极值点偏移判定定理.docx

1、极值点偏移判定定理专题02,极值点偏移问题利 一极值点偏移判定定理、极值点偏移的判定定理对于可导函数y f（x），在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0，方程f （x） 0的解分别为x1, x2，且a x1X2 b，(1若f(xj f (2x0 x2)，则仝 空 ()x0，即函数y f (x)在区间(x1, x2)上2极（小）大值点xo右（左）偏；（刀若f（xi） f（2x0 x2），则宁（）x0，即函数y f（x）在区间（xi，x2）上极（小）大值点x0右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数 y 则函数f （x）的单调递增（减）区间为 a x1 x2 b，有 x1 x0，且 2x0f

2、 （x），在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点 x0，（a,冷），单调递减（增）区间为 （x,b），由于X2 X。，又 f(Xi) f (2x0 X2)，故 Xi ( )2x0 X2，所以Xi X2 （ ）X0，即函数极（小）大值点 X0右（左）偏;2（2）证明略.左快右慢(极值点左偏Xi X2、 m F)左慢右快(极值点右偏Xi X2)2二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、 方法概述：(1)求出函数f (x)的极值点X。；(2) 构造一元差函数 F(x) f(x0 x) f(x0 x)；(3)确定函数F(x)的单调性；(4)结合F(0) 0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0 x)

3、、f (x0 x)的大小关系.2、 抽化模型答题模板：若已知函数 f (x)满足f(xj f (x2)， x0为函数f (x)的极值点，求证：X-I x22x0 .(1 )讨论函数f (x)的单调性并求出f (x)的极值点x0 ；假设此处f (X)在(，X0)上单调递减，在(X0,)上单调递增(2)构造 F (x) f (X0 x) f (X0 x)；注：此处根据题意需要还可以构造成 F(x) f (x) f(2x0 x)的形式(3)通过求导 F(x)讨论F(x)的单调性，判断出 F(x)在某段区间上的正负，并得出f (X0 X)与f (X0 X)的大小关系；假设此处F(x)在(0,)上单调递

4、增，那么我们便可得出F(x) F(x。) f(x。)f(X0) 0,从而得到：X X0 时，f(X0 x) f (X0 x)(4)不妨设 x-| X0 X2，大小关系得出结论；通过 f (X)的单调性，f (Xi) f (X2)， f (X0 X)与 f (X0x)的接上述情况，由于XX0 时，f(X X) f (X0 X)且 Xi X0 X2， f (Xi)f (X2)，故 f(xj f(X2) fx(X2 X0) f X0 (X2 X0) f (2X0 X2)，又因为 XiX0，2X0 X2 X。且f (X)在(，x)上单调递减，从而得到X- 2X0 X2，从而Xi X2 2X0得(5 )

5、若要证明fQ X2) 0，还需进一步讨论Xl X2与x0的大小，得出X2所在的2 2 2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证此处只需继续证明：因为 X! X2 2X0，故Xl X2 x0，由于f(x)在(，Xo)上单2调递减，故f(竺X2) 0.2【说明】(1 )此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求 f (X)的单调性、极值点，证明f (x0 x)与f (x0 x)(或f (x)与f (2x0 x)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如xi X2 2X0或(空 X2) 0的结论，让你给予证明

6、，此时自己应主动把该2小问分解为三问逐步解题三、对点详析，利器显锋芒已知函数 f (x) xe X(x R).(1)求函数f (x)的单调区间和极值；x1 x2 2.若 Xi X2，且 f(Xi) f (X2)，证明:【解祈】容易求得第问：在(Y上单调递咼在亿g上单调邈亦的极值是/!)=- 第 问：构造酵巩力=川1十歸咒总=(|十力0岐P心叫则尹(力二环百Y3,当兀=0时，F0. ,F(x)在仙)上单调递ig,又风切二0,二 (x)0,即/(1 + j)/(1-x).T码土花，不妨设巧 L./=/=/1+(-1)/1-(-1) = /(2-).t X2 1，二 2 X2 1 , f(x)在(,

