浙江省20xx年中考数学复习题方法技巧专题十最短距离训练doc.docx
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方法技巧专题（十）最短距离训练
【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:
一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.
立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、
平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.
1
.
矩形
在平面直角坐标系中的位置如图
F101,点
B
的坐标为（3,4）,
D
是
的中点,点
E
在
上,当△
CDE
OABC
-
OA
AB
的周长最小时,点E的坐标为（）
图F10-1
A.（3,1）B.（3,）
C.（3,）D.（3,2）
2
2
2
2
2.[2018·宜宾]在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:
AB+AC=2AO+2BO成立.依据以上结论,解决如下问题:
如图F102,在矩形
中,已知
4,3,点
P
在以
为直径的半圆上运动,则
22的最小值为（）
-
DEFG
DE=EF=
DE
PF+PG
图F10-2
A.B.
C.34D.10
3.[2017·天津]如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段
1
的长等于BP+EP最小值的是（）
图F10-3
A.BCB.CEC.ADD.AC
4.[2017·莱芜]如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上
的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是（）
图F10-4
A.B.C.D.
5
.
[2017·乌鲁木齐]如图F10
-
5,点（,3）,
（,1）都在双曲线
y=
上,点
分别是
x
轴、
y
轴上的动点,则四
Aa
Bb
CD
边形
周长的最小值为（
）
ABCD
图F10-5
A
5
B6
.
.
C
2
2
D8
.
+
.
6.
[2018·泰安]如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,
点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB
2
与
x
轴分别交于
两点,若点
关于原点
O
对称,则
的最小值为（）
AB
AB
AB
图F10-6
A.3B.4
C.6D.8
7
.
[2018·滨州]如图F10
-
7,∠
60°,点
P
是∠
内的定点且
OP=
若点
分别是射线
上异于
AOB=
AOB
MN
OAOB
点O的动点,则△PMN周长的最小值是
（
）
图F10-7
A.B.
C.6D.3
8.[2018·遵义]如图F10-8,抛物线
y=x2+2x-3与x轴交于
A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上
任意一点,若点
,
分别是
,
的中点,连结
,
则
的最小值为
.
DEF
BCBPPC
DEDF
DE+DF
图F10-8
9.[2018·黑龙江龙东]如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点B作BG
⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为.
3
图F10-9
10.[2018·广安改编]如图F10-10,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,
连结AC,BC,已知A（0,3）,C（-3,0）.
（1）求此抛物线的解析式;
（2）在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.
图F10-10
4
11.[2018·广州]如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE（保留作图痕迹,不写作法）;
（2）在
（1）的条件下,
①证明:
AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
图F10-11
5
参考答案
1.B[解析]如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵
D（,0）,A（3,0）,
∴H（,0）,
可求得直线CH的解析式为y=-x+4.
当x=3
时,y=,∴点E的坐标为（3,
）.故选B.
2
.
D[
解析]取
的中点
连结
则根据材料可知
222
2222
22
2
2
822,若使
22
的值
GF
O
PO
PF+PG=PO+OG=PO+×
=+OP
PF+PG
最小,则必须
的值最小,所以
垂直于
时
的值最小,此时
1,所以
2
2的最小值为10
故选D
OP
PO
GF
PO
PO=
PF+PG
.
.
3.B[解析]连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C
关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.
4.A[解析]如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E
.
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.
6
∴BF=CF=BC=3.
∴MF=CF-CM=3-2=1,DF=BF=3.
∴
DM=
2
=.
∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.
∴===.
又∵OB=OD,∴=.
∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.
∴==,∴PM=DM=×2=.
故选A.
5.B[解析]
∵点A（a,3）,
B（b,1）
都在双
曲线y=
上,
∴a=1,b=3,
∴A（1,3）,B（3,1）,
则
AB=
2
.
作点
A
关于
y
轴的对称点
1,作点
B
关于
x
轴的对称点
1,连结
11,交
y
轴于点
==
A
B
AB
D
交x轴于点C,则A1（-1,3）,
B1（3,-1）,
A1B1=
=
=4
根据轴对称的性质,
四边形
ABCD周长
的最小值是AB+A1B1=2+4=6.故选B.
6.C[解析]连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,
∴AB=2PO.
若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小
7
值,
过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.
又∵MP'=2,∴OP'=3,
∴AB=2OP'=6.
故选C.
7.D[解析]如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB于点
M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P12N+MN,根据轴对称的性质可
知,
1
2
∠12120°,∠
1
30°,过点
O
作
的垂线段,垂足为
在△
1
中,可知
1
所以
OP=OP=OP=
POP=
OPM=
MN
Q
OPQ
PQ=
122
1
3,故△
周长的最小值为
3故选D
PP=
PQ=
PMN
.
.
8
.
[解析]因为点
,
分别是
,的中点,所以
是△
的中位线,所以
所以
DEF
BCBPPC
DEDF
PBC
DE=PCDF=PB
DE+DF=（PC+PB）,即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可
得,A（-3,0）,C（0,-3）,AC=3,所以DE+DF=（PC+PB）=.
9.2-2[解析]由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关
于AB轴对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP根.据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG进.一步得到:
当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面
8
分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点
M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.
如图②,易知MN的长,进一步可得结果.
如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,
以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,
∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.
作NQ⊥AD于Q,则MN==2,∴MN-GN=2-2,∴PD+PG的最小值为2-2.
10
.
解:
（1）∵抛物线
2
经过点（0,3）,
（
3,0）,∴
解得
y=x+bx+c
A
C-
∴抛物线的解析式为
2
3
y=x+x+.
（2）根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之
差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,
得x2+x+3=x+3,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B（-4,1）.
∵点C（-3,0）,∴BC==,
∴|MB-MD|的最大值为.
9
11.解:
（1）如图:
（2）①证明:
如图,延长DE,AB相交于点F.
∵∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABC+∠C=180°.
∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE.
∴∠ADE=∠F.
∴AD=AF=AB+BF.
又AD=AB+CD,
∴AB+BF=AB+CD∴.BF=CD.
在△CED和△BEF中,
10
∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.
又AD=AF,∴AE⊥DE.
②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'∴.BM+MN=BM+MN'由①.可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH
中,
6,
2,由勾股定理可得,
DH=
4
AD=AB+CD=AH=AB-BH=
==.
∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',
∴△DAH∽△BAN',∴=,∴=.
∴BN'=.∴BM+MN的最小值为.
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