值。

例3、已知a?

　　1,解析：

构造向　　量?

1m?

，n?

　　12?

，。

　　。

因为m?

n　　所以，　　?

2。

　　用向量法证明　　步骤1　　记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c　　∴a+b+c=0　　则i　　=i·a+i·b+i·c　　=a·cos）+b·0+c·cos　　=-asinc+csina=0　　接着得到正弦定理　　其他　　步骤2.　　在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。

　　任意三角形abc,作abc的外接圆o.　　作直径bd交⊙o于d.连接da.　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.　　所以c/sinc=c/sind=bd=2r　　类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

　　2　　设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形　　则向量a+b=2c平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c　　平方　　向量b-a=2d平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d　　平方　　+2a平方+2b平方=4d平方+4c平方　　c平方=1/2-d平方　　am=1/2-bm　　3　　已知ef是梯形abcd的中位线，且ad//bc，用向量法证明梯形的中位线定理　　过a做ag‖dc交ef于p点　　由三角形中位线定理有：

　　向量ep=½向量bg　　又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc　　∴向量pf=½　　∴向量ep+向量pf=½　　∴向量ef=½　　∴ef‖ad‖bc且ef=　　得证　　4　　先假设两条中线ad,be交与p点　　连接cp,取ab中点f连接pf　　pa+pc=2pe=bp　　pb+pc=2pd=ap　　pa+pb=2pf　　三式相加　　2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf　　3pa+3pb+2pc=2pf　　6pf+2pc=2pf　　pc=-2pf　　所以pc,pf共线，pf就是中线　　所以abc的三条中线交于一点p　　连接od,oe,of　　oa+ob=2of　　oc+ob=2od　　oc+oc=2oe　　三式相加　　oa+ob+oc=od+oe+of　　od=op+pd　　oe=op+pe　　of=op+pf　　oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp　　由第一问结论　　2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp　　2pa+2pb+2pc=0　　1/2ap+1/2bp+1/2cp　　所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op　　向量op=1/3　　构造法证明不等式　　由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.　　一、构造一次函数法证明不等式　　有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.　　例1设0≤a、b、c≤2，求证：

4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.　　证明：

视a为自变量，构造一次函数　　=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=a+，　　由0≤a≤2，知表示一条线段.又=b+c-2bc=≥0，　　=b+c-4b-4c+8=+≥0，　　可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.　　二、构造二次函数法证明不等式　　对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.　　例2实数a、b、c满足4a.　　证明：

由已知得a=0时，b≠c，否则与　　故a=0时，>4a成立.　　当a≠0时，构造二次函数=ax+x+，则有　　=a+b+c，=2，而·=2　　∴存在m，当-1　　不等式的证明　　点击要点　　1．作差比较法证明不等式的步骤是：

、、变形是手段，判断差的符号才是目的．常用的变形方法有：

配方法、通分法、因式分解法等．有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等．总之，变形到能即可．　　2．商比法：

若b＞0，欲证a≥b，只需证　　步骤：

；；判断商值与的大小关系．　　指数不等式常用证明．有时要用到指数函数的性质．如若a＞1，且x＞0，则等．学习策略　　解答本节习题应把握以下几个方面：

准确理解比较法的概念；综合应用作差比较法、作商比较法证明不等式；要注意等价转化的思想、化归思想的应用；本节知识易错点是不能合理运用因式分解和正确使用指数函数的性质解题。

　　高考展望　　本节知识在高考中以考查比较法证明不等式为主，考点有比较法证明不等式，经常与一次函数、二次函数、对数函数等知识结合考查，多以选择题、填空题为主。

　　练好你的基本功！

　　1．已知a、b、c∈r，那么，以下命题正确的选项是　　ab?

22a．a＞b?

ac＞bcb．cca＞b　　c．a3＞b3且ab＞0?

1111?

22abd．a＞b且ab＞0ab　　2．设a、b∈r，下面的不等式成立的是　　a．a2＋3ab＞b2b．ab－a＞b＋ab　　aa?

bb?

1d．a2＋b2≥2c．　　3．在横线上填写恰当的符号　　2x　　2若x∈r，且x≠1，那么，1?

x．　　若0＜a＜1，那么－a）．1413　　若a＞0，a≠1，那么loga_____loga．　　当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．　　4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．　　5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！

基础巩固题　　1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是　　1111?

a2?

ab．1?

a1?

aa．1?

a　　c．1?

a2?

1111?

a2?

a21?

a1?

ad．1?

a　　2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是　　11?

a．ab　　11?

b．a?

ba　　c．｜a｜＞｜b｜　　d．a2＞b2　　3．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是　　aa?

maa?

a．bb?

mb．bb?

m　　aa?

ma?

11?

mbc．bb?

md．　　4．设a、b∈r，用不等号连接以下两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．　　5．已知a＞b＞c，求证：

a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2　　综合应用题　　11?

1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是　　a．a＞bb．ab＜0c．0＜a＜bd．a＜b　　2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是　　aba．a2＋b2b．a＋bc．2abd．2　　3．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是　　a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞b　　a?

ba?

b　　c．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b　　4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．　　a2b2　　5．设a>b>c，求证：

b+b?

c>a+2b+c.　　6．已知a＞b＞c＞0，求证:

aabbcc＞13　　探索创新题　　1x?

1　　1．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．　　2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！

1．　　2．

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