3・已知向量打,满足问=1,5=Q且万一5=2，则抑=
74
4已知某种产品的合格率是厂合臓中的一级品率是厂则这种产品的一级品率为
5.某程序框图如图所示，若输入的0=4,
A.2
B.3
C.4
D.5
6.已知命题P：
VxgR,x2+x-1>0：
命题g：
3.vgR,2r>3r.下列命题为真命题
的是
A.PMB・pv（-^7）C・D・（r”A（F）
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因英经济又环保，至今还在农业生产中使用.
假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒
车抽象为一个几何图形，如图所示，圆。
的半径为4米，几在水平而上，盛水筒M从
点几处开始运动，0此与水平而的所成角为30。
，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M
D.24种
D.3
甲乙不在同一路口的分配方案共有
A.81种B.72种C.36种
ta
1I+tany
9.若sina+cosa=—，aw（0,/r）,则=
1-tan—
2
A.—3B・——C・—
33
10.已知椭圆E与双曲线C:
^--y2=1有相同的焦点斤，耳，点p是两曲线的一个交点,
2
且卩斤"；=0,过椭圆E的右焦点耳做倾斜角为彳的直线交椭圆E于人3两点,
RAB=AAF^则2可以取
■
A.4B.5C.7D.8
11・已知四棱锥P-ABCD的底而ABCD是矩形，其中AD=\.AB=2，平而PAD丄平
ifilABCD.PA=PD、且直线刖与CD所成角的余弦值为土，则四棱锥5
P—ABCD的外接球表而积为
/（2020）+/（2021）的值等于
A.-5B.-4C.-3D.-2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线/：
—y=0与圆C：
（x—l）2+b=1交于AB两点，则卜
15.人们已经证明，抛物线有一条重要性质：
从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射
后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电简就是利用这个原理设汁的•已知抛物线r=2/zv（p>0）的焦点为F,从点F出发的光线经抛物线上第一象限内的一点P反射后的光线所在直线方程为y=迈、若入射光线FP的斜率为2运，则抛物线方程为.
c8/?
16.已知MBC的内角A,B,C的对边分别为"，b,c,若a=2B,则一+—的取
2ba
值范围为■
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（-）必考题：
共60分
17.（12分）
已知公差d>0的等差数列｛an｝,S”是仏｝的前"项和，也=8,S2+I是®和54+6的等比中项.
（1）求｛"“｝的通项公式；
（2）设数列耘｝满足5=^-,且｛化｝的前"项和为人，求证人<丄.
18.（12分）
已知梯形BFEC如图1所示，其中BF//EC,EC=3,BF=2,四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平而EDAF丄平面ABCD，得到如图2所示的几何体.
（1）求证：
平而AEC丄平而BDE；
（2）若点H在线段BD匕且曰7与平而所成角的正弦值为E求线段DH的
19.（12分）
宁夏四海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之
为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决沱开始吊庄移民，将四海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作岀推进东西部对口协作的战略部署，其中确左福建对口帮扶宁夏,在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统讣：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码X
1
2
3
4
5
人均年收入y（千元）
1.3
2.8
5.7
&9
13.8
现要建立关于X的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一夕⑴+
模型二y
（2）=cx2+d,即使画出y关于x的散点图，也无法确怎哪个模型拟合效果更好,现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为y=3.lx—2.8.
（1）请你用最小二乘法原理，结合下而的参考数据及参考公式求岀模型二的方程（汁算结果保留到小数点后一位）；
（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算岀模型一的残差平方和为£（xT：
）2=3.7.
1-1
5__
附：
参考数据：
氓#0.52••其中心=彳，Z=l,2,3,4,5・
口；-5尸
/-I
参考公式：
对于一组数据（旳*J，（“2宀），…，（叫,叫），其回归直线
v=a+pu的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
n
片-nuv
B=，a=v~pu.
/-I
20（12分）
已知平面内的两个泄点坊，耳，I巧用=2>/5，平而内的动点M满足|M可+|M&|=4.记M的轨迹为曲线E.
（1）请建立适当的平而宜角坐标系，求E的方程：
（2）过耳做直线/交曲线E于A,B两点，若点0是线段斤竹的中点，点C满足
3_
OC=--OA.求AABC而积的最大值，并求出此时直线/的方程.
2
21.（12分）
2
已知函数/（x）=r为R上的偶函数.
e+ae
（1）求"的值，并求岀/（X）的最大值：
（2）若对任意xeRta成立，求实数2的取值范围:
.V_.丫丿
（3）设p、q>0,且p+g=l,求证：
pe^+qeq（-）选考题：
共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号
涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修47：
坐标系与参数方程］（10分）
小x=2cos8
在平而直角坐标系xOy中，设曲线C的参数方程为<.八（0为参数），以坐标
y=sin6
原点0为极点，"轴非负半轴为极轴建立极坐标系•直线/的极坐标方程为
/?
