极值点偏移判定定理.docx
《极值点偏移判定定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极值点偏移判定定理.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
极值点偏移判定定理
专题02,极值点偏移问题利一极值点偏移判定定理
、极值点偏移的判定定理
对于可导函数yf（x），在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0，方程f（x）0的
解分别为x1,x2，且ax1
X2b，
（1若f（xjf（2x0x2），则仝空（）x0，即函数yf（x）在区间（x1,x2）上
2
极（小）大值点xo右（左）偏；
（刀若f（xi）f（2x0x2），则宁（）x0，即函数yf（x）在区间（xi，x2）上
极（小）大值点x0右（左）偏.
证明：
（1）因为对于可导函数y则函数f（x）的单调递增（减）区间为ax1x2b，有x1x0，且2x0
f（x），在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0，
（a,冷），单调递减（增）区间为（x°,b），由于
X2X。
，又f（Xi）f（2x0X2），故Xi（）2x0X2，
所以XiX2（）X0，即函数极（小）大值点X0右（左）偏;
2
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏
XiX2、mF）
左慢右快（极值点右偏
XiX2）
2
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数f（x）的极值点X。
；
（2）构造一元差函数F（x）f（x0x）f（x0x）；
（3）确定函数F（x）的单调性；
（4）结合F（0）0，判断F（x）的符号，从而确定f（x0x）、f（x0x）的大小关系.
2、抽化模型
答题模板：
若已知函数f（x）满足f（xjf（x2），x0为函数f（x）的极值点，求证：
X-Ix2
2x0.
（1）讨论函数f（x）的单调性并求出f（x）的极值点x0；
假设此处f（X）在（，X0）上单调递减，在（X0,）上单调递增
（2）构造F（x）f（X0x）f（X0x）；
注：
此处根据题意需要还可以构造成F（x）f（x）f（2x0x）的形式•
（3）通过求导F'（x）讨论F（x）的单调性，判断出F（x）在某段区间上的正负，并得出
f（X0X）与f（X0X）的大小关系；
假设此处F（x）
在（0,）上单调递增，那么我们便可
得出
F（x）F（x。
）f（x。
）
f（X0）0,从而得到：
XX0时，f（X0x）f（X0x）
（4）不妨设x-|X0X2，
大小关系得出结论；
通过f（X）的单调性，f（Xi）f（X2），f（X0X）与f（X0
x）的
接上述情况，由于X
X0时，f（X°X）f（X0X）且XiX0X2，f（Xi）
f（X2），
故f（xjf（X2）f[x°
（X2X0）]f[X0（X2X0）]f（2X0X2），又因为Xi
X0，
2X0X2X。
且f（X）在（，x°）上单调递减，从而得到X-2X0X2，从而XiX22X0得
（5）若要证明f'QX2）0，还需进一步讨论XlX2与x0的大小，得出"X2所在的
222
单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证
此处只需继续证明：
因为X!
X22X0，故XlX2x0，由于f（x）在（，Xo）上单
2
调递减，故f'（竺X2）0.
2
【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f（X）的单调性、极值点，
证明f（x0x）与f（x0x）（或f（x）与f（2x0x））的大小关系；若试题难度较大，则直
接给出形如xiX22X0或「（空X2）0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该
2
小问分解为三问逐步解题•
三、对点详析，利器显锋芒
★已知函数f（x）xeX（xR）.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
x1x22.
⑵若XiX2，且f（Xi）f（X2），证明:
【解祈】容易求得第⑴问：
在（Y■"上单调递咼在亿g上单调邈亦的极值是/
）=--第⑵问：
构造酵巩力=川1十歸—咒—总=（|十力0岐P—心叫
则尹（力二环百Y3],当兀=0时，F0.,\F（x）在⑴仙）上单调递ig,又风切二0,二^（x）>0,即/（1+j）>/（1-x）.
T码土花，不妨设巧■<花，由（I）知工]疋1,Xj>L
.■./^>=/<^>=/[1+（^-1）]>/[1-（^-1）]=/（2-^）.
tX21，二2X21,f（x）在（,1）上单调递增，•'•xi2X2，二xiX22.
4i
★函数f（x）x4-x3与直线ya（a一）交于A（x「a）、B（X2,a）两点.
3—
证明：
x1x22.
