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1、向量法证明不等式向量法证明不等式(精选多篇) 向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.假设在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，那么高中时期的向量即为n=2，3时的情形.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=，b=规定ab=x1y1+x2y2+xnyn=xiyi.，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式+.证明：先证左边，设m=，n=，p=，则由综上，原不

2、等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量jacj=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos=|ab|cos即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,ibc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i得i*ba+i*ac=0依照向量内积概念，i*ba=c*cos=c*sinb,同理i*ac=bcos=b=-bsinc代入得csinb-bsinc=0因此b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,因此a

3、/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,ca+b+c=0则i=ia+ib+ic=acos)+b0+ccos=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点hch=asinbch=bsinaasinb=bsina得到a/sina=b/sinb同理，在abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以dab

4、=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。运用向量可以证明不等式向量一章中有两处涉及到不等式，其一，?a?a+?b?a?b或-?b?a?b；其二，?a?b?a?b。前者的几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，后者是数量积的性质，这两个结论用于证明不等式，可以使证明思路清晰明快，过程简单明了之功效。?一、利用a-b?a?b证明不等式例1、函数f?，a?b，求证：f?f?a?b解析：f?f?a?b即?a?b?构造两个向量 a?,b?，?可?以理解为两个向量的模的差a?b，那么a?b表示向量?c?的模，其中a?b

5、? 。 ?因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 ?a和b不可能同向，不取等号。?二 利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnxy满足m?n?a,x?y?b，求mx?ny得最大值?解析：构造向量a?,b?，则a? ?a?b?mx?ny?，因为a?b?ab，所以mx?ny?my?nx取最大值。 ?例3、已知a?b?1,解析： 构造向量?a?b?1m?，n?12?2 ?n?,m?，。 ?。m?n?因为m?n?m?n所以，?n?n?2。用向量法证明步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,ca+b+c=0则i=ia+ib+ic=aco

6、s)+b0+ccos=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点hch=asinbch=bsinaasinb=bsina得到a/sina=b/sinb同理，在abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!2设向量ab=a,向量ac=b

7、，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形则向量a+b=2c平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方向量b-a=2d平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d平方+2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2-d平方am=1/2-bm3已知ef是梯形abcd的中位线，且ad/bc，用向量法证明梯形的中位线定理过a做agdc交ef于p点由三角形中位线定理有：向量ep=向量bg又adpfgc且agdc向量pf=向量ad=向量gc向量pf=向量ep+向量pf=向量ef=efadbc且ef=得证4先假设两条中线ad,be交与p点连接cp,

8、取ab中点f连接pfpa+pc=2pe=bppb+pc=2pd=appa+pb=2pf三式相加2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf3pa+3pb+2pc=2pf6pf+2pc=2pfpc=-2pf所以pc,pf共线，pf就是中线所以abc的三条中线交于一点p连接od,oe,ofoa+ob=2ofoc+ob=2odoc+oc=2oe三式相加oa+ob+oc=od+oe+ofod=op+pdoe=op+peof=op+pfoa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp由第一问结论2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp2pa+2pb+2pc=01/2a

9、p+1/2bp+1/2cp所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op向量op=1/3构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.一、构造一次函数法证明不等式有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.例1设0a、b、c2，求证：4a+b+c+abc2ab+2bc+2ca.证明：视a为自变量，构造一次函数=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=a+，由0a2，知表示一条线段.又=b+c-2bc=0，=b+c-4b-

10、4c+8=+0，可见上述线段在横轴及其上方，0，即4a+b+c+abc2ab+2bc+2ca.二、构造二次函数法证明不等式对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.例2实数a、b、c满足4a.证明：由已知得a=0时，bc，否则与故a=0时，4a成立.当a0时，构造二次函数=ax+x+，则有=a+b+c，=2，而=2存在m，当-1不等式的证明点击要点1作差比较法证明不等式的步骤是：、变形是手段，判断差的符号才是目的常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形

11、式等总之，变形到能即可2商比法：若b0，欲证ab，只需证步骤：；判断商值与的大小关系指数不等式常用证明有时要用到指数函数的性质如若a1，且x0，则等 学习策略解答本节习题应把握以下几个方面：准确理解比较法的概念；综合应用作差比较法、作商比较法证明不等式；要注意等价转化的思想、化归思想的应用；本节知识易错点是不能合理运用因式分解和正确使用指数函数的性质解题。高考展望本节知识在高考中以考查比较法证明不等式为主，考点有比较法证明不等式，经常与一次函数、二次函数、对数函数等知识结合考查，多以选择题、填空题为主。练好你的基本功！1已知a、b、cr，那么，以下命题正确的选项是ab?22 aab?acbcb

12、ccabca3b3且ab0?1111?22abdab且ab0ab2设a、br，下面的不等式成立的是aa23abb2babababaa?1?bb?1da2b22 c3在横线上填写恰当的符号2x2若xr，且x1，那么，1?x若0a1，那么a) 1413若a0，a1，那么loga_loga当x1时，那么x5x4x32x14设pa2b25，q2aba24a，若pq，则实数a，b满足的条件为_5设a0，b0，则下面两式的大小关系为2lg_lglg提升你的能力！基础巩固题1设0a2，下列不等式成立的是1111?1?a2?1?a2?1?a2?1?a2?1?ab1?a1?a a1?ac1?a2?1111?1?

13、a2?1?a2?1?a21?a1?a1?ad1?a2若ab0，则下列不等式关系中不能成立的是11?aab11?ba?bacabda2b23若a0，b0，m0，且ab，则下列不等式中恒成立的是aa?maa?m?1?abb?mbbb?maa?ma?ma?11?b?mb cbb?md4设a、br，用不等号连接以下两个式子，a2b2ab1_ab5已知abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2综合应用题11?1a，br，那么ab成立的一个充分非必要条件是aabbab0c0abdab2设0ab1，则ab，2ab，a2b2，2ab中最大的值是ab aa2b2babc2abd23已知ab0，则下列不等式成立的是aab2abba2abba?ba?bca2babdaab2b4若x为正数，且x3x2，则x与5的大小关系为_a2b25 设abc，求证：a?b+b?ca+2b+c.6已知abc0，求证:aabbcc13探索创新题1x?1111设a0，a1，x0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论212甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论试试你的身手！12