（2cos&+3sin0）=8.
（1）求曲线c的普通方程和直线/的直角坐标方程：
（2）设P是曲线C上的动点，求点P到直线/的距离的最小值，并求出此时点P的坐标.
23.［选修4—5：
不等式选讲〕（10分）
已知/（x）=1兀+1l+lx-31.
（1）求不等式f（x）（2）若/（x）的最小值为加，正实数a、b、c满足a+b+c=m,求证:
1119
+hn—.
a+bb+ca+c2m
2021年哈三中高三学年第一次模拟考试理科数学答案
一、选择题
BDCABCCBADAD
二、填空题
13.V214.15I5.y2=2x16.5.5,8
三、解答题
17.
（1）ai（4ai+6d+6）=（2ai+d+l）23分
整理得（d厂3X®-9）=0又・・・qvd2,•••q=3,d二5
an=5n-2
1_111
（5〃-2）（5〃+3）55/1-25n+3
11
155（5n+3）
18.
（1）V平而EDAF丄平而ABCD,DEu平而EDAF
平而EDAFQ平而A3CD=A£），£）£丄4D
:
.DE丄平^\ABCD2分
•••ACu平而ABCD..DE丄AC
•••四边形4BCQ是正方形AC丄BD3分
:
DE、BDu平而BDE,DEQBD=D9:
.AC丄平面BDE
：
MCu平HiiACE.-.平而AEC丄平而BDE-5分
⑵建系如图
平而BEF的法向量n=（l丄1）7分
E（0,0,2）设丽=（心-2）
19.
（1）y=0.5x2+0.86分
（2）模型二的残差平方和为0.420.7,模型二的拟合效果更好12分
（2）F2（73,0）,设直线l:
x=my+^3人（心儿）‘8（心儿），
X+4y一代入得：
（m+4）/+2>/3my-l=0x=my+y/3
由于△=16（〃『+i）＞0恒成立
当且仅当：
后［二丁^即,n=2V2时取等号,
+i
355l
又由于OC=--OA,知Sm%・S亍此时/:
x=±yJ2y+3
222
21.
（1）a=lJ（x）的最大值为1
2
（2）方法一:
由题意知，<—^―恒成立Q+严
7
只需Ax2K+严
设g（x）=Ax2-In2+]n（ex+e"x）
由于g（x）为偶函数，只需x>0时g（x）<0,而g（0）=0
g（X）=\+22a\g'（0）=0
e+e
——i__+2A=-__——+229+八尸戶+£亠+2
1当兄5-丄时，w（x）50,对Vx>0,^Cv）单调递减
2
Vx>0,gXv）<^（0）=0,对Va>0,^（x）单调递减.-.Vx>0,g（x）<0恒成立
2当A>0时，/n（x）>0,对也20,gU）单调递增
Vxn0,g'（x）ng'（0）=0,对Vx>0,g（x）单调递增
Vx>0,g（x）>0恒成立，不成立
3当一丄vQvO时，当xc（0,丄In二^土1Z£时，,n（A）>0
22A
1一、/2几+1-1-2
“（0,丄In—时，8\x）>gf（0）=0,g（x）单调递增
2A
ae（0,—In——虫__!
_d.时,g（x）>g（°）=o,不成立
2A
综上A<—
2
方法二：
F（x）=eA?
+x+e宀<2（=F（0））Mx>0恒成立
F（x）=严J\elx（2Ar+1）+2心_1]=eZt<7/（x）
/f（x）=e2x（4加+42+2）+22,〃〃（x）=4e^（2Ajc+22+1）
■
讨论：
®2<—!
-时，②r+>u即—1<2<0时③2>0时.
222<02
设/i（x）ln（pep+c/ec/）—-,由对称性，只需x>0时h（x）<0
8心
h\x}=^^-^=-（^7）2（p严+q）2P94p苛（〃严+?
）2
所以x>0,h'（x）递减，h\x）x>0,h（x）递减，h（x）
（0）=0
不等式得证.
22.
（1）曲线C的普通方程为—+v2=l
4
直线/直角坐标方程为2x+3y-8=0
（2）由参数方程设点P（2cosQsin&）,
|4cos0+3sin°-8||8-5sin（0+（p）\
则点P到直线/的距离为〃=713=713
其中tan-
3
o3
所以点P的坐标为P（二，二）
^5
23.
（1）①当x<-l时，2—2xSx+3=>xn—_.所以无解3
②当一1VX53时，x>1,所以1③当x>3时，2v-2x<5,所以无解
综上.不等式的解集为{jI1（2）因为/（x）=lx+ll+lx-3inlx+l-x+3l=4,所以加=4,所以d+b+c=m=4,
F（E）+g）+（c+“）g+
10分
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