初二四边形综合提高练习题附详解.docx

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初二四边形综合提高练习题附详解

初二四边形综合提高练习题（附详解）

1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

，∠C=30°．点D从点C动身沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A动身沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点抵达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时刻是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求AB,AC的长；

（2）求证：

AE=DF；

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？

若是能，求出相应的t值；若是不能，说明理由．

（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由.

2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

（1）求证：

四边形BECD是平行四边形；

（2）假设∠E=60°，AC=

求菱形ABCD的面积．

3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转取得，连接BE，CF相交于点D.

（1）求证：

BE＝CF；

（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F别离在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E别离作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．

（1）求证：

DE⊥DM；

（2）猜想并写出四边形CENF是如何的特殊四边形，并证明你的猜想．

5．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个极点，若是这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．

（1）求两个正方形重叠部份的面积；

（2）假设正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．

6．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C动身沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A动身沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点抵达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时刻是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（备注：

在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

若是能，求出相应的t值，若是不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．

（1）求证：

AE=EF．

（2）如图2，假设把条件“点E是边BC的中点”改成“点E是边BC上的任意一点”其余条件不变，那么结论AE=EF是不是成立呢？

假设成立，请你证明这一结论，假设不成立，请你说明理由．

8．已知□OABC的极点A、C别离在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2别离与x轴和OC边交于D、E，直线x=4别离与x轴和AB边的交于点F、G．

（1）如图，在点A、C移动的进程中，假设点B在x轴上，

①直线AC是不是会通过一个定点，假设是，请直接写出定点的坐标；假设否，请说明理由．

②□OABC是不是能够形成矩形？

若是能够，请求出矩形OABC的面积；假设否，请说明理由．

③四边形AECG是不是能够形成菱形？

若是能够，请求出菱形AECG的面积；假设否，请说明理由．

（2）在点A、C移动的进程中，假设点B不在x轴上，且当□OABC为正方形时，直接写出点C的坐标．

9．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B动身，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时刻为t秒．

（1）求AE的长；

（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？

（3）是不是存在如此的t，使EA恰好平分∠PED，假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．

参考答案

1．

（1）AB=5，AC=10.

（2）证明观点析；（3）能，当t=

时，四边形AEFD为菱形．（4）当t=

秒或4秒时，△DEF为直角三角形.

【解析】

（1）设AB=x,那么AC=2x.由勾股定理得，（2x）2-x2=（5

）2,得x=5，故AB=5，AC=10.

（2）证明：

在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．

（3）能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=5，∴AC=10．∴AD=AC-DC=10-2t．假设使□AEFD为菱形，那么需AE=AD，

即t=10-2t，t=

.即当t=

时，四边形AEFD为菱形．

（4）①∠EDF=90°时，10-2t=2t，t=

．②∠DEF=90°时，10-2t=

t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情形不存在．故当t=

秒或4秒时，△DEF为直角三角形.

2．

（1）证明观点析；

（2）菱形ABCD的面积为

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.；

又∵BE=AB，∴BE=CD.

∵BE∥CD,∴四边形BECD是平行四边形.

（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.

∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD,OA=OC.∴∠BOA=90°，

∴∠BAO=30°.

∵AC=

∴OA=OC=

.∴OB=OD=2.∴BD=4.

∴菱形ABCD的面积=

3．

（1）证明观点析；

（2）

－2

试题解析：

（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转取得的，

∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF．

（2）∵四边形ABDF是菱形，∴AB∥DF，∴∠ACF＝∠BAC＝45°．

∵AC=AF，∴∠CAF＝90°，即△ACF是以CF为斜边的等腰直角三角形，∴CF＝

．

又∵DF=AB＝2，∴CD＝

－2．

【点睛】此题考查了旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

4．【解析】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，

在△DCE和△MDA中，

，∴△DCE≌△MDA（SAS），∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．

又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠MDA=90°，∴DE⊥DM；

（2）解：

四边形CENF是平行四边形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵BF=AM，∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，即MF=CD，

又∵F在AB上，点M在BA的延长线上，∴MF∥CD，∴四边形CFMD是平行四边形，

∴DM=CF，DM∥CF，

∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，∴四边形DENM都是矩形，∴EN=DM，EN∥DM，

∴CF=EN，CF∥EN，∴四边形CENF为平行四边形．

5．

（1）1；

（2）

解：

解：

（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB

∵BO⊥AC，∴∠AOE+∠EOB=90°，

又∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

，∴△AOE≌△BOF（ASA），

∵S两个正方形重叠部份=S△BOE+S△BOF，又S△AOE=S△BOF

∴S两个正方形重叠部份=SABO=

S正方形ABCD=

×4=1；

（2）如图，

∵正方形的面积为4，∴AD=AB=2，

∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，

∴C1F=

OC1=1，AG=1∴C1G=3，

依照勾股定理，得AC1=

．

6．

（1）、证明观点析；

（2）、t=10；（3）、t=

或12，理由观点析.

试题解析：

（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=

AC=

×60=30cm

∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=

CD=2t∴DF=AE

（2）、能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：

t=10

∴当t=10时，AEFD是菱形

（3）、假设△DEF为直角三角形，有两种情形：

①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：

t=

。

②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：

t=12。

综上所述，当t=

或12时，△DEF为直角三角形

试题解析：

（1）证明：

取AB的中点G，连接EG

∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°

∵点E是边BC的中点∴AM=EC=BE∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°，

∵CF平分∠DCG，∴∠DCF=∠FCG=45°，

∴∠ECF=180°－∠FCG=135°，∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠CEF=90°，

又∵∠AEB+∠GAE=90°，∴∠GAE=∠CEF，

在△AGE和△ECF中，∠GAE=∠CEF，AG=CE，∠AGE=∠ECF∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF

（2）证明：

在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，

∴BM=BE∴∠BME=45°∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°.∴∠ECF=135°.

∴∠AME=∠ECF.

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.

∴△AME≌△ECF（ASA）.∴AE=EF.

8．

（1）①是，定点（3，0），②能够，12

，③能够，3

；

（2）（4，2）或（4，-2）

试题解析：

（1）①依照题意得：

∠ADO=∠CFB=90°， 

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA∥BC，OA=BC， ∴∠AOD=∠CBF， 

在△AOD和△CBF中，

∴△AOD≌△CBE（AAS）， ∴OD=BE=2

∴OB的中点坐标为（3，0）∴直线AC是通过一个定点（3，0）

②能够

易证∠OCF=∠CBF，得∠OCB=90°，由OABC是平行四边形得OABC是矩形，

在RtΔOCB中，CF2=BF×OF=2×4=8∴CF=

∴SΔOCB=

×6×

=

∴S矩形OABC=

③能够，3

（2）（4，2）或（4，-2）

9．

（1）5；

（2）6或

；（3）

.

试题解析：

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，∴CD=AB=9，∠D=90°，∴DE=9﹣6=3，

∴AE=

=5；

（2）①若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，

，解得t=

．

综上所述，当t=6或t=

时，△PAE为直角三角形；

（3）假设存在．

∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．

∵CD∥AB，∴∠DEA=∠EAP，∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，∴

，解得t=

．

∴知足条件的t存在，现在t=

.

考点：

四边形综合题．