高数下册积分重要.docx

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高数下册积分重要

微积分下册常见六种积分考试重点

二重积分、三重积分

第一型曲线积分、曲面积分

第二型曲线积分、曲面积分

二重积分/累次积分

1）

在有界闭区域D上进行积分的积分符号；DOxy平面上的有界闭区域，积分区域；f（x,y）被积函数（其在D上连续才可积），比如可以是区域D的密度大小，也可以表示底面是D的曲顶柱体的高。

2）dσOxy平面上微小区域面积，面积元素（d微分；σD中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。

3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f（x,y）dσ微小面质量或者微小面积，被积表达式。

4）

曲面D的质量，曲顶柱体面积。

此处应注意：

f（x,y）>0时，二重积分积分的现实意义才成立。

5）

6）二重积分的计算：

化二重积分为二次积分

三重积分

1）

在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；ΩOxyz空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f（x,y,z）被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。

2）dVOxyz空间中微小区域体积，体积元素（d微分，VΩ中的微小几何体）。

3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f（x,y,z）dV微小体质量，被积表达式。

4）

几何体Ω的质量。

此处应注意：

f（x,y,z）>0时，三重积分积分的现实

意义才成立。

5）

6）三重积分的计算：

化三重积分为三次积分

第一型曲线积分

第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分

1）

在线段L上进行积分的积分符号；L当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条光滑曲线；f（x,y,z）被积函数，一函数值，比如可以是线L的密度大小，也可以表示底边是L的曲边梯形的高。

2）ds微小弧长（d微分；s微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。

3）微小线质量=微小线密度×微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高×微小曲边梯形底边长度；f（x,y,z）ds微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。

4）

线质量，曲边梯形面积。

此处应注意：

f（x,y,z）>0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。

5）

6）第一型曲线积分计算公式

第一型曲面积分

第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分

1）

在有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ一空间有界光滑曲面；f（x,y,z）被积函数，一函数值，比如可以是曲面Σ的密度大小，也可以表示底面是Ω的曲面体的高（有限制）。

2）dS微小曲面面积（d微分；S微小曲面）。

3）微小曲面面质量=微小面密度×微小面积；微小曲面体面积=微小曲面体高×微小曲面体底面长度；f（x,y,z）ds微小体质量或者微小曲面体体积（有限制），被积表达式。

4）

面质量，曲面体体积（有限制）。

此处应注意：

f（x,y,z）>0时，第一型曲线积分的现实意义才成立，即使如此，其现实意义亦不明显。

5）

6）第一型曲面积分计算公式

若计算中须带入线方程，带入的方程应按上线方程的前四种形式之一带入，若计算中须带入面方程，带入的方程应按上面方程的后三种种形式之一带入，至于带哪一种形式，须看哪一种形式利于解题。

比如，若线方程可以化为圆的形式，则常常采用圆的参数形式带入。

再如，平面A截柱面B得的面，其方程不是二者联立解得的方程，因为其相交的部分是线而不是面，解得的方程是交线的方程；显然B的方程不能作为截得的面的方程，因为二者公共部分是一条线，而A包含截得的面，因而截得的面的方程可以用A的方程表示。

注：

二重积分与第一型曲面积分只是在积分区域上有差别。

二重积分，积分区域在Oxy面上，而第一型曲面积分积分区域在Oxyz空间中。

第二型曲线积分

第二型曲线积分又叫作对坐标的曲线积分，或向量值函数的曲线积分

1）

在有向线段Γ上进行积分的积分符号；Γ当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条有向光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条有向光滑曲线；P（x,y,z）、Q（x,y,z）、R（x,y,z）被积函数，力的三个分向值。

2）微小功=力×微小线长度（

）；P（x,y,z）dx+Q（x,y,z）dy+R（x,y,z）dz微小功。

3）

力在有向线段Γ上做的功。

4）两种曲线积分的关系

5）第二型曲线积分计算公式

第二型曲面积分

第二型曲面积分又叫作对坐标的曲面积分，或向量值函数的曲面积分

1）

在取定了侧的有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ取定了侧的空间有界光滑曲面；P（x,y,z）、Q（x,y,z）、R（x,y,z）被积函数，场强的三个分向值。

2）微小通量=场强×微小面积（

）；P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy微小通量。

3）

场在取定了侧的Σ上的通量。

4）两种曲面积分的关系

5）第二型曲线积分计算公式

Green公式

设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，如果函数

证明：

公式左端直接展开按二重积分计算可化为右端的计算式，过程略。

应用：

在Green公式中，令P=-y，Q=x得

平面曲线积分与路径无关的条件

设G是平面上的单连通域，如果

，则下面四个条件等价：

（1）沿D内的任意一条光滑的闭曲线L，有

（2）曲线积分

在D内与路径无关（此处L在D内任取，无须闭合）

（3）

是D内某个二元函数u（x,y）的全微分，即在D内有

（4）

在D内每点处成立

证明：

采用循环证法

，过程略。

注意：

设G是平面上的单连通域，

这两个条件是极为关键的。

单连通域：

平面区域内任意一条闭曲线所围成的部分都属于该区域

复连通域：

平面区域内存在至少一条闭曲线所围成的部分不属于该区域

正向：

沿闭曲线给定方向走，其所围区域在左手侧

负向：

沿闭曲线给定方向走，其所围区域在右手侧

Gauss公式

设平面闭区域Ω由分段光滑的曲面Σ围成，如果函

Stokes公式

设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分段光滑的有界曲面，Γ的正向与Σ的侧向符合右手规则，函数P（x,y,z），Q（x,y,z），R（x,y,z）在包含曲面Σ的空间区域内有一阶连续的偏导数，则有

特别地，若R（x,y,z）≡0，则依上式有Green公式

注：

当右手的四个手指依Γ给定的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ指定侧的法向量的指向相同时，Γ是指定侧的曲面Σ的正向边界线。