七年级上册数学知识点总结归纳.docx

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七年级上册数学知识点总结归纳

一、正数和负数

1.数和负数的概念

负数：

比0小的数正数：

比0大的数0既不是正数，也不是负数。

注意：

①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：

带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上8℃表示为：

+8℃；零下8℃表示为：

-8℃

3.数字0表示的意义

⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数；

（3）0表示一个确切的量。

如：

0℃，或在有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

二、有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

整数也能化成分数，也是有理数

注意：

引入负数以后，奇数和偶数的围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。

2.有理数的分类

三、数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

四、相反数

⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，注意：

2反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-（-5），化简得5

5.相反数的表示方法

一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

五、绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数；

30的绝对值是0。

可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为：

①：

a≥0，|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。

）②a≤0，|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。

）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，都有|a|≥0即

（1）0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：

a=0|a|=0；

（2）一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：

|a|≥0；

（3）任何数的绝对值都不小于原数。

即：

|a|≥a；

（4）绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

即：

若|x|=a（a>0），则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

即：

|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

即：

|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

如：

|a|=5，则a=土5

六、有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

a+b=b+a

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。

即：

⑴当b>0时，a+b>a

⑵当b<0时，a+b

⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

a-b=a+（-b）

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+22）

原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+22）（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+22（省略加号和括号）=（-33-15-1）+（18+22）（把符号相同的加数相结合）

=-49+40（运用加法法则一进行运算）

=-9（运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）（+6.6）+（-5.2）-（-3.5）+（-2.6）-（+4.8）

原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.5）+（-2.6）+（-4.8）（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.5-2.6-4.8（省略加号和括号）

=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.5（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.5（运用加法法则进行运算）

=7.5-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.5（得出结论）

七、有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：

任何数同0相乘，都得0；

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为axa1=1（a≠0），就是说a和a1互为倒数，即a是a1的倒数，a1是a的倒数。

注意：

0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即（ab）c=a（bc）

⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

八、有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在an中，a叫做底数，n叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

九、有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

十、科学记数法

把一个大于10的数表示成ax10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数法是科学记数法。

十一、用字母表示数

代数式：

用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式：

表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式的系数：

单项式中的数字因数

单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数和

多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

常数项的次数为0。

整式：

单项式和多项式统称为整式。

注意：

分母上含有字母的不是整式。

代数式书写规：

1数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“*”表示，并把数字放到字母前；

2出现除式时，用分数表示；

3带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；

4若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

合并同类项