【解析】设JX1的单调通减区间为（nU）・单调递增区间为（l.w）,有3^>1,
设F（x）=/（1+刃一JX1—小F（x>=阳/-2x+1）>0;
故F（X）M调递増匡间为（to,4oo）,又^（0）=0,
所決当x>0时,F（x>>F<0）=0,^x>0B寸."十血5-血,
f<^）=f（^）=/（I+fe-D）a/（2-^>，
乂再<1,2-花<1j
刃因数/（x）=*一扌卍单iffiil减区间为（tor,
所以西w2—叼，目卩西十西
2
★已知函数f（x）Inx,若％x2，且f（xjf（x2），证明：
x1x24.
x
2
【解析】由函数f（x）Inx单调性可知：
若f（xjf（x2），则必有x12x2,。
x
所以4X12，
22
而f（xjf（4x1）Inx-iIn（4xj，
x14x-i
22
令h（x）Inxln（4x），则
x4x
h'（x）
22
~22
x（4x）
2222
2（4x）2xx（4x）x（4x）
22
x（4x）
2
8（x2）
22
x（4x）
h
（2）0,
所以函数h（x）在（0,2）为减函数，所以h（x）所以f（xjf（4xi）0即f（xjf（4xi）,所以f（X2）f（4X2）,所以
x-ix24.
x2„
★已知函数fxx2eax1有两个零点.设捲必是fx的两个零点，证明：
x-ix22.
【解析】不斯设丙由题意知『（冠）二/（孔）加一要证不等式成立，只需证当易灯町加寸』原不等式
成立即可.
令刃—七）丿则歹6）=丸（尸—4）,当Q0时，^W<0-
而帀,2—兀H/（x）在（1,七o）上递増，
古文旳v2—旳』冃卩+jcj<2.
四、招式演练
★已知函数gxex|x2，其中aR,e2.71828L为自然对数的底数，fx是
gx的导函数.
（I）求fx的极值；
（n）若a1，证明：
当为x，且f%fx2时，为X20.
【答案】⑴当a0时，fx无极值；当a0时，fx有极小值
fIna
aalna；
（2）详见解析
【解析】试题分析：
（I）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间,
从而求出函数的极值即可；
（H）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（X）-f（-X）,求出函数的导数，根据函
数的单调性证明即可.
试题解析：
（I）fxgxexax的定义域为,,fxexa
时成立
当a0时,
fx在，上单调递增，fx无极值.
当a0时,
xexa0解得xIna
0得xIna；由fx0得xIna
所以fx在，ina上单调递减，在Ina,上单调递增,
故fx有极小值fInaaaIna
（n）当a1时,
fxexx的定义域为
fxex1,
X
0
0
0,
fX
0
+
fX
单调递减
极小值
单调递增
由fxex10，解得x0.当x变化时,
捲X2，且fXifx?
，则捲0X2（不妨设x]X2）
x,fx变化情况如下表:
谡函数F仗U/（刃—/（一对二"—玄―（*4刃=总‘—Z—2x（jt<0）.十；-2・
e
［当hcO时』/.^k+4>2
0
二当X0时』肝（刃>〉••屈數巩刘在（T0®上单调递増
AF（x）V/（x）在（QW）上单调递増，0<^7aO<-jq；
.*.JCjV一二西+冷cO
★已知函数fxlnxax2，其中aR
（1）若函数fx有两个零点，求a的取值范围；
1
（2）若函数fx有极大值为，且方程fxm的两根为x-i,x2，且x-ix2，证明：
2
x-ix24a.
1
【答案】
（1）0a；
（2）见解析.
2e
【解析】试题分析：
（1>先求广仗），利用导数研究函数的单调性，只毒令/（力的极大值為二血（低卜即可得结幕心）结合
（1）」由川©的极大值求得口二苏研究函数
F（x）=/（x）-/（2-x）的单调性，可得从而可得结论.
I|_
试题解析；<1>=
xx
（1）当a0时，fx0函数fx在0,上单调递增，不可能有两个零点
（2）当a0时，fx0,x
x
0厲
底’
fx
0
-
fx
Z
极大值
]
fx的极大值为f
因为feaIne
所以fx在ea
a2a
ae
必存在一个零点;
2a0,
—，由In
2
11
-0得0a—;
22e
显然当
所以f
时,
在
上必存在一个零点;
所以当OvaV亠时，函数/（工）有两个零点-
（2）由（I）可知，当aAO时，
冷的极大值叭任卜（任耳=-r
・J
2
令F（*=O-/（2-X）tFf（a）=Z（x）+/（2-jc）=1+-!
——2,
x2—x
由Fr（x）=OJfx=l
X
（0.1）
1
（*）
尸（刃
+
0
■
玲）
/
极大值
、
clv帀匚卩（西）=/3）-『（2-刃）vF⑴=0,即
又•••/&）=/（乃）…/（花）"（2-幻,
又0A）/（X）在（L+00）上单调递减丿所以逅＞2-卷即珂+花a2得证-
升级会员 