7、1)上单调递增， xi 2 X2，二 xi X2 2.4 i函数 f(x) x4 -x3 与直线 y a(a 一)交于 A(xa)、B(X2,a)两点.3 证明：x1 x2 2.【解析】设JX1的单调通减区间为(nU)单调递增区间为(l.w),有3 1,设F(x) =/(1 + 刃一JX1 小 F(x =阳/-2x + 1)0;故F(X)M调递増匡间为(to,4oo),又(0) = 0,所決当x0时,F(xF0B寸.十血5-血,f，乂再 1, 2-花 1 j刃因数/(x) =* 一扌卍单iffiil减区间为(tor ,所以西w2叼，目卩西十西2已知函数 f (x) In x ,若 x2，且 f

8、 (xj f (x2)，证明：x1 x2 4 .x2【解析】由函数 f (x) In x单调性可知：若 f(xj f (x2)，则必有x1 2 x2 ,。x所以4 X1 2，2 2而 f(xj f (4 x1) In x-i In(4 xj，x1 4 x-i2 2令 h(x) In x ln(4 x)，则x 4 xh(x)2 22 2x (4 x)2 2 2 22(4 x) 2x x(4 x) x (4 x)2 2x (4 x)28( x 2)2 2x (4 x)h(2) 0 ,所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x) 所以 f(xj f (4 xi) 0 即 f(xj f (4 x

9、i),所以 f(X2) f (4 X2),所以x-i x2 4.x 2 已知函数f x x 2 e a x 1有两个零点.设捲必 是f x的两个零点，证明：x-i x2 2.【解析】不斯设丙由题意知(冠)二/(孔)加一要证不等式成立，只需证当易灯町加寸原不等式成立即可.令刃七)丿则歹6)=丸(尸4),当Q0时，W0- F(0)= 0 gn /(I - x) r(I + x).而帀,2兀H/(x)在(1,七o)上递増，古文旳v2旳冃卩+jcj 2.四、招式演练已知函数 g x ex |x2，其中a R,e 2.71828L为自然对数的底数， f x是g x的导函数.(I)求f x的极值；(n)若

10、a 1，证明：当为 x，且f % f x2时，为 X2 0.【答案】当a 0时， f x无极值；当a 0时，f x有极小值f In aa aln a ；(2)详见解析【解析】试题分析：(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可；(H)求出函数f (x)的导数，设函数 F (x) =f(X)- f (- X),求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.试题解析：(I) f x g x ex ax 的定义域为 , ,f x ex a时成立当a 0时,f x 在 ， 上单调递增， f x无极值.当a 0时,x ex a 0 解得 x In a0 得 x I

11、n a ；由 f x 0 得 x In a所以f x在 ，in a 上单调递减，在In a , 上单调递增,故f x有极小值f In a a aIn a(n)当a 1时,f x ex x的定义域为f x ex 1,X,000,f X0+f X单调递减极小值单调递增由f x ex 1 0，解得x 0.当x变化时,捲 X2，且f Xi f x?，则捲 0 X2 (不妨设x X2 )x , f x变化情况如下表:谡函数 F仗U /（刃/（一对二玄（* 4刃=总 Z 2x（jt 20二当X0时肝（刃屈數巩刘在（T0上单调递増AF（x）F（G） = J 即当x0时,fx/（-x）.V/（x）在（QW）上

12、单调递増，07 aO先求广仗），利用导数研究函数的单调性，只毒令/（力的极大值為 二血（低卜即可得结幕 心）结合（1）由川的极大值求得口二苏研究函数F（x） = /（x）-/（2-x）的单调性，可得从而可得结论.I | _试题解析； =x x（1 ）当a 0时，f x 0函数f x在0, 上单调递增，不可能有两个零点(2)当 a 0时，f x 0,xx0厲底f x0-f xZ极大值f x的极大值为f因为f e a In e所以f x在e aa 2aae必存在一个零点;2a 0,，由 In21 1-0 得 0 a ;2 2e显然当所以f时,在上必存在一个零点;所以当Ova V亠时，函数/(工)有两个零点-(2)由(I)可知，当aAO时，冷的极大值叭任卜(任耳=-rJ2令 F(*=O - /(2- X) tFf (a)= Z (x)+ / (2 -jc) = 1+-!2,x 2 x由 Fr(x) = OJf x = lX(0.1)1(*)尸（刃+0玲）/极大值、cl v帀匚卩（西）=/3）-（2-刃）vF=0,即又/&） = /（乃）/（花）（2-幻,又0A）/（X）在（L+00）上单调递减丿所以逅2-卷即珂+花a2